Funciones lineales: Función afín

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Tabla de contenidos

1 Función lineal
- 1.1 Función constante
2 Pendiente de una función lineal
3 Ejercicios

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Función lineal

Una función lineal es aquella cuya expresión analítica puede expresarse como:

$y=mx+n\;$

$x\;\!$ es la variable independiente.
$y\;\!$ es la variable dependiente.
$m\;\!$ es una constante que se denomina pendiente.
$n\;\!$ es otra constante denominada ordenada en el origen. (Si $n \ne 0$ recibe el nombre de función afín)

Representación gráfica

La gráfica de una función lineal es una recta que corta al eje de ordenadas en el punto $(0,n)\;\!$ .
En consecuencia, para representarla, necesitamos dos puntos, uno de los cuales puede ser el $(0,n)\;$ . El otro punto se obtendrá a partir de la ecuación.

Ejemplo: Función lineal

Un estanque tiene un grifo que vierte 5 litros por minuto. Haz una tabla que relacione el tiempo transcurrido (en minutos) y el volumen (en litros) de estanque que se llena. Escribe la fórmula que relaciona el volumen y el tiempo. Representa gráficamente los resultados.
Repite el apartado anterior suponiendo que el estanque tiene un volumen inicial de 20 litros.
¿Y si partiésemos de un volumen inicial de 10 litros, cuáles serían los resultados?
Compara las gráficas obtenidas e indica que tienen en común y en qué se diferencian.
¿Qué fórmula correspondería a esta situación gráfica?

Solución:

1. Un estanque tiene un grifo que vierte 5 litros por minuto.

Partimos de que el estanque se encuentra vacío inicialmente. Completa la tabla:

Tiempo (min)	0	1	4	6	t
Volumen (litros)	0	5

La fórmula que expresa la relación entre el volumen y el tiempo es:

$V=5t\;$

2. Supongamos ahora que el estanque tiene inicialmente un volumen de 20 litros.

Completa la tabla:

Tiempo (min)	0	1	4	6	t
Volumen (litros)	20	25

La fórmula que expresa la relación entre el volumen y el tiempo ahora es:

$V=5t+20\;$

3. Ahora supondremos que el estanque tiene inicialmente un volumen de 10 litros.

Completa la tabla:

Tiempo (min)	0	1	4	6	t
Volumen (litros)	10	15

La fórmula que expresa la relación entre el volumen y el tiempo ahora es:

$V=5t+10\;$

4. Las graficas son rectas paralelas que cortan al eje de ordenadas a una altura que coincide con el volumen inicial del estanque. Por tanto, tienen en común que tienen la misma inclinación y se diferencian en el punto de corte con el eje de ordenadas.

5. Para esta gráfica que corta al eje de ordenadas en 5, la fórmula que expresa la relación entre el volumen y el tiempo es:

$V=5t+5\;$

Función lineal Descripción:

En esta escena podrás ver e interactuar con las gráficas de funciones lineales y estudiar sus propiedades.

Función lineal

Tutorial 1 (41'50") Sinopsis:

Tutorial en el que se explican los conceptos básicos y propiedades de las funciones lineales, así como su representación gráfica.

Tutorial 2 (8'23") Sinopsis:

Representación gráfica de funciones lineales.

Tutorial 3: Representación con Geogebra (14'58") Sinopsis:

Representación gráfica de funciones lineales con Geogebra.

Tutorial 4 (12'26") Sinopsis:

Tutorial en el que se explican los conceptos básicos y propiedades de las funciones lineales, así como su representación gráfica.

Ejercicio 1 (14'17") Sinopsis:

Representa gráficamente la función $y=2x+1\;$ .

Ejercicio 2 (6'41") Sinopsis:

Representa gráficamente la función $y=2x-41\;$ a partir de sus puntos de corte

Ejercicio 3 (9'10") Sinopsis:

Representa gráficamente las funciones:

a) $y=3x+2\;$

b) $4+y=2x\;$

c) $y=\cfrac{1}{2}x+\cfrac{1}{5}\;$

Función lineal

Actividad 1a Descripción:

Definición de función lineal. Ejemplos.

Actividad 1b Descripción:

Actividades en las que aprenderás a representar funciones lineales y a identificar su ecuación a partir de su gráfica.

Actividad 2a Descripción:

Ejercicio sobre funciones lineales.

Actividad 2b Descripción:

Ejercicio sobre funciones lineales.

Actividad 2c Descripción:

Ejercicio sobre funciones lineales.

Autoevaluación 1 Descripción:

Identifica ecuaciones de rectas a partir de sus gráficas.

Autoevaluación 2 Descripción:

Problemas sobre ecuaciones, tablas y gráficas de funciones lineales.

Autoevaluación 3 Descripción:

Ejercicios sobre funciones lineales.

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Función constante

Si $m=0\,$ , las funciones que se obtienen son de la forma $y=n\,$ y reciben el nombre de funciones constantes. Sus gráficas son rectas horizontales (paralelas al eje X).

Función constante (22'15") Sinopsis:

La función constante. Ejemplos.
Las rectas verticales no son funciones constantes, de hecho no son ni siquiera una función, pero tienen ecuación.

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Pendiente de una función lineal

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Concepto de pendiente

En topografía, la pendiente es la relación que existe entre el desnivel, o distancia en vertical, que debemos superar y la distancia en horizontal que debemos recorrer:

$Pendiente = \cfrac{Distancia \ vertical} {Distancia \ horizontal}$

Se suele dar en tanto por ciento, para lo cual se multiplica la fracción anterior por 100:

$% \, Pendiente = \cfrac{Distancia \ vertical} {Distancia \ horizontal} \cdot 100$

Ejemplo:

Una rampa con un ángulo de inclinación de 45º tiene una pendiente del 100%, ya que el triángulo formado por la rampa es isósceles.

Este concepto topográfico de pendiente tiene mucho que ver con el concepto de pendiente de una función lineal si consideramos la recta, su gráfica, como si fuese una rampa. No obstante, la pendiente de una función lineal puede tomar valores negativos, mientras que la pendiente topográfica siempre es positiva, como podrás comprobar en la siguiente actividad interactiva.

Pendiente

Actividad 1 Descripción:

Concepto de pendiente. En la escena podrás calcular la pendiente de una rampa.

Autoevaluación 1 Descripción:

Escena en la que podrás practicar el cálculo de la pendiente a partir de una gráfica.

Autoevaluación 2 Descripción:

Escena en la que podrás practicar dibujando una gráfica que tenga una pendiente dada.

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Cálculo de la pendiente

Proposición

Consideremos una función lineal $y=mx+n\;$ y dos puntos $A(x_1,y_1)\;$ y $B(x_2,y_2)\;$ de la recta que la representa.

La pendiente se puede calcular de la siguiente manera:

$m=\cfrac {\Delta y}{\Delta x}=\cfrac {y_2-y_1}{x_2-x_1}$

Demostración:

Como $A(x_1,y_1)\;$ es un punto de la recta, verifica su ecuación: $y_1=mx_1+n\;$

Como $B(x_2,y_2)\;$ es otro punto de la recta, también verifica su ecuación: $y_2=mx_2+n\;$

Restando ambas expresiones:

$y_2-y_1=mx_2+n-(mx_1+n) \ \rightarrow \ y_2-y_1=mx_2-mx_1 \ \rightarrow \ y_2-y_1=m(x_2-x_1)$

y despejando m:

$m=\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

Cálculo de la pendiente de una función lineal

Tutorial 1 (16'07") Sinopsis:

En este vídeo se explica como se calcula la pendiente de una recta.
También se resolverá el siguiente problema: Los vértices de un triángulo son los puntos (2,-2), (-1,4) y (4,5). Halla la pendiente de cada uno de sus lados.

Tutorial 2a (7'34") Sinopsis:

Introducción a la pendiente de una recta.

Tutorial 2b (13'43") Sinopsis:

Ejemplos de cálculo de la pendiente de una recta a partir de su gráfica.

Ejercicio 1 (7'13") Sinopsis:

Encuentra la pendiente de la recta que pasa por los puntos (4,2) y (-3, 16).

Ejercicio 2 (4'41") Sinopsis:

Encuentra la pendiente de la recta dada en el video.

Ejercicio 3 (5'06") Sinopsis:

Halla la pendiente de la recta que pasa por los puntos (7,-1) y (-3,-1).

Ejercicio 4 (1'54") Sinopsis:

Halla la pendiente de la recta que pasa por los puntos P(2,7) y Q(-2,3).

Cálculo de la pendiente de una función lineal

Actividad 1 Descripción:

Pendiente de una recta.

Actividad 2 Descripción:

Escena en la que aprenderás a calcular la pendiente de una función lineal.

Actividad 3 Descripción:

Practica el cálculo de la pendiente de una función lineal a partir de dos puntos.

Autoevaluación 1 Descripción:

La pendiente a partir de dos puntos.

Autoevaluación 2 Descripción:

La pendiente a partir de una gráfica.

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La pendiente y el crecimiento

Propiedades

La pendiente, $m\,$ , describe el crecimiento de la función $y=mx+n\,$ :

Si $m>0\,$ , la función es creciente.
Si $m<0\,$ la función es decreciente.
Si $m=0\,$ la función es constante (recta horizontal).

Además, cuanto mayor es su pendiente (en valor absoluto), más inclinada es su gráfica.

Significado del signo de la pendiente (4'44") Sinopsis:

Pendiente de una recta. Significado del signo de la pendiente.

La pendiente y el crecimiento Descripción:

En esta escena podrás ver como afecta el signo de la pendiente al crecimiento de la función lineal.

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Obtención de la función lineal a partir de su gráfica

Procedimiento

Para determinar la ecuación de una función lineal a partir de su gráfica seguiremos uno de los dos procedimientos siguientes:

Procedimiento 1:

Localizaremos en la gráfica el punto de corte con el eje Y, $(0,n)\;$ , para averiguar el valor del parámetro $n\;$ .
Localizaremos otro punto de la recta cuyas coordenadas sean conocidas.
Con esos dos puntos calcularemos la pendiente: $m=\cfrac{\Delta y} {\Delta x}$ .
Una vez averiguados $m\;$ y $n\;$ , los sustituiremos en la ecuación $y=mx+n\;$ .

Procedimiento 2:

Si no fuera posible determinar el punto de corte con el eje Y, $(0,n)\;$ , localizaremos en la gráfica dos puntos de la recta cuyas coordenadas sean conocidas.
Con esos dos puntos calcularemos la pendiente: $m=\cfrac{\Delta y} {\Delta x}$ .
Una vez averiguada $m\;$ , sustituiremos las coordenadas de uno de los dos puntos en la ecuación $y=mx+n\;$ y despejaremos $n\;$ .

Observación:

Estos procedimientos sólo funcionan si la gráfica nos permite determinar los puntos de los apartados 1 y 2.

Obtención de la función afín a partir de su gráfica

Tutorial 1 (4'59") Sinopsis:

Obtención de la función afín a partir de su gráfica.

Tutorial 2 (11'13") Sinopsis:

Obtención de la función afín a partir de su gráfica. Ejemplos.

Problema 1 (4'25") Sinopsis:

Halla la ecuación de la recta a partir de la gráfica dada.

Problema 2 (7'21") Sinopsis:

Halla el valor de a a partir de la información dada en la gráfica.

Problema 3 (9'27") Sinopsis:

Problema sobre funciones lineales.

Obtención de la función afín a partir de su gráfica

Actividad 1 Descripción:

Aprende a obtener la ecuación de una función afín a partir de su gráfica.

Actividad 2 Descripción:

En esta escena podrás practicar aprender como se obtiene la ecuación de la función lineal a partir de su gráfica.

Actividad 3 Descripción:

En esta escena podrás practicar con ejercicios en los que se trata de obtener la ecuación de la función lineal a partir de su gráfica.

Autoevaluación Descripción:

Aprende a obtener la ecuación de una función afín a partir de su gráfica.

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Ejercicios

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Interpretación de funciones lineales

Interpretación de funciones lineales

Problema 1 (4'04") Sinopsis:

Problema de funciones lineales a partir de una tabla: ganancias.

Problema 2 (6'50") Sinopsis:

Problema de funciones lineales a partir de una tabla: volcán.

Problema 3 (4'11") Sinopsis:

Problema de funciones lineales a partir de una gráfica: gatos.

Problema 4 (3'59") Sinopsis:

Problema de funciones lineales a partir de una ecuación: canicas.

Problema 5 (3'58") Sinopsis:

Problema de funciones lineales a partir de una ecuación: transferencia de archivos.

Interpretación de funciones lineales

Autoevaluación 1 Descripción:

Problemas de funciones lineales a partir de tablas.

Autoevaluación 2 Descripción:

Problemas de funciones lineales a partir de gráficas.

Autoevaluación 3 Descripción:

Problemas de funciones lineales a partir de ecuaciones.

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Comparación de funciones lineales

Comparación de funciones lineales

Problema 1 (2'14") Sinopsis:

Comaparación de funciones lineales: gráfica vs ecuación.

Problema 2 (2'48") Sinopsis:

Comparación de funciones lineales: gráfica vs tabla.

Problema 3 (4'03") Sinopsis:

Comparación de funciones lineales: gráfica vs tabla.

Problema 4 (5'25") Sinopsis:

Problema verbal de comparación de funciones lineales (ecuación vs tabla): escalada.

Problema 5 (3'37") Sinopsis:

Problema verbal de comparación de funciones lineales (tabla): caminar.

Problema 6 (3'53") Sinopsis:

Problema verbal de comparación de funciones lineales (tabla): distancia al trabajo.

Comparación de funciones lineales

Autoevaluación 1 Descripción:

Compara funciones lineales.

Autoevaluación 2 Descripción:

Problemas verbales de comparación de funciones lineales.

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Modelado de funciones lineales

Modelado de funciones lineales

Problema 1 (5'04") Sinopsis:

Karl llenó el tanque de su camión con 400 litros de gasolina y se preparó para entregar un cargamento de plátanos en Alaska. El camión consumió 0.8 litros de gasolina por cada kilómetro recorrido. Representa gráficamente la cantidad de gasolina que queda en el tanque del camión (en litros) en función de la distancia recorrida (en kilómetros).

Problema 2 (3'15") Sinopsis:

Omojobi mide 220 cm. Quería llenar una piscina de manera que la altura del agua fuera la misma que la de él. El nivel del agua aumentó6 cm cada minuto y llegó a la altura deseada después de 20 minutos. Representa gráficamente el nivel del agua (en centímetros) en función del tiempo (en minutos).

Problema 3 (7'18") Sinopsis:

Un lago cerca del Círculo Polar Ártico se cubre con una capa de hielo de 2 metros de grosor durante los meses de invierno. Cuando llega la primavera, el aire caliente derrite el hielo gradualmente, provocando que su grosor disminuya a tasa constante. Después de 3 semanas, la capa de hielo tiene solo 1.25 metros de grosor. Sea S(t) el grosor de la capa de hielo (medido en metros) en función del tiempo t (medido en semanas). Escribe su ecuación.

Problema 4 (10'29") Sinopsis:

Hiro pintó su habitación a una tasa de 8 metros cuadrados por hora. Después de 3 horas pintando, le faltaban por pintar 28 metros cuadrados. Sea A(t) el área por pintar (medida en metros cuadrados) en función del tiempo t (medido en horas). Escribe su ecuación.

Problema 5 (11'58") Sinopsis:

Naoya leyó un libro completo en una sola sesión, a una tasa de 55 páginas por hora. Después de leer durante 4 horas, le quedaban 330 páginas por leer. ¿Cuántas páginas tenía el libro?.¿Cuánto tiempo llevó a Naoya leer el libro entero?

Problema 6 (6'00") Sinopsis:

Guillermo tiene un tanque de vidrio de 26 litros. Primero quiere poner algunas canicas en él, todas del mismo volumen. Luego quiere llenar el tanque con agua hasta que esté completamente lleno. Si usa 85 canicas, el tendrá que agregar 20.9 litros de agua. ¿Cuál es el volumen de cada canica?.¿Cuánta agua necesita si pone 200 canicas?

Modelado de funciones lineales

Autoevaluación 1 Descripción:

Problemas verbales de representación gráfica de funciones lineales.

Autoevaluación 2 Descripción:

Problemas verbales de obtención de la ecuación de funciones lineales.

Autoevaluación 3 Descripción:

Problemas verbales de modelado de funciones lineales.