Funciones: Crecimiento, Máximos y Mínimos (4ºESO Académicas)

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(Pág. 89)

Tabla de contenidos

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Crecimiento y variación de una función

  • Una función es creciente en un intervalo I cuando al aumentar la variable independiente x\; en ese intervalo, aumenta la variable dependiente y\;.
\forall x_1,x_2 \in I, x_1<x_2 \Rightarrow f(x_1)<f(x_2)
  • Una función es decreciente en un intervalo cuando al aumentar la variable independiente x\; en ese intervalo, disminuye la variable dependiente y\;.
\forall x_1,x_2 \in I, x_1<x_2 \Rightarrow f(x_1)>f(x_2)
  • Una función es constante en un intervalo cuando al aumentar la variable independiente x\; en ese intervalo, la variable dependiente y\; no varía, siempre toma un mismo valor k\;.
f(x)=k \ , \forall x \in I

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Crecimiento de una función
Tutorial 1 (2'50")     Sinopsis:

Tutorial en el que se explica el estudio del crecimiento de una función dada su gráfica.

Tutorial 2 (7'10")     Sinopsis:

Tutorial en el que se explica el estudio del crecimiento de una función dada su gráfica.

Tutorial 3 (12´24")     Sinopsis:

Conceptos de función creciente, decreciente y constante.

Ejercicio 1 (1'58")     Sinopsis:

Estudio del crecimiento de una función a partir de su gráfica.

Ejercicio 2 (2'08")     Sinopsis:

Estudio del crecimiento de una función a partir de su gráfica.

Ejercicio 3 (1'24")     Sinopsis:

Estudio del crecimiento de una función a partir de su gráfica.

Ejercicio 4 (1'28")     Sinopsis:

Estudio del crecimiento de una función a partir de su gráfica.

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Crecimiento de una función
Actividad 1     Descripción:

Actividades con las que aprenderás a determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de una función.

Actividad 2     Descripción:

En esta escena podrás ver cuando una función es creciente, decreciente o constante.

Autoevaluación     Descripción:

Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de una función.

Se llama variación de una función f\; en un intervalo [a,b]\;, a lo que varía la variable dependiente de un extremo a otro del intervalo:

\Delta f_{[a,b]}=f(b)-f(a)\;

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Extremos relativos de una función

  • Una función y = f(x)\; tiene un máximo relativo en un punto (x_o,y_o)\; cuando y_o\; es mayor que los valores que toma la variable y\; en un intervalo entorno al punto.
  • Una función y = f(x)\; tiene un mínimo relativo en un punto (x_o,y_o)\; cuando y_o\; es menor que los valores que toma la variable y\; en un intervalo entorno al punto.

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Máximos y mínimos de una función
Tutorial 1 (1'59")     Sinopsis:

Tutorial en el que se explica el estudio de máximos y mínimos (relativos y absolutos) de una función dada su gráfica.

Tutorial 2 (8'08")     Sinopsis:

Tutorial en el que se explica el estudio de máximos y mínimos (relativos y absolutos) de una función dada su gráfica.

Tutorial 3 (5'51")     Sinopsis:

Conceptos de máximo y mínimo relativos.

Ejercicio 1 (2'17")     Sinopsis:

Estudio de los puntos extremos de una función a partir de su gráfica.

Ejercicio 2 (1'12")     Sinopsis:

Estudio de los puntos extremos de una función a partir de su gráfica.

Ejercicio 3 (1'10")     Sinopsis:

Estudio de los puntos extremos de una función a partir de su gráfica.

Ejercicio 4 (3'45")     Sinopsis:

Estudio de los puntos extremos de una función a partir de su gráfica.

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Máximos y mínimos de una función
Actividad 1     Descripción:

Actividades con las que aprenderás a determinar los máximos y mínimos de una función dada gráficamente.

Actividad 2     Descripción:

En esta escena podrás ver cuando una función alcanza un máximo o un mínimo.

Actividad 3     Descripción:

Interpreta la siguiente gráfica que muestra las temperaturas a lo largo de un día de invierno en un pueblo de Valladolid. Averigua sus máximos y mínimos relativos.

Actividad 4     Descripción:

Construye una gráfica que cumpla ciertas condiciones sobre los puntos por los que pasa. Se exigira, por ejemplo, que tenga máximos o mínimos en ciertos puntos, que tenga ciertos puntos de corte con los ejes, etc.

Actividad 5     Descripción:

Unos alumnos de E.S.O. disponen de una cuerda de 80 metros de longitud con la que quieren construir rectángulos en el patio de su centro.

  1. Haz una tabla de valores donde se relacione la base de los rectángulos y su área.
  2. Representa gráficamente la función.
  3. Halla una expresión que te permita calcular el área de cualquiera de esos rectángulos, conocida su base.
  4. ¿Cuál es el dominio de esta función?
  5. ¿Para qué valor del lado se consigue un rectángulo de área máxima? ¿Qué tiene de peculiar ese valor?
Autoevaluación 1     Descripción:

Máximos y mínimos relativos o locales.

Autoevaluación 2     Descripción:

Máximos y mínimos absolutos.

wolfram
Extremos relativos
wolfram

Actividad: Extremos relativos

Nota para los cursos de secundaria: Algunas de las siguientes actividades son sólo ilustrativas ya que su resolución manual requiere conocimientos de 1º de bachillerato.

a) Halla los máximos relativos de la función y=x(40-x)\;
b) Halla los mínimos relativos de la función y=x^2+2x+1\;
c) Halla los extremos relativos (máximos y mínimos relativos) de la función y=\cfrac{x^3}{3}-x^2-8x\;.

Solución:
Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:
a) maxima x(40-x)
b) minima x^2+2x+1
c) extrema x^3/3-x^2-8x


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Actividades y videotutoriales

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Interpretación de gráficas
Ejercicio 1 (3'50")     Sinopsis:

Interpreta la gráfica dada.

Ejercicio 2 (4'42")     Sinopsis:

Interpreta la gráfica dada.

Interpretación de gráficas     Descripción:

Problemas verbales de interpretación de gráficas.

ejercicio

Ejercicios resueltos: Crecimiento. Máximos y mínimos

1. En la siguiente función, indica los intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como los máximos y mínimos relativos.

Imagen:funcion1d.png
Solución:

  • Creciente: [-2, 0] \cup [3, 5]\;\!
  • Decreciente:[-4, -2] \cup [0, 3]\;\!
  • Máximo relativo:(0,5)\;
  • Mínimos relativos:(-2,-3) \ y \ (3,-4)

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Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Crecimiento, Máximos y Mínimos

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Tasa de variación media

Para medir el crecimiento medio de una función en un intervalo [a,b], se utiliza la tasa de variación media (T.V.M.) o tasa de cambio, que se define como el cociente de la variación de y entre la variación de x:

T.V.M._f \,[a,b]=\cfrac{\mathcal{4}y}{\mathcal{4}x}=\cfrac{f(b)-f(a)}{b-a}

Si hacemos b=a+h \quad (h \ne 0), la expresión anterior queda como sigue:

T.V.M._f \,[a,a+h]=\cfrac{\mathcal{4}y}{\mathcal{4}x}=\cfrac{f(a+h)-f(a)}{h}

ejercicio
Ejemplo:

Sea f(x)= 5x-x^2\;, su T.V.M. en el intervalo [1,2] es:

T.V.M._f \,[1,2]=\cfrac{\mathcal{4}y}{\mathcal{4}x}=\cfrac{f(2)-f(1)}{2-1}=\cfrac{6-4}{1}=2

ejercicio

Proposición

La T.V.M. de una función en un intervalo [a,b]\; es igual a la pendiente de la recta secante a la gráfica de la función en puntos de abcisas a\; y b\;.

Demostración:
Observa el dibujo de la derecha. Por la definición de T.V.M. y teniendo en cuenta que la tangente de un ángulo es el cociente entre el cateto opuesto y el cateto contiguo, tenemos:


T.V.M._f \,[a,b]=\cfrac{\mathcal{4}y}{\mathcal{4}x}=tg\, \alpha=m


donde m\, es la pendiente de la recta r.

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Tasa de variación media
Tutorial 1 (10'03")     Sinopsis:
  • Definición de tasa de variación media de una función.
  • Ejemplo a partir de la gráfica de la función.
  • Ejemplo a partir de la expresión analítica de la función.
Tutorial 2a (11'56")     Sinopsis:
  • Definición de tasa de variación media o tasa de cambio de una función f en el intervalo [a,a+h].
  • Interpretación geométrica.
  • Ejemplos
Tutorial 2b: La palabra rapidez (18'54")     Sinopsis:

Algunos ejemplos que relacionan el concepto de tasa de variación media con el de velocidad media.

Tutorial 2c: Tasa de variación media de una recta (6'50")     Sinopsis:

Tasa de variación media de una recta

Tutorial 2d: Tasa de variación media de una parábola (7'57")     Sinopsis:

Tasa de variación media de una parábola. Interpretación con un ejemplo de la vida cotidiana.

Ejercicio 1 (2'53")     Sinopsis:

Calcula la T.V.M. de f(x) = x2 + 2; en [1,4].

Ejercicio 2 (12'50")     Sinopsis:

Calcula la T.V.M. de:

a) d(t) = 3t + 1; en [0,1] y [1,2].
b) d(t) = t2 + 1; en [0,3] y [2,3].
Ejercicio 3 (2'48")     Sinopsis:

A partir de la gráfica, determina el intervalo en el cual la T.V.M. de la función es -4.

Ejercicio 4 (2'34")     Sinopsis:

A partir de la tabla, determina la T.V.M. de la función en el intervalo [-5, -2].

Ejercicio 5 (7'27")     Sinopsis:

Dada la función y=\cfrac{1}{8}x^3-x^2\;, ¿sobre cuál de los siguientes intervalos tiene T.V.M. igual a 1/2: [-2, 2], [0, 4], [-3, 2], [-4, 1] ?

Ejercicio 9 (10´20")     Sinopsis:

Cálcula la T.V.M. de y=x^2 \, , \ y= \frac{1}{x} \, , \ y= 2^x en el intervalo [x, x+h].

Problema 1 (3'46")     Sinopsis:

Problema sobre el cálculo de la tasa de variación media a partir de una tabla.

Problema 2 (7'48")     Sinopsis:

Problema sobre el cálculo de la tasa de variación media a partir de una gráfica.

Problema 3 (4'57")     Sinopsis:

Problema sobre el cálculo de la tasa de variación media.

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Tasa de variación media
Actividad 1     Descripción:

Tasa de variación media.

Actividad 2     Descripción:

En esta escena podrás calcular la T.V.M. de la función que tú quieras.

Autoevaluación 1     Descripción:

Tasa de variación media.

Autoevaluación 2     Descripción:

Problemas verbales sobre la tasa de variación media.

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Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Tasa de variación media

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2 y 3

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