Progresiones geométricas sorprendendentes (3ºESO Académicas)

La recompensa al inventor del ajedrez: Según una leyenda india, el inventor del ajedrez solicitó, como recompensa por el invento, que se pusiera 1 grano de trigo en la primera casilla del tablero, 2 en la segunda, 4 en la tercera, y así sucesivamente; en cada una el doble que en la anterior. El rey aceptó, pero su sorpresa fue grande cuando vio, no sólo que no cabían los granos en las casillas, sino que no había suficiente trigo en todo el reino para cumplir el compromiso.

Suponiendo que 10 granos de trigo pesan aproximadamente 1 g. ¿Podrías averiguar cuántos kg de trigo solicitó el inventor?

Una progresión increible: Supongamos que plegamos, sucesivas veces, una hoja de papel de 0.14 mm de grosor. Con cada pliegue duplicamos el grosor.

Comprueba que:

a) Con 22 dobleces supera la altura de la torre Eiffel (324 m).

b) Con 26 dobleces supera la altura del Everest (8848 m)

c) Con 50 dobleces supera la distancia de la Tierra al Sol (150 millones de km).

Aquiles y la tortuga: Zenón, filósofo griego del s. V a.C., describió la siguiente paradoja:

Aquiles corre a alcanzar a una tortuga que huye de él. Cuando llega donde estaba la tortuga, esta ya ha avanzado un treho. Cuando Aquiles recorre ese trecho, la tortuga avanza otro poco. Y así sucesivamente, cuando Aquiles llega a donde estaba la tortuga, esta ya ha avanzado algo. Por tanto, nunca la alcanza.

Intenta demostrar que este argumento de Zenón es falso. Para ello puede suponer que Aquiles corre 10 veces más rápido que la tortuga y que inicialmente la tortuga se encuentra a una distancia de Aquiles que este tarda en recorrer, por ejemplo, 10 s. Es decir, Aquiles tardaría 10 seg en alcanzar el punto de partida de la tortuga. Una vez alcanzado este, tardaría 1 s en alcanzar la nueva posición de la tortuga, luego 1/10 s en alcanzar el siguiente, etc. Si este proceso lo repetimos infinitas veces (momento en el que se daría alcance a la tortuga), ¿cuánto tiempo habría invertido Aquiles en total?