Plantilla:Ramas infinitas. Asíntotas (1ºBach)

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Tabla de contenidos

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1 Ramas infinitas
- 1.1 Asíntota
- 1.2 Rama parabólica
2 Estudio de las asíntotas de una función
- 2.1 Ejercicios propuestos
3 Ramas infinitas de las funciones racionales
- 3.1 Ejercicios propuestos
4 Ramas infinitas de las funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas

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Ramas infinitas

Una función presenta una rama infinita si presenta una asíntota o una rama parabólica.

Pasamos a definir asíntota y rama parabólica.

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Asíntota

Una asíntota es una recta hacia la que se acerca la gráfica de una función, tanto como se quiera, a medida que la variable independiernte se aproxima a un punto, a $+ \infty$ o a $-\infty$ .

Hay tres tipos:

Asíntota vertical (A.V.)
Asíntota horizontal (A.H.)
Asíntota oblicua (A.O.)

Nota: La función nunca puede cortar una A.V., pero si puede cortar a una A.H. o a una A.O.

Asíntotas (5'34") Sinopsis:[Mostrar]

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Asíntota vertical

Una función $f(x)\;$ presenta en $x=a\;$ una asíntota vertical (A.V.) si ocurre alguna, o ambas, de estas dos cosas:

$\lim_{x \to a^+} f(x)=+ \infty \ \ (\acute{o} \ -\infty)$

$\lim_{x \to a^-} f(x)=+ \infty \ \ (\acute{o} \ -\infty)$

Nota: Se pueden dar las dos condiciones o una sola de ellas.

Ejemplo: [Mostrar]

Asíntota vertical: x = 2

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Asíntota horizontal

Una función $f(x)\;$ presenta una asíntota horizontal (A.H.) en $y=a\;$ si:

$\lim_{x \to +\infty} f(x)= a$

o bien,

$\lim_{x \to -\infty} f(x)= a$

Nota: Se pueden dar las dos condiciones o una sola de ellas.

Ejemplo: [Mostrar]

Asíntota horizontal: y = 1

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Asíntota oblicua

Una función $f(x)\;$ presenta una asíntota oblicua (A.O.) en $y=mx+n\;$ si:

$\lim_{x \to +\infty} [f(x)-(mx+n)]= 0$

o bien,

$\lim_{x \to -\infty} [f(x)-(mx+n)]= 0$

Nota: Se pueden dar las dos condiciones o una sola de ellas.

Para calcular los coeficientes $m\;$ y $n\;$ de la asíntota, se procederá de la siguiente manera:

$m=\lim_{x \to +\infty} \cfrac{f(x)}{x}$ (o bien, con $x \to -\infty$ )

$n=\lim_{x \to +\infty} [f(x)-mx]$ (o bien, con $x \to -\infty$ )

Ejemplo: [Mostrar]

Asíntota oblicua: y = x + 3

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Rama parabólica

Una función $f(x)\;$ presenta una rama parabólica si no presenta una asíntota oblicua pero cumple que:

$\lim_{x \to +\infty} f(x)= +\infty \ (\acute{o} -\infty)$

o bien,

$\lim_{x \to -\infty} f(x)= +\infty \ (\acute{o} -\infty)$

Ramas parabólicas

Ejemplo: [Mostrar]

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Estudio de las asíntotas de una función

Tutorial 1 (15'24") Sinopsis:[Mostrar]

Tutorial 2a (A.V.) (9'04") Sinopsis:[Mostrar]

Tutorial 2b (A.H.) (9'03") Sinopsis:[Mostrar]

Tutorial 2c (A.O.) (7'42") Sinopsis:[Mostrar]

Tutorial 2d (A.O.) (7'32") Sinopsis:[Mostrar]

Tutorial 2e (A.O.) (8'05") Sinopsis:[Mostrar]

Ejemplos (30'17") Sinopsis: [Mostrar]

Tendencia de una función [Mostrar]

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Ejercicios propuestos

Ejercicios propuestos: Ramas infinitas

(Pág. 287)

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Ramas infinitas de las funciones racionales

Proposición

Consideremos la función racional en la variable x, ya simplificada (es decir, si el numerador y el denominador tienen factores comunes, cosa que ocurre si se anulan simultáneamente en algún punto, factorizaremos y simplificaremos dichos factores):

$f(x)=\cfrac{P(x)}{Q(x)}=\cfrac{a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+ \cdots + a_1 x + a_0}{b_m x^m+b_{m-1}x^{m-1}+ \cdots + b_1 x + b_0}\;$

La función $f(x)\;$ (ya simplificada) tiene las siguientes ramas infinitas, si se da alguno de los siguientes casos:

Asíntotas verticales:
- Si $x=c\;$ es una raíz de Q(x), entonces la recta $x=c\;$ es una asíntota vertical de $f(x)\;$ .

Asíntotas horizontales:
- Si $n<m\;$ , entonces la recta $y=0\;$ es una asíntota horizontal de $f(x)\;$ , tanto por $+ \infty$ , como por $- \infty$ .
- Si $n=m\;$ , entonces la recta $y=\cfrac{a_n}{b_n}\;$ es una asíntota horizontal de $f(x)\;$ , tanto por $+ \infty$ , como por $- \infty$ .

Asíntotas oblicuas:
- Si $n-m=1\;$ , $f(x)\;$ tienen una asíntota oblicua, tanto por $+ \infty$ , como por $- \infty$ . Dicha asíntota es igual al cociente de la división entre $P(x)\;$ y $Q(x)\;$ .

Ramas parabólicas:
- Si $n-m>1\;$ , entonces $f(x)\;$ tiene una rama parabólica, tanto por $+ \infty$ , como por $- \infty$ .

Ramas infinitas de funciones racionales [Mostrar]

Ejercicios resueltos

Halla todas las ramas infinitas de las siguientes funciones:

a) $y=\cfrac{x^2+1}{x^2-2x}$ b) $y=\cfrac{x^2-5x+7}{x-2}$ c) $y=\cfrac{x^3-5x^2}{-x+3}$

Solución:[Mostrar]

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Ejercicios propuestos

Ejercicios propuestos: Ramas infinitas de las funciones racionales

(Pág. 289)

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Ramas infinitas de las funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas

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Funciones trigonométricas

Si recordamos las propiedades de las funciones trigonométricas, tenemos:

Propiedades

Las funciones $y=sen x\;$ , $y=cos x\;$ e $y=tg x\;$ , por ser periódicas, no tienen límite cuando $x \to +\infty$ ni cuando $x \to -\infty$ . Por tanto no tienen ramas parabólicas, ni asíntotas horizontales. Las dos primeras tampoco tienen asíntotas verticales por ser su dominio los números reales.