Racionalización

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Tabla de contenidos

1 Racionalización

Racionalización

Se llama racionalización al procedimiento por el cual a partir de una fracción con raíces en el denominador obtenemos otra fracción equivalente sin raíces en el denominador.

Los dos videotutoriales siguientes resumen lo que vamos a ver en este apartado:

Racionalización

Tutorial 1a (17'18") Sinopsis:

Tutorial en el que se explica y trabaja la racionalización de quebrados con radicales, en el caso en que el denominador es un monomio, es decir, un único término.

00:00 a 02:50: Explicación del proceso de racionalización.
02:50 a 09:50: Ejemplos donde se analizan los errores más típicos cometidos en la racionalización con un monomio en el denominador.
09:50 a 17:18: Ejercicios de racionalización con monomios en el denominador.

Tutorial 1b (17'14") Sinopsis:

Tutorial en el que se explica y trabaja la racionalización de quebrados con radicales, en el caso en que el denominador es un binomio, es decir, suma de dos términos.

00:00 a 01:30: Explicación del proceso de racionalización.
01:30 a 09:40: Ejemplo donde se analizan los errores más típicos cometidos en la racionalización con un binomio en el denominador.
09:40 a 13:35: Ejercicios de racionalización con binomios en el denominador.
13:35 a 17:14: Ejercicio de racionalización con un trinomio en el denominador.

Tutorial 2 (11'43") Sinopsis:

Qué es racionalizar y cómo resolver los diferentes casos.

Tutorial 3 (10'37") Sinopsis:

Cómo se racionalizan los denominadores de las fracciones. Ejemplos.

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Caso 1: Denominador con raíces cuadradas

Procedimiento

Para racionalizar una fracción con una raíz cuadrada en el denominador se debe multiplicar el numerador y el denominador de la fracción por el denominador de la misma.

Ejemplo: Caso 1: Denominador con raíces cuadradas

Racionalizar $\frac{{6}}{\sqrt{2}}$

Solución:

En este caso hay que multiplicar numerador y denominador por $\sqrt{2}$

$\frac{{6}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{{6\sqrt{2}}}{\sqrt{2^2}} = \frac{{6\sqrt{2}}}{{2}} = 3\sqrt{2}$

Racionalización (caso 1)

Ejercicio 1 (6'17") Sinopsis:

Racionaliza: $\cfrac{3}{\sqrt{15}}$ .

Ejercicio 2 (8'52") Sinopsis:

Racionaliza: $\cfrac{4}{\sqrt{32}}$ .

Ejercicio 3 (5'26") Sinopsis:

Racionaliza: $\cfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ .

Ejercicio 4 (2'55") Sinopsis:

Racionaliza: $\cfrac{7}{4\sqrt{5}}$ .

Ejercicio 5 (3'31") Sinopsis:

Racionaliza: $\cfrac{2a}{\sqrt{2ax}}$ .

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Caso 2: Denominador con otras raíces

Procedimiento

Para racionalizar una fracción con una raíz de índice distinto de dos en el denominador, se deben multiplicar el numerador y denominador de la fracción por una raíz con el mismo índice en la que cada exponente de los factores del radicando se calculará como:

La diferencia entre el índice del radical y el exponente actual, caso de que el índice sea mayor o igual que el exponente actual.
La diferencia entre el exponente actual y el múltiplo del indice más cercano a dicho exponente, caso de que el exponente actual supere al índice.

Ejemplo: Caso 2: Denominador con otras raíces

Racionalizar $\frac{{2}}{\sqrt[5]{a^3b^4}}$

Solución:

En este ejemplo, hay que multiplicar numerador y denominador por $\sqrt[5] {a^2b}$ , ya que éste es el radical que al ser multiplicado por el denominador los exponentes de las cantidades subradicales serán iguales al índice de la raíz:

$\frac{{2}}{\sqrt[5]{a^3b^4}} \cdot \frac{\sqrt[5] {a^2b} }{\sqrt[5]{a^2b}} = \frac{{2\sqrt[5]{a^2b}}}{\sqrt[5]{a^5b^5}} = \frac{{2\sqrt[5]{a^2b}}}{{ab}}$

Racionalización (caso 2)

Ejercicio 1 (6'02") Sinopsis:

Racionaliza: $\cfrac{2}{\sqrt[4]{3}}$ .

Ejercicio 2 (7'12") Sinopsis:

Racionaliza: $\cfrac{1}{\sqrt[5]{8}}$ .

Ejercicio 3 (6'31") Sinopsis:

Racionaliza: $\cfrac{5}{2\,\sqrt[3]{7}}$ .

Ejercicio 4 (9'38") Sinopsis:

Racionaliza: $\cfrac{4}{\sqrt[5]{72}}$ .

Ejercicio 5 (4'26") Sinopsis:

Racionaliza: $\cfrac{6}{5\sqrt[3]{3x}}$ .

Ejercicio 6 (4'39") Sinopsis:

Racionaliza: $\cfrac{9}{5\sqrt[4]{27x^2}}$ .

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Caso 3: Denominador con sumas y restas de raíces cuadradas

Procedimiento

Para racionalizar fracciones en cuyo denominador aparezcan binomios con alguna raíz cuadrada, se multiplica y divide por la expresión conjugada del denominador, esto es, por la misma expresión en la que solo se le cambia el signo del segundo término del binomio.

Ejemplo: Caso 3: Denominador con sumas y restas de raíces

Racionalizar $\frac{{2}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$

Solución:

En este caso hay que multiplicar el numerador y el denominador por ${\sqrt{2}-\sqrt{3}}$ (este resultado es el que da el producto notable de los binomios conjugados):

$\frac{{2}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} \, \cdot \, \frac{{{\sqrt{2}-\sqrt{3}}}}{\sqrt{2}-\sqrt{3}} = \frac{{2({\sqrt{2}-\sqrt{3}}) }}{(\sqrt{2})^2-(\sqrt{3})^2} =$

$= \frac{{2({\sqrt{2}-\sqrt{3}}) }}{{2}-{3}} = \frac{{2({\sqrt{2}-\sqrt{3}}) }}{{-1}} = {-2\sqrt{2}+2\sqrt{3}}$

Racionalización (caso 3)

Ejercicio 1 (7'26") Sinopsis:

Racionaliza: $\cfrac{3}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}$ .

Ejercicio 2 (5'54") Sinopsis:

Racionaliza: $\cfrac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{3}}$ .

Ejercicio 3 (6'46") Sinopsis:

Racionaliza: $\cfrac{3}{3+\sqrt{5}}$ .

Ejercicio 4 (6'20") Sinopsis:

Racionaliza: $\cfrac{2}{\sqrt{7}-1}$ .

Ejercicio 5 (7'02") Sinopsis:

Racionaliza: $\cfrac{11}{2\sqrt{3}-1}$ .

Ejercicio 6 (6'43") Sinopsis:

Racionaliza: $\cfrac{4}{5\,\sqrt{2}+\sqrt{6}}$ .

Ejercicio 7 (7'43") Sinopsis:

Racionaliza: $\cfrac{12}{5\,\sqrt{6}-3\,\sqrt{10}}$ .

Ejercicio 8 (7'05") Sinopsis:

Racionaliza: $\cfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$ .

Ejercicio 9 (9'20") Sinopsis:

Racionaliza: $\cfrac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}$ .

Ejercicio 10 (5'12") Sinopsis:

Racionaliza: $\cfrac{2}{5\sqrt{2}-4\sqrt{3}}$ .

Ejercicio 11 (3'48") Sinopsis:

Racionaliza: $\cfrac{1+\sqrt{2}}{3-\sqrt{2}}$ .

Ejercicio 12 (7'55") Sinopsis:

Racionaliza: $\cfrac{\sqrt{x+y}-\sqrt{x-y}}{\sqrt{x+y}+\sqrt{x-y}}$ .

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Caso 4: Denominador con sumas y restas de raíces cúbicas (Avanzado)

Para este caso deberás conocer primero las siguientes identidades de la suma y diferencia de cubos:

Suma y diferencia de cubos (8'18") Sinopsis:

Demostración y ejemplos de las identidades:

Suma de cubos: $(a^3+b^3)=(a+b)(a^2-ab+b^2)\;$
Diferencia de cubos: $(a^3-b^3)=(a-b)(a^2+ab+b^2)\;$

Racionalización (caso 4)

Ejercicio 1 (11'27") Sinopsis:

Racionaliza: $\cfrac{1}{\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{2}}$ .

Ejercicio 2 (11'13") Sinopsis:

Racionaliza: $\cfrac{2}{\sqrt[3]{7}-\sqrt[3]{3}}$ .

Ejercicio 3 (10'49") Sinopsis:

Racionaliza: $\cfrac{2}{\sqrt[3]{25}+\sqrt[3]{15}+\sqrt[3]{9}}$ .

Ejercicio 4 (9'56") Sinopsis:

Racionaliza: $\cfrac{22}{\sqrt[3]{25}-\sqrt[3]{5}+1}$ .

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Actividades

Racionalización

Ejercicio 1 (7'48") Sinopsis:

Racionaliza:

a) $\cfrac{6}{\sqrt{2}}\;$ b) $\cfrac{6}{\sqrt[5]{2^2}}\;$ c) $\cfrac{1}{\sqrt{2}-2}\;$ d) $\cfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}\;$

Ejercicio 2 (8'53") Sinopsis:

Racionaliza:

a) $\cfrac{20}{\sqrt{5}}\;$ b) $\cfrac{16}{\sqrt[3]{2}}\;$ c) $\cfrac{22}{3\,\sqrt[5]{4}}\;$

Ejercicio 3 (3'35") Sinopsis:

Racionaliza: $\cfrac{3ab}{\sqrt[4]{a^2b^3c}}\;$

Ejercicio 4 (2'49") Sinopsis:

Racionaliza: $\cfrac{6}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}\;$

Ejercicio 5 (5'53") Sinopsis:

Simplifica: $\cfrac{\sqrt[4]{a^3} \cdot a^{-1}}{a\,\sqrt{a}}\;$

Ejercicio 6 (6'27") Sinopsis:

Racionaliza: $\cfrac{1}{1+\sqrt{2}-\sqrt{3}}\;$

Ejercicio 7 (10'14") Sinopsis:

Racionaliza:

a) $\cfrac{2}{\sqrt{6}}$ b) $\cfrac{4}{\sqrt[3]{5}}$ c) $\cfrac{3}{\sqrt[4]{729}}$ d) $\cfrac{5}{\sqrt[5]{125}}$

Ejercicio 8 (9'34") Sinopsis:

Racionaliza:

a) $\cfrac{1}{\sqrt{2}}$ b) $\cfrac{1}{\sqrt{x}}$ c) $\cfrac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$ d) $\cfrac{4}{\sqrt{6}-\sqrt{2}}$ e) $\cfrac{1}{\sqrt[3]{2}}$ f) $\cfrac{1}{\sqrt[4]{8}}$