Números racionales: Potencias

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Potenciación de fracciones

Las potencias con números racionales cumplen las mismas propiedades que con números naturales y enteros.

Ejemplos:

Pulsa los botones para obtener ejemplos de cada tipo:

Tan sólo queda añadir el siguiente caso:

Potencias de exponente negativo

Sea $n \in \mathbb{N}$ , se define la potencia de exponente negativo como:

$a^{-n}=\cfrac{1}{a^n}$

Como consecuencia, $\left ( \cfrac{a}{b} \right )^{-n}=\left ( \cfrac{b}{a} \right )^{n}$ .

Ejemplos:

Actividad Interactiva: Potencias de exponente negativo

Actividad 1. Potencias de exponente negativo.

Actividad:

Calcula las siguientes potencias y comprueba los resultados en la escena siguiente:

a) $3 - 5$ b) $5 - 3$ c) $7 - 2$ d) $2 - 7$

Usa los pulsadores o el teclado para modificar los valores de la base y del exponente. Pulsa INICIO cada vez que quieras iniciar uno nuevo. Anota en tu cuaderno los resultados.

Si obtienes resultados un poco "extraños" prueba a aumentar el número de decimales del resultado en el control de la parte de arriba.

Actividad 2. Autoevaluación.

Actividad:

Pulsa el botón "EJERCICIO" y lee atentamente el enunciado. Lo haces en tu cuaderno, escribes la solución en la escena y pulsas el botón "SOLUCIÓN" para ver si lo has hecho bien.

Actividad Interactiva: Potencias de racionales

Actividad 1. Autoevaluación: Operaciones con potencias de racionales.

Actividad:

Pulsa el botón EJERCICIO para ver el enunciado. Lo haces en tu cuaderno, escribes la solución en la escena (de forma que la base no sea una potencia) y pulsas el botón SOLUCIÓN para ver si lo has hecho bien.

Actividades Interactivas:Potencias

Actividad 1: Producto de potencias.

Actividad:

Escribe en tu cuaderno los siguientes productos en forma de potencia:

$a)\ 2^3.2^7 \quad b)\ 3^5.3^3 \quad c)\ 5^5.5^3 \quad d)\ 2^{-3}.2^5 \quad e)\ 3^{-5}.3^{-3} \quad f)\ 5^{-5}.5^3$
Comprueba tus resultados en la siguiente escena.

Actividad 2: Cociente de potencias.

Actividad:

Escribe en tu cuaderno los siguientes cocientes en forma de potencia:

$a)\ \frac{2^7}{2^3} \quad b)\ \frac{3^5}{3^3} \quad c)\ \frac{5^3}{5^3} \quad d)\ \frac{2^7}{2^{-3}} \quad e)\ \frac{3^{-2}}{3^2} \quad f)\ \frac{5^{-4}}{5^{-3}}$
Comprueba tus resultados en la siguiente escena.

Actividad 3: Potencia de un producto.

Actividad:

Expresa en forma de producto de potencias los siguientes expresiones:

$a)\ (2.5)^6 \quad b)\ (3.4)^2 \quad c)\ (2.8)^3 \quad d)\ (4.6)^4 \quad e)\ (2.5)^{-2} \quad f)\ (3.2)^{-3} \quad g)\ (2.5)^{-3}$
Calcula la solución en tu cuaderno y compruébalo en la escena siguiente.

Actividad 4: Potencia de un cociente.

Actividad:

Expresa en forma de cociente de potencias los siguientes expresiones:

$a)\ \left( \frac{8}{2} \right )^6 \quad b)\ \left( \frac{8}{4} \right )^2 \quad c)\ \left( \frac{10}{5} \right )^3 \quad d)\ \left( \frac{8}{4} \right )^{-2} \quad e)\ \left( \frac{10}{5} \right )^{-3} \quad f)\ \left( \frac{9}{3} \right )^{-4}$
Calcula la solución en tu cuaderno y compruébalo en la escena siguiente.

Actividad 5: Potencia de una potencia.

Actividad:

Escribe en tu cuaderno las siguientes potencias en forma de potencia con un solo exponente:

$a)\ (2^3)^7 \quad b)\ (3^5)^3 \quad c)\ (5^5)^3 \quad d)\ (2^{-3})^2 \quad e)\ (3^3)^{-2} \quad f)\ (5^{-2})^{-3}$
Calcula la solución en tu cuaderno y compruébalo en la escena siguiente.

Ejercicios

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1. Simplifica y expresa en forma de fracción:

a) $\cfrac{-5^2}{5^5}$ b) $\cfrac{0,001}{10^2}$ c) $\cfrac{(a^3 \cdot b^{-2})^2}{a^4 \cdot b^{-3}}$

Solución:

a) $-\cfrac{1}{125}$ b) $\cfrac {1}{100.000}$ c) $\cfrac{a^2}{b}$

2. Simplifica:

a) $\left ( \cfrac{-1}{5} \right )^3$ b) $\left [ \left ( \cfrac{-1}{3} \right )^{-2} \right ]^2$ c) $\left ( \cfrac{-1}{3} \right )^3 \cdot \left ( \cfrac{1}{-3} \right )^{-2}$

Solución:

a) $-\cfrac{1}{125}$ b) $81 \;\!$ c) $-\cfrac{1}{3}$

3. Calcula utilizando las propiedades de las potencias:

$a)\ \frac{6^3.8^4}{3^0.3^3.2^4.2^2} \quad b)\ \frac{25^3.3^{-2}}{15^4.3^{-3}.5^4} \quad c)\ \frac{10^3.16.5^2}{100.8.25}$

Solución:

$a)\ \frac{6^3.8^4}{3^0.3^3.2^4.2^2}= \frac{(2.3)^3.(2^3)^4}{1.3^3.2^6}= \frac{2^3.3^3.2^{12}}{3^3.2^6}= \frac{2^{15}.3^3}{3^3.2^6}=2^9$

$b)\ \frac{25^3.3^{-2}}{15^4.3^{-3}.5^4}= \frac{(5^2)^3.3^{-2}}{(3.5)^4.3^{-3}.5^4}= \frac{5^6.3^{-2}}{3^4.5^4.3^{-3}.5^4}= \frac{5^6.3^{-2}}{3.5^8}= 5^{-2}.3^{-3}= \frac{1}{5^2.3^3}$

$c)\ \frac{10^3.16.5^2}{100.8.25}= \frac{(2.5)^3.2^4.5^2}{2^2.5^2.2^3.5^2}= \frac{2^7.5^5}{2^5.5^4}=2^2.5$

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