Identidades (3ºESO Académicas)

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Tabla de contenidos

(Pág. 88)

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Identidad

  • Una identidad es una expresión algebraica, en forma de igualdad, que es cierta para cualquier valor que le demos a las letras que intervienen.

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Productos notables

Los productos notables son unas identidades de ciertos productos de binomios que resultan útiles para abreviar los cálculos con expresiones algebraicas.

ejercicio

Productos notables

  • Cuadrado de una suma: (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \;\!

  • Cuadrado de una diferencia: (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \;\!

  • Suma por diferencia: (a + b) \cdot (a-b) = a^2 - b^2 \;\!
Demostración:
  • Cuadrado de una suma:
(a + b)^2 = (a+b) \cdot (a+b) = a^2+ab+ba+b^2 = a^2 + 2ab + b^2 \;\!
Demostración visual del cuadrado de una suma     Descripción:

Escena que demuestra geométricamente la fórmula del cuadrado de una suma

  • Cuadrado de una diferencia:
(a - b)^2 = (a-b) \cdot (a-b) = a^2-ab-ba+b^2 = a^2 - 2ab + b^2 \;\!
Demostración visual del cuadrado de una diferencia     Descripción:

Escena que demuestra geométricamente la fórmula del cuadrado de una diferencia

  • Suma por diferencia:
(a + b) \cdot (a-b) = a^2-ab+ba-b^2 = a^2 - b^2 \;\!
Demostración visual de la suma por diferencia     Descripción:

Escena que demuestra geométricamente la fórmula de la suma por diferencia

ejercicio

Ejemplos: Productos notables

Calcula:

a) (5x-2)^2 \;\!
b) (2x-3)(2x+3) \;\!
Solución:

a) (5x-2)^2 = (5x)^2-2 \cdot (5x) \cdot 2+2^2=25x^2-20x+4 \;\!

b) (2x-3)(2x+3)=(2x)^2-3^2=4x^2-9 \;\!

video
Productos notables
Actividad 1a (Cuadrado de una suma)     Descripción:

Actividades para aprender y practicar con la identidad del cuadrado de una suma.

Actividad 1b (Cuadrado de una diferencia)     Descripción:

Actividades para aprender y practicar con la identidad del cuadrado de una diferencia.

Actividad 1c (Suma por diferencia)     Descripción:

Actividades para aprender y practicar con la identidad de la suma por diferencia.

Autoevaluación 1a     Descripción:

Productos notables.

Autoevaluación 1b     Descripción:

Productos notables.

video
Productos notables
Tutorial 1 (9'38")     Sinopsis:

Productos notables. Ejemplos.

Tutorial 2a (1'53")     Sinopsis:

Las tres identidades notables.

Tutorial 2b (5'43")     Sinopsis:

La identidad notable cuadrado de una suma. Ejemplos.

Tutorial 2c (4'29")     Sinopsis:

La identidad notable cuadrado de una diferencia. Ejemplos.

Tutorial 2d (3'15")     Sinopsis:

La identidad notable suma por diferencia. Ejemplos.

Tutorial 3a (5'48")     Sinopsis:
  • Fórmulas del cuadrado de una suma y de una diferencia.
  • Ejemplos::
a) (x+3)^2\;
b) (2n-7m)^2\;
Tutorial 3b (6'08")     Sinopsis:
  • Fórmula de la suma por diferencia.
  • Ejemplos:
a) (2x+3y)(2x-3y)\;
b) (\sqrt{7}+\sqrt{2})(\sqrt{7}-\sqrt{2})\;
c) (x-a)(x+a)\;
Tutorial 4 (14'05")     Sinopsis:

Como se desarrollan un binomio al cuadrado y una suma por diferencia.

Tutorial 5 (25'26")     Sinopsis:

Explicación de las igualdades o identidades notables y ejemplos resueltos.

Ejercicio 1a (8'39")     Sinopsis:

Desarrolla:

a) (2x+3)^2\,
b) (3m+2n)^2\,
c) (3x^4-5)^2\,
d) (5x-\sqrt{7})^2\,
Ejercicio 1b (9'11")     Sinopsis:

Desarrolla:

a) (4x+7y)(4x-7y)\,
b) (\sqrt{5}w-3z^5)(\sqrt{5}w+3z^5)\,
c) (2\sqrt{3}a-3\sqrt{5}b^3)(2\sqrt{3}a+3\sqrt{5}b^3)\,
Ejercicio 2a (2'17")     Sinopsis:

Desarrolla: (3x+5y)^2\,

Ejercicio 2b (4'23")     Sinopsis:

Desarrolla: (2x^3+9y^4)^2\,

Ejercicio 2c (1'33")     Sinopsis:

Desarrolla: (7m-3c)^2\,

Ejercicio 2d (5'44")     Sinopsis:

Desarrolla: (4K^2L-5K^6L^3)^2\,

Ejercicio 2e (2'01")     Sinopsis:

Desarrolla: (5m^3+3n^4)\cdot(5m^3-3n^4)\,

Ejercicio 3 (5'54")     Sinopsis:

Desarrolla:

a) (x+2)\cdot(x-2)\,

b) (x+\sqrt{2})\cdot(x-\sqrt{2})\,

c) (\cfrac{1}{4}+\cfrac{2x}{3})\cdot(\cfrac{1}{4}-\cfrac{2x}{3})\,

d) (3\sqrt{5}+4x)\cdot(3\sqrt{5}-4x)\,

e) (\cfrac{2a}{3}+\cfrac{2}{a})\cdot(\cfrac{2a}{3}-\cfrac{2}{a})\,

Ejercicio 4a (8'05")     Sinopsis:

Desarrolla los siguientes productos notables:

2a) (2a-b)(2a+b)\;
2b) (\cfrac{2}{3}x-\cfrac{5}{6}y^2)(\cfrac{2}{3}x+\cfrac{5}{6}y^2)\;
2c) (3x-2y)^2\;
2d) (3x+2y)^2\;
2e) (x^2+\cfrac{x}{3})(x^2-\cfrac{x}{3})\;
Ejercicio 4b (4'33")     Sinopsis:

Desarrolla los siguientes productos notables:

4a) (x-2a)^2\;
4b) (x+2a)^2\;
4c) (2x+1)^2\;
4d) (2x-1)^2\;
Ejercicio 4c (10'51")     Sinopsis:

Desarrolla los siguientes productos notables:

5a) (3x+1)^2\;
5b) (3x-1)^2\;
5c) (2x+3)^2\;
5d) (5x^2+3x)^2\;
5e) (5x^2-3x)^2\;
5f) (x+2)(x-2)\;
5g) (3x^2+3)^2\;
5h) (x^2+6)(x^2-6)\;
5i) (6x-3)(6x+3)\;
5j) (2x-\cfrac{1}{2})(2x+\cfrac{1}{2})\;
5k) (6x-3)^2\;
5l) (6x+3)^2\;
Ejercicio 5a (5'56")     Sinopsis:

Calcula: (x+3)(x-3)\;

Ejercicio 5b (7'19")     Sinopsis:

Calcula: (x+7)^2\;

Ejercicio 5c (2'30")     Sinopsis:

Calcula: (2x+8)(2x-8)\;

Ejercicio 5d (3'59")     Sinopsis:

Calcula: (7x+10)^2\;

Ejercicio 5e (8'27")     Sinopsis:

Halla el área de un cuadrado cuyo lado mide (6x-5y)\;.

Ejercicio 5f (10'35")     Sinopsis:

Calcula:

a) (x+9)^2\;
b) (x+b)^2\;
c) (3x-7)^2\;
d) (4x^2+y^2)^2\;
e) (2x-1)(2x+1)\;
f) (5a-2b)(5a+2b)\;
Ejercicios 6a (7'50")     Sinopsis:

Calcula:

a) (x+5)^2\;
b) (x-5)^2\;
c) (x+5)(x-5)\;
d) (x+\cfrac{1}{2})^2\;
e) (x-\cfrac{1}{2})^2\;
f) (x+\cfrac{1}{2})(x-\cfrac{1}{2})\;
g) (x+\cfrac{3}{5})^2\;
h) (x-\cfrac{3}{5})^2\;
i) (x+\cfrac{3}{5})(x-\cfrac{3}{5})\;
j) (4x+3)^2\;
k) (4x-3)^2\;
l) (4x+3)(4x-3)\;
m) (2x+\cfrac{1}{3})^2\;
n) (2x-\cfrac{1}{3})^2\;
o) (2x+\cfrac{1}{3})(2x-\cfrac{1}{3})\;
p) (x^3+4)^2\;
q) (x^3-4)^2\;
r) (x^3+4)(x^3-4)\;
s) (6x^2+1)^2\;
t) (6x^2-1)^2\;
u) (6x^2+1)(6x^2-1)\;

video
Otras identidades de interés (para ampliar)
Tutorial 1 (Cubo de un binomio) (12'34")     Sinopsis:
  • Cubo de una suma: (a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\;
  • Cubo de una diferencia: (a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\;
  • Ejemplos.
Tutorial 1b (Suma y diferencia de cubos) (8'18")     Sinopsis:
  • Suma de cubos: a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\;
  • Diferencia de cubos: a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\;
  • Ejemplos.
Tutorial 1c (Trinomio al cuadrado) (3'37")     Sinopsis:
  • Cuadrado de un trinomio: (a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc\;
  • Ejemplos.
Tutorial 2a (Cubo de una suma) (6'00")     Sinopsis:

Desarrollo del cubo de suma.

Tutorial 2b (Cubo de una diferencia) (5'48")     Sinopsis:

Desarrollo del cubo de diferencia.

Tutorial 2c (Cuadrado de un trinomio) (7'16")     Sinopsis:

Cuadrado de un trinomio.

Ejercicio 1 (9'47")     Sinopsis:

Desarrolla los siguientes cuadrados de trinomios:

1a) (x-y+z)^2\;
1b) (2x-3y+z)^2\;
1c) (2x+y-z)^2\;
1d) (2x+y-2z)^2\;
1e) (x-y-1)^2\;
1f) (2x+y+2)^2\;
Ejercicio 2 (10'04")     Sinopsis:

Desarrolla los siguientes cuadrados de trinomios:

3a) (x^2-2x+3)(x^2-2x+3)\;
3b) (x^2-3x+3)(x^2-3x+3)\;
3c) (x^2-4x+2)(x^2-4x+2)\;
3d) (x^2+6x-5)(x^2+6x-5)\;
Ejercicio 3 (18'11")     Sinopsis:

Desarrolla los siguientes cuadrados y cubos:

6a) (x+y+z)^2\;
6b) (x+y+1)^2\;
6c) (x-y-1)^2\;
6d) (x-y+z+1)^2\;
6e) (x-2y+z-1)^2\;
6f) (x+3y+z+3)^2\;
6g) (x+a)^3\;
6h) (2x+1)^3\;
6i) (3x+2)^3\;
6j) (x-1)^3\;
6k) (x-2)^3\;
6l) (2x-4)^3\;

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Ejercicios (para ampliar)
Ejercicio 1 (8'42")     Sinopsis:

a) Sabiendo que a+b=5\; y que a \cdot b = 7\;, halla a^2+b^2\;.

b) Sabiendo que \left(a+\cfrac{1}{a}\right)^2=3\;, halla a^3+\cfrac{1}{a^3}\;.

Ejercicio 2 (10'41")     Sinopsis:

a) Efectúa: 30001^2-30000^2\;.

b) Halla la sexta potencia de \sqrt{2+\sqrt{3}}+\sqrt{2-\sqrt{3}}.

c) Sabiendo que a+b=\sqrt{5}\; y que a \cdot b = 3\;, halla (a-b)^2\;.

Ejercicio 3 (5'29")     Sinopsis:

a) Reducir: \cfrac{(3x+4y)^2-(3x-4y)^2}{xy}.

b) Efectúa: (a+2)(a-2)(a^2-2a+4)(a^2+2a+4)+64\;.

Ejercicio 4 (6'16")     Sinopsis:

Halla: P=\cfrac{(3y)^2}{x^2}+\cfrac{y^3}{x^3}+\cfrac{2x}{y}, sabiendo que \cfrac{yx}{2xy-(x+y)^2}=-\cfrac{1}{2}.

Ejercicio 5 (10'54")     Sinopsis:

a) Sabiendo que a+b=6\; y que a^2+b^2 = 30\;, halla R=\cfrac{a^2}{b}+\cfrac{b^2}{a}\;.

b) Si (a+b+c+d)^2=4(a+b)(c+d)\;, calcula \sqrt[2(a+b)]{4^{c+d}}

Ejercicio 6 (5'38")     Sinopsis:

Hallar M=a^3+\cfrac{1}{a^3}\; sabiendo que a^2-3a+1=0\;.

wolfram
Productos notables
wolfram

Actividad: Productos notables

Calcula:
a) (3x+5)^2 \;\!
b) (x-2)(x+2) \;\!

Solución:
Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:
a) expand (3x+5)^2
b) expand (x-2)*(x+2)

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Factorización de polinomios usando productos notables

Las identidades notables son útiles para completar ciertas operaciones de forma rápida, pero una de sus aplicaciones más interesantes consiste en hacer lo contrario, deshacer cuentas. Son una potente herramienta para la descomposición y simplificación de expresiones algebraicas.

ejercicio

Ejemplos: Factorización de polinomios usando productos notables

Factoriza:

a) 4x^2-9 \;\!
b) x^2+4x+4 \;\!
Solución:

Soluciones:

a) Al tratarse de un binomio cuyos términos están restando, sólo podemos ponerlo como diferencia de cuadrados. Extrayendo las raíces cuadradas de cada término tenemos:

\left . \begin{matrix}\sqrt{4x^2}=2x \\ \sqrt{9}=3 \end{matrix} \right \} \ \rightarrow \ 4x^2-9=(2x+3)(2x-3) \!

b) Al tratarse de un trinomio, buscaremos dos de sus términos que sean cuadrados perfectos y calcularemos su raíz cuadrada:

\left . \begin{matrix}\sqrt{x^2}=x \\ \sqrt{4}=2 \end{matrix} \right \} \ \rightarrow \ x^2+4x+4 =(x+2)^2 \!

Para confirmar que esa es la factorización, comprobaremos que el doble producto del primero por el segundo es igual al otro término:

2 \cdot x \cdot 2 =4x\;
En efecto, luego esa es la factorización.

video
Factorización de polinomios usando productos notables
Tutorial 1 (9'02")     Sinopsis:

Factorización de polinomios usando productos notables. Ejemplos.

Tutorial 2 (8'46")     Sinopsis:

Factorización de polinomios usando productos notables. Ejemplos.

Tutorial 3a (12'55")     Sinopsis:

Factorización de polinomios usando el trinomio cuadrado perfecto.

Tutorial 3b (1'53")     Sinopsis:

Hasta el minuto 1'53": Factorización de polinomios usando diferencias de cuadrado.

Ejercicio 1 (11'34")     Sinopsis:

Factoriza los siguientes polinomios en producto de factores usando identidades notables:

3a) 25x^4-\cfrac{1}{4}\;
3b) 16x^2-\cfrac{9}{4}\;
3c) x^2-16x+64\;
3d) x^2-10x+25\;
Ejercicio 2 (10'11")     Sinopsis:

Factoriza los siguientes polinomios en producto de factores usando identidades notables:

3e) x^4-9x^2\;
3f) x^6-16x^4\;
3g) 36x^4-\cfrac{9}{4}\;
Ejercicio 3 (5'06")     Sinopsis:

Encuentra un binomio factor común de los polinomios siguientes: m^2-4m-45\;     y      6m^2-150\;

Ejercicio 4 (4'57")     Sinopsis:

Encuentra un binomio factor común de los polinomios siguientes: 4x^2+12x+9\;     y      4x^2-9\;

Ejercicio 5 (2'26")     Sinopsis:

Factoriza: 25x^4-30x^2+9\;

Ejercicio 6 (3'38")     Sinopsis:

Factoriza: x^2-49y^2\;

Ejercicio 7 (3'12")     Sinopsis:

Factoriza: 49x^2-49y^2\;

video
Factorización de diferencias de cuadrados
Ejercicio 1 (2'14")     Sinopsis:

Factoriza: x^2-16\;

Ejercicio 2 (2'00")     Sinopsis:

Factoriza: x^{20}-49\;

Ejercicio 3 (2'12")     Sinopsis:

Factoriza: a^4-b^4\;

Ejercicio 4 (2'20")     Sinopsis:

Factoriza: 16a^4b^6-c^6\;

Ejercicio 5 (1'52")     Sinopsis:

Factoriza: 36x^2-1\;

Ejercicio 6 (1'54")     Sinopsis:

Factoriza: x^2-\cfrac{4}{81}\;

Ejercicio 7 (2'51")     Sinopsis:

Factoriza: \cfrac{25x^4}{a^6}-\cfrac{16a^4}{4m^2}\;

Ejercicio 8 (2'20")     Sinopsis:

Factoriza: x^{6a}-y^{4b}\;

Ejercicio 9 (2'49")     Sinopsis:

Factoriza: 16x^{6a}-49y^{2b}\;

Ejercicio 10 (3'55")     Sinopsis:

Factoriza: (x-1)^2-16y^2\;

Ejercicio 11 (4'45")     Sinopsis:

Factoriza: (2x+1)^2-(y+5)^2\;

Ejercicio 12 (5'16")     Sinopsis:

Factoriza: 49x^4-4(x^2-3x)^2\;

Ejercicio 13 (11'15")     Sinopsis:

Factoriza los siguientes polinomos usando diferencias de cuadrados:

1a) x^2-4\;
1b) x^2-16\;
1c) x^2-25\;
1d) 4x^2-16\;
1e) x^2-1\;
1f) 100x^2-1\;
1g) 9x^2-1\;
1h) 16x^2-1\;
Ejercicio 14 (11'51")     Sinopsis:

Factoriza los siguientes polinomos usando diferencias de cuadrados:

1i) x^4-25\;
1j) 25x^6-9\;
1k) 81x^4-16x^2\;
1l) 25x^6-81x^2\;
Ejercicio 15 (4'22")     Sinopsis:

Factoriza:

a) 49x^4y^2-64w^{10}z^{14}\;
b)) c^8-d^8\;
Ejercicio 16 (3'24")     Sinopsis:

Factoriza: 45x^2-125\;

Ejercicio 17 (3'58")     Sinopsis:

Factoriza: 16x^2-64\;

Ejercicio 18 (6'34")     Sinopsis:

Factoriza: 36y^3-100y\;

video
Factorización de trinomios cuadrados perfectos
Ejercicio 1 (2'32")     Sinopsis:

Factoriza: x^2+6x+9\;

Ejercicio 2 (1'57")     Sinopsis:

Factoriza: x^2-10x+25\;

Ejercicio 3 (2'02")     Sinopsis:

Factoriza: 49+x^2+14x\;

Ejercicio 4 (2'00")     Sinopsis:

Factoriza: 9a^2-30a+25\;

Ejercicio 5 (2'00")     Sinopsis:

Factoriza: 36+121c^2-132c\;

Ejercicio 6 (1'19")     Sinopsis:

Factoriza: 16a^2+24ab+9b^2\;

Ejercicio 7 (1'22")     Sinopsis:

Factoriza: 4a^2-20ab+25b^2\;

Ejercicio 8 (1'19")     Sinopsis:

Factoriza: 9a^2+6ab+b^2\;

Ejercicio 9 (1'20")     Sinopsis:

Factoriza: 4a^2-12ab+9b^2\;

Ejercicio 10 (2'26")     Sinopsis:

Factoriza: a^2-24x^2a^3+144x^4a^4\;

Ejercicio 11 (1'49")     Sinopsis:

Factoriza: 100a^4-60a^2b+9b^2\;

Ejercicio 12 (1'52")     Sinopsis:

Factoriza: a^8+36b^2c^2+12a^4bc\;

Ejercicio 13 (1'43")     Sinopsis:

Factoriza: 121+198a^6+81a^12\;

Ejercicio 14 (1'44")     Sinopsis:

Factoriza: 49x^6-70ax^3y^2+25a^2y^4\;

Ejercicio 15 (1'10")     Sinopsis:

Factoriza: 400a^10+40a^5+1\;

Ejercicio 16 (1'12")     Sinopsis:

Factoriza: x^8+18x^4+81\;

Ejercicio 17 (1'59")     Sinopsis:

Factoriza: \cfrac{y^2}{4}-yz+z^2\;

Ejercicio 18 (1'32")     Sinopsis:

Factoriza: 1+\cfrac{2}{3}p+\cfrac{p^2}{9}\;

Ejercicio 19 (1'14")     Sinopsis:

Factoriza: x^4-x^2y^2+\cfrac{y^4}{4}\;

Ejercicio 20 (1'59")     Sinopsis:

Factoriza: \cfrac{1}{25}+\cfrac{25}{36} b^4 - \cfrac{b^2}{3}\;

Ejercicio 21 (1'32")     Sinopsis:

Factoriza: 16m^6-2m^3n^2+\cfrac{n^4}{16}\;

Ejercicio 22 (2'14")     Sinopsis:

Factoriza: 9(a+x)^2-12(a+x)+4\;

Ejercicio 23 (2'54")     Sinopsis:

Factoriza: 4(1+m)^2-4(1+m)(n-1)+(n-1)^2\;

Ejercicio 24 (2'55")     Sinopsis:

Factoriza: 9(a-b)^2+12(a-b)(a+b)+4(a+b)^2\;

Ejercicio 25 (3'01")     Sinopsis:

Factoriza: (m+n)^2-2(m+n)(m-n)+(m-n)^2\;

Ejercicio 26 (2'04")     Sinopsis:

Factoriza: 4a^2-4a(b-a)+(b-a)^2\;

Ejercicio 27 (2'11")     Sinopsis:

Factoriza: (m+a)^2-2(m+a)(a+b)+(a+b)^2\;

Ejercicio 28 (1'25")     Sinopsis:

Factoriza: x+2\sqrt{2xy}+2y\;

Ejercicio 29 (1'11")     Sinopsis:

Factoriza: ax+4\sqrt{ax}+4\;

Ejercicio 30 (1'34")     Sinopsis:

Factoriza: a^3-10a^{\frac{3}{2}}+25\;

Ejercicio 31 (1'37")     Sinopsis:

Factoriza: x^{\frac{1}{3}}+6x^{\frac{1}{6}}+9\;

Ejercicio 32 (1'53")     Sinopsis:

Factoriza: 16x^{\frac{1}{2}}-8x^{\frac{1}{4}}+1\;

Ejercicio 33 (1'53")     Sinopsis:

Factoriza: m^{\frac{2}{3}}+4m^{\frac{1}{3}}+4\;

Ejercicio 34 (1'27")     Sinopsis:

Factoriza: \sqrt[3]{m^2}-6\sqrt[3]{m}+9\;

Ejercicio 35 (8'36")     Sinopsis:

Factoriza los siguientes polinomios usando trinomios cuadrado perfecto:

2a)x^2-4x+4\;
2b)x^2-6x+9\;
2c)x^2+6x+9\;
2d)x^2+4x+4\;
Ejercicio 36 (8'23")     Sinopsis:

Factoriza los siguientes polinomios usando trinomios cuadrado perfecto:

2e)x^2-2x+1\;
2f)x^2-10x+25\;
2g)x^2+2x+1\;
2h)x^2+10x+25\;
2i)x^4-6x^2+9\;
Ejercicio 37 (9'13")     Sinopsis:

Factoriza los siguientes polinomios usando trinomios cuadrado perfecto:

2j)x^4+10x^2+25\;
2k)x^4-20x^2+100\;
2l)x^6-14x^3+49\;
Ejercicio 38 (4'33")     Sinopsis:

Factoriza:

a) 4x^2+12xy^2+9y^4\;
b) 25m^4-40m^2+16\;
Ejercicio 39 (4'55")     Sinopsis:

Factoriza: 25x^2-30x+9\;

Ejercicio 40 (5'07")     Sinopsis:

Factoriza: 25x^2+20x+4\;

Ejercicio 41 (4'04")     Sinopsis:

Factoriza: 16x^3+24x^2+9x\;

Ejercicio 42 (3'51")     Sinopsis:

Factoriza: -4t^2-12t-9\;

Ejercicio 43 (3'16")     Sinopsis:

Averigua el valor de "c" y "d" de manera que x^2+5x+c=(x+d)^2\;.

Ejercicio 44 (4'57")     Sinopsis:

Averigua el valor de "c" y "d" de manera que x^2+5x+c=(x+d)^2\;.

video
Factorización por suma de cubos (para ampliar)
Ejercicio 1 (2'03")     Sinopsis:

Factoriza: x^3+27\;

Ejercicio 2 (2'34")     Sinopsis:

Factoriza: 8x^3+y^3\;

Ejercicio 3 (3'32")     Sinopsis:

Factoriza: 27m^3+64n^9\;

video
Factorización de polinomios usando productos notables

Diferencias de cuadrados:

Actividad     Descripción:

Factorizar expresiones cuadráticas: diferencia de cuadrados

Autoevaluación 1     Descripción:

Factorizar expresiones cuadráticas: diferencia de cuadrados (Introducción)

Autoevaluación 2     Descripción:

Factorizar expresiones cuadráticas: diferencia de cuadrados

Trinomios cuadrados perfectos:

Actividad     Descripción:

Factorizar expresiones cuadráticas: cuadrados perfectos

Autoevaluación     Descripción:

Factorizar expresiones cuadráticas: cuadrados perfectos

Productos notables:

Autoevaluación 1     Descripción:

Factoriza polinomios: formas de productos notables

Autoevaluación 2     Descripción:

Factoriza polinomios: formas de productos notables

wolfram
Factorización de polinomios mediante productos notables
wolfram

Actividad: Factorización de polinomios mediante productos notables

Factoriza:
a) 9x^2-100\!
b) 25x^2-30x+9\!

Solución:
Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:
a) factor 9x^2-100
b) factor 25x^2-30x+9

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Sacar factor común

Otra herramienta básica para la descomposición y simplificación de expresiones algebraicas es la de sacar factor común. La idea es transformar una expresión compleja en un producto de expresiones más sencillas.

Sacar factor común en una expresión algebraica con varios sumandos, consiste en encontrar una parte común a todos esos sumandos y aplicar la propiedad distributiva para poner la expresión algebraica como producto de esa parte común y una serie de sumandos entre paréntesis.

ejercicio

Ejemplo: Sacar factor común

Saca factor común en la expresión 16xyz-24xz+4x\;\!

Solución:
El factor común, que se repite en los tres sumandos, es 4x\,\!. Ese factor lo multiplicamos por un paréntesis que contenga a otros tres sumandos. Cada uno de los sumandos del paréntesis deberá ser tal, que al multiplicarlo por el factor común 4x\,\!, dé como resultado cada uno de los sumandos de la expresión de partida. En nuestro caso:

16xyz-24xz+4x\;\!=

(4x) \cdot 4yz - (4x) \cdot 6z + (4x) \cdot 1=\;\!

4x \cdot (4yz-6z+1)

video
Sacar factor común
Tutorial 1 (9'36")     Sinopsis:

Cómo se saca factor común. Ejemplos

Tutorial 2 (28'00")     Sinopsis:
  • En este tutorial se explica la extracción de factor común en expresiones algrebraicas, el caso más sencillo de factorización de polinomios.
  • (4:40) La propiedad distributiva. Demostración geométrica.
Tutorial 3 (8'54")     Sinopsis:

Sacara factor común.

Ejercicio 1 (6'09")     Sinopsis:

Saca factor común:

a) 3x+3y\;

b) 10a-15b\;

c) 4pq-8pr+12pt\;

d) x(a+1)-t(a+1)+5(a+1)\;

Ejercicio 2 (22'35")     Sinopsis:

Saca factor común:

a) 8a-4b+16c+12d\;

b) 7x^2+11x^3-4x^5+3x^4-x^8\;

c) 9x^3-6x^2+12x^5-16x^7\;

d) \frac{4}{3}x-\frac{8}{9}x^3+\frac{16}{15}x^7-\frac{2}{3}x^5\;

e) 9x^2ab-3xa^2b^3+x^2az\;

f) 3(x+1)-5x(x+1)+x^2(x+1)\;

Ejercicio 3a (7'18")     Sinopsis:

Saca factor común:

a) ax+bx\;

b) 9x^3-24x^2\;

c) 2x^2y+6xy^2-8x^2y^2\;

d) 3x^2y-3x^2z+3x^2\;

Ejercicio 3b (9'27")     Sinopsis:

Saca factor común:

a) 2(a+b)+x(a+b)\;

b) (x+y)a-(x+y)b-x-y\;

c) ax-bx+cx+ay-by+cy-a+b-c\;

Ejercicio 5 (5'23")     Sinopsis:

Saca factor común:

6a^4b^3c^2+15a^3b^2-21a^2b\;
Ejercicio 4a (3'15")     Sinopsis:

Saca factor común:

18x^5+30x^4\;
Ejercicio 4b (3'02")     Sinopsis:

Saca factor común:

4x^4-8x^3+12x^2\;
Ejercicio 4c (4'47")     Sinopsis:

Saca factor común:

16x^3y^2-8x^4y-8x^2y-40x^2y^3\;
Ejercicio 4d (2'16")     Sinopsis:

Saca factor común:

x^3+x^2y^2-x^5y^2\;
Ejercicio 4e (3'18")     Sinopsis:

Saca factor común:

m^3n^3-m^4n^2p+m^5n^4p^2+m^3n^2p^2\;
Ejercicio 4f (4'17")     Sinopsis:

Saca factor común:

4x^2y-12x^2y^3+16x^5yz\;
Ejercicio 5a (4'44")     Sinopsis:

Saca factor común:

a) 4x+18\;
b) 12+32y\;
Ejercicio 5b (4'44")     Sinopsis:

Saca factor común:

8x^2y+12xy^2\;
Ejercicio 5c (5'05")     Sinopsis:

Saca factor común:

4x^4y-8x^3y-2x^2\;
Ejercicio 5d (6'24")     Sinopsis:

El área de un rectángulo es de 12x^4+6x^3+15x^2\; y su largo es el m.c.d. de cada uno de los sumandos del anterior polinomio. Calcula las dimensiones del rectángulo.

Ejercicio 5e (1'51")     Sinopsis:

Saca factor común:

n(n-1)+3(n-1)\;
Ejercicio 5f (4'40")     Sinopsis:
  1. Sabiendo que a+b+c=7\;, calcula 5a+5b+5c\;.
  2. Sabiendo que a+b+c=-1\; y que x+y=7\;, calcula -9-7x-9c-9b-7y\;.
Ejercicio 5g (3'01")     Sinopsis:
  1. Sabiendo que 3x+3y+3z=1\;, calcula 12x+12y+12z\;.
  2. Sabiendo que 3a+5b=2\;, calcula 15a+15b\;.

video
Sacar factor común
Actividad 1     Descripción:

Actividades para aprender y practicar cómo se saca factor común.

Actividad 2     Descripción:

Factorizar polinomios sacando factor común.

Autoevaluación 1     Descripción:

Factorizar polinomios sacando factor común.

Autoevaluación 2     Descripción:

Evalúa expresiones usando la estructura.

video
Sacar factor común por agrupación de términos
Ejercicio 1 (2'41")     Sinopsis:

Saca factor común por agrupación de términos:

a^3+a^2+a+1\;
Ejercicios 2 (7'08")     Sinopsis:

Saca factor común por agrupación de términos:

a) px+mx+py+my\;

b) 2ac-5bd-2a+2ad+5b-5bc\;

Ejercicios 3 (12'37")     Sinopsis:

Saca factor común por agrupación de términos:

a) xz+yz+x+y\;

b) ab+bx-ay-xy\;

c) x^{n+2}+x^3+x^n+x+x^2+1\;

Ejercicio 4 (3'20")     Sinopsis:

Saca factor común por agrupación de términos:

xy+xz+my+mz\;
Ejercicio 5 (3'31")     Sinopsis:

Saca factor común por agrupación de términos:

ac-bc+ad-bd\;
Ejercicio 6 (5'14")     Sinopsis:

Saca factor común por agrupación de términos:

4xy+8xm+3yz+6mz\;
Ejercicio 7 (3'40")     Sinopsis:

Saca factor común por agrupación de términos:

m^2+mn+mx+nx\;
Ejercicio 8 (3'37")     Sinopsis:

Saca factor común por agrupación de términos:

am+2bm+3an+6bn\;
Ejercicio 9 (6'02")     Sinopsis:

Saca factor común por agrupación de términos:

4a^2x-5a^2y+15by-12bx\;

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Sacar factor común
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Actividad: Sacar factor común

Saca factor común:
a) 3x^2yz-6xy^2z+9xyz\!
b) 12ab^5-6a^4b^3\!

Solución:
Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) factor 3x^2*y*z-6x*y^2*z+9x*y*z b) factor 12a*b^5-6a^4*b^3

ejercicio

Ejercicios: Sacar factor común

1. Extrae factor común:

a) -18a+20a-10a\,\!      b) 15x-60x^2\,\!      c) 5ba^2-3ab+2ba^3\;\!

Solución:
a) -8a\,\!     b) 15x \cdot (1-4x)\,\!    c) ab \cdot (5a-3+2a^2)

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Ejercicios

Ejercicios: Identidades notables     Descripción:

Ejercicios resueltos sobre identidades notables.

Autoevaluación: Identidades notables     Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre identidades notables.

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Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Identidades

(Pág. 87)

6; 7

(Pág. 88-89)

1; 3; 4; 5; 7a,c,f;

2; 6; 7b,d,e; 8;

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Apéndice

Identidades notables (demostración geométrica) (33'08")     Sinopsis:

Explicación de las igualdades o identidades notables, demostraciones geométricas y ejemplos resueltos.

Identidades notables (recapitulación) (25'26")     Sinopsis:

Las identidades notables y su uso en factorización.

video
Factorización (para ampliar)
Ejercicio 1 (6'36")     Sinopsis:

a) Calcula 30001^2-30000^2\;

b) Factoriza: x^6-y^6\;

Ejercicio 2 (10'39")     Sinopsis:

a) Factoriza: x^4+x^2+1\;

b) Factoriza: (x-1)^4+(x-1)^2-6\;

Ejercicio 3 (7'14")     Sinopsis:

Reduce: \cfrac{x^3-1}{x^2+x-6} \cdot \cfrac{x^3-2x^2}{x^2-1}:\cfrac{x^3+x^2+x}{x^2+4x+3}

Ejercicio 4 (13'57")     Sinopsis:

Factoriza: 6a^2-11ab+4b^2-8a+14b-8\;

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Identidades_%283%C2%BAESO_Acad%C3%A9micas%29"
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