Combinatoria

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 +==Combinatoria==
 +{{Caja_Amarilla|texto=
 +La '''combinatoria''' es la parte de las Matemáticas que estudia las diversas formas de realizar agrupaciones con los elementos de un conjunto, formándolas y calculando su número.}}
 +{{p}}
 +
 +Existen distintas formas de realizar estas agrupaciones, según se repitan los elementos o no, según se puedan tomar todos los elementos de que disponemos o no y si influye o no el orden de colocación de los elementos.
 +
 +El siguiente video condensa todo lo veremos a lo largo de este tema.
 +{{p}}
 +{{Video_enlace_aula4all
 +|titulo1=Combinatoria: Permutaciones, variaciones y combinaciones
 +|duracion=43'24"
 +|sinopsis=La combinatoria es la parte de las matemáticas que estudia las ordenaciones en que se pueden agrupar determinados elementos de un conjunto.
 +
 +En este vídeo vamos a ver los conceptos de permutación, permutación con repetición, variación, variación con repetición, combinación y combinación con repetición.
 +
 +Se expondrán dichos conceptos de una manera pedagógica de fácil entendimiento, tras la cual, se indicarán ejemplos referidos al tipo de combinatoria.
 +
 +Finalmente se enunciará un ejercicio resuelto.
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=A0wBokBfJWQ
 +}}
 +{{Video_enlace_pildoras
 +|titulo1=Combinatoria
 +|duracion=Lista de reproducción
 +|sinopsis=Lista de reproducción
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 +}}
 +{{p}}
 +
==Permutaciones== ==Permutaciones==
-{{Caja_Amarilla|texto=Se llama '''permutaciones''' de n elementos, y se representa <math>P_n\;</math>, a las distintas agrupaciones de n elementos ordenadas obtenidas a partir de esos n elementos.+{{Video_enlace_fisicaymates
 +|titulo1=Permutaciones
 +|duracion=14'15"
 +|sinopsis=Tutorial sobre permutaciones con o sin repetición. Ejemplos
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=9UjgHjby_k8
 +}}
 +===Permutaciones ordinarias===
 +{{Caja_Amarilla|texto=Se llama '''permutaciones ordinarias''' (o sin repetición) de n elementos, y se representa <math>P_n\;</math>, a las distintas agrupaciones de n elementos ordenadas obtenidas a partir de esos n elementos.
}} }}
{{p}} {{p}}
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}} }}
{{p}} {{p}}
-{{Videotutoriales|titulo=Ejercicios: ''Permutaciones''|enunciado=+{{Videotutoriales|titulo=Permutaciones ordinarias (o sin repetición)|enunciado=
 +{{Video_enlace_pildoras
 +|titulo1=Tutorial 1
 +|duracion=11'25"
 +|sinopsis=Permutaciones (sin repetición). Ejemplos
 +|url1=https://youtu.be/MUu6lZPaBNA?list=PLwCiNw1sXMSBdeCenXhPAO1ZBAM0NhtS1
 +}}
 +{{Video_enlace_matematicasfaciles
 +|titulo1=Tutorial 2
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 +|sinopsis=Permutaciones (sin repetición). Ejemplos
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 +}}
 +----
{{Video_enlace_childtopia {{Video_enlace_childtopia
|titulo1=Ejercicio 1 |titulo1=Ejercicio 1
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|url1=https://www.youtube.com/watch?v=aKYGEwN4eD4&index=5&list=PL11093011D1BF0C20 |url1=https://www.youtube.com/watch?v=aKYGEwN4eD4&index=5&list=PL11093011D1BF0C20
}} }}
-{{Video_enlace_unicoos+----
-|titulo1=Problema 3+{{Video_enlace_matematicasfaciles
-|duracion=6'43"+|titulo1=Permutaciones circulares
-|sinopsis=¿Cuántos números de 5 cifras se pueden formar con 5 dígitos distintos si no se pueden repetir las cifras? (Permutaciones sin repetición)|url1=http://www.unicoos.com/video/matematicas/4-eso/combinatoria/permutaciones/combinatoria-02-permutaciones-sin-repeticion+|duracion=3'00"
 +|sinopsis=Permutaciones circulares. Ejemplo.
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=76feGBwtsnY
}} }}
}} }}
-==Permutaciones con repetición==+===Permutaciones con repetición===
{{Caja_Amarilla|texto=Se llama '''permutaciones con repetición''' de n elementos, donde el primer elemento se repite "a" veces , el segundo "b" veces , el tercero "c" veces, ..., con n=a+b+c+..., y se representa <math>PR_n^{a,b,c,...}\;</math>, a las distintas agrupaciones ordenadas de n elementos formadas con esos n elementos, teniendo en cuenta que los elementos repetidos son indistinguibles. {{Caja_Amarilla|texto=Se llama '''permutaciones con repetición''' de n elementos, donde el primer elemento se repite "a" veces , el segundo "b" veces , el tercero "c" veces, ..., con n=a+b+c+..., y se representa <math>PR_n^{a,b,c,...}\;</math>, a las distintas agrupaciones ordenadas de n elementos formadas con esos n elementos, teniendo en cuenta que los elementos repetidos son indistinguibles.
}} }}
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}} }}
{{p}} {{p}}
-{{Videotutoriales|titulo=Ejercicios: ''Permutaciones con repetición''|enunciado=+{{Videotutoriales|titulo=Permutaciones con repetición|enunciado=
 +{{Video_enlace_matematicasfaciles
 +|titulo1=Tutorial
 +|duracion=6'50"
 +|sinopsis=Permutaciones con repetición. Ejemplos
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=kha8V19-fSo
 +}}
 +----
{{Video_enlace_childtopia {{Video_enlace_childtopia
|titulo1=Ejercicio 1 |titulo1=Ejercicio 1
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{{p}} {{p}}
-==Variaciones con repetición==+==Combinaciones==
-{{Caja_Amarilla|texto=Se llama '''variaciones con repetición''' de n elementos tomados de k en k (n ≥ k), y se representa <math>VR_n^k\;</math>, o bien <math>VR_{n,k}\;</math>, al número de grupos distintos de n elementos que se pueden formar a partir de m elementos dados, de forma que importa el orden y se pueden repetir los elementos.+{{Video_enlace_fisicaymates
 +|titulo1=Combinaciones
 +|duracion=15'54"
 +|sinopsis=Tutorial sobre combinaciones con o sin repetición. Ejemplos
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=Oqfr9Yw1zHM
}} }}
 +===Combinaciones ordinarias===
 +{{Caja Amarilla|texto=Se llaman '''combinaciones ordinarias''' (o sin repetición) de n elementos tomados de k en k (n ≥ k), y lo representaremos por <math> C^k_n \,</math> o <math> C_{n,k} \,</math>, a los distintos subconjuntos de k elementos que pueden formarse con los n elementos dados. Nótese que al tratarse de subconjuntos no importa el orden y no pueden repetirse los elementos.}}
{{p}} {{p}}
-{{Teorema|titulo=Proposición|enunciado=Las variaciones con repetición de n elementos tomados de k en k (n ≥ k) se pueden calcular con la siguiente fórmula:+{{Teorema|titulo=Proposición|enunciado=
 +El número de combinaciones de n elementos tomados de k en k (n ≥ k) puede calcularse con la siguiente fórmula:
 + 
 +<center><math>C^k_n = {n\choose k} = \frac{n!}{k! (n-k)!}</math></center>
 +|demo='''Demostración:'''
 + 
 +Si se tiene un conjunto con ''n'' elementos, de los cuales se van a escoger ''k'' de ellos, la selección (ordenada) puede hacerse de
 +{{p}}
 +<center><math> n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \dots \cdot (n-k+1) </math></center>
 +{{p}}
 +formas, ya que en el primer paso se tienen ''n'' opciones, en el segundo se tienen ''n''-1, en el tercero ''n''-2, y así sucesivamente, terminando en el paso ''k'' que tendrá ''n-k''+1 opciones.
 + 
 +Ahora, para eleiminar los conjuntos repetidos, hay que dividir el producto anterior entre el número de selecciones "equivalentes" (conjuntos con los mismos elementos en distinto orden). Pero si se tiene ''k'' objetos, hay k! formas de permutarlos, es decir, k! formas de listarlos en distinto orden.
 + 
 +Concluimos que el número de subconjuntos con ''k'' elementos, escogidos de un conjunto con ''n'' elementos es
 +<center><math> {n\choose k} = \frac{ n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \dots (n-k+1)}{k!}</math></center>
 +{{p}}
 +Multiplicando el numerador y el denominador por <math>1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots (n-k) \;</math>
 +{{p}}
 +<center><math> {n\choose k} = \frac{ 1\cdot 2\cdot 3\cdots (n-k)\cdot (n-k+1)\cdots (n-2)\cdot (n-1)\cdot n}{1\cdot 2 \cdot 3\cdots (n-k) \cdot k!}</math></center>
 +{{p}}
 +o lo que es lo mismo, expresado con factoriales:
 +{{p}}
 +<center><math>{n\choose k} = \frac{n!}{k! (n-k)!}</math></center>
 + 
 +c.q.d.
 + 
 +}}
 +{{p}}
 +Ver: [[Factoriales y números combinatorios (1ºBach)#Números combinatorios| Números combinatorios]]
 +{{p}}{{Videos: Ejercicios combinaciones}}
 +{{p}}
 + 
 +===Combinaciones con repetición===
 +{{Caja Amarilla|texto=Se llaman '''combinaciones con repetición''' de n elementos tomados de k en k, y lo representaremos por <math> CR^k_n \,</math> o <math> CR_{n,k} \,</math>, a las distintas agrupaciones de k elementos que pueden formarse con los n elementos dados, de manera que pueden repetirse los elementos y no importa el orden de los mismos.
 +----
 +'''Nota:''' n no tiene por qué ser mayor o igual que k.
 +}}
 +{{p}}
 + 
 +{{Teorema|titulo=Proposición|enunciado=
 +El número de combinaciones con repetición de n elementos tomados de k en k (n ≥ k) puede calcularse con la siguiente fórmula:
 + 
 +<center><math>CR^k_n = {n+k-1\choose k} = \frac{(n+k-1)!}{k! (n-1)!}</math></center>
 +|demo=Ver una explicación de esta fórmula en: [https://es.wikipedia.org/wiki/Combinaciones_con_repetici%C3%B3n Combinaciones con repetición (Wikipedia)]
 +}}
 +{{p}}
 +{{Ejemplo_simple|titulo=Ejemplo|contenido=¿De cuántas maneras diferentes se pueden repartir 10 caramelos iguales ente 4 niños?
 +----
 +'''Solución:'''
 + 
 +:<math>CR^{10}_4 = {4+10-1\choose 10} = {13\choose 10} = 286</math>
 +}}
 +{{p}}
 +{{Videotutoriales|titulo=Combinaciones con repetición|enunciado=
 +{{Video_enlace_matematicasfaciles
 +|titulo1=Tutorial
 +|duracion=5'02"
 +|sinopsis=Combinaciones con repetición. Ejemplo
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=Mw2-H7fOjh0
 +}}
 +----
 +{{Video_enlace_educatina
 +|titulo1=Ejercicio 1
 +|duracion=7'48"
 +|sinopsis=¿De cuántas maneras puedo coger 4 botellas de una bodega en las que hay 5 tipos de bebida? (Se supone que hay suficientes botellas de cada tipo como para poder coger hasta 4 del mismo tipo)
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=JmiBs6mUryE
 +}}
 +}}
 + 
 +==Variaciones==
 +{{Video_enlace_fisicaymates
 +|titulo1=Variaciones
 +|duracion=14'15"
 +|sinopsis=Tutorial sobre variaciones con o sin repetición. Ejemplos
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=9UjgHjby_k8
 +}}
 +===Variaciones con repetición===
 +{{Caja_Amarilla|texto=Se llama '''variaciones con repetición''' de n elementos tomados de k en k (n ≥ k), y se representa <math>VR_n^k\;</math>, o bien <math>VR_{n,k}\;</math>, a las distintas agrupaciones ordenadas de n elementos que se pueden formar a partir de m elementos dados en las que se pueden repetir los elementos.
 +}}
 +{{p}}
 +{{Teorema|titulo=Proposición|enunciado=El número de variaciones con repetición de n elementos tomados de k en k (n ≥ k) se pueden calcular con la siguiente fórmula:
<center><math>VR_{n,k}=n^k\;</math></center> <center><math>VR_{n,k}=n^k\;</math></center>
Línea 106: Línea 251:
}} }}
{{p}} {{p}}
-{{Videotutoriales|titulo=Ejemplos: ''Variaciones con repetición''|enunciado=+{{Videotutoriales|titulo=Variaciones con repetición|enunciado=
 +{{Video_enlace_matematicasfaciles
 +|titulo1=Tutorial
 +|duracion=13'06"
 +|sinopsis=Variaciones con repetición. Ejemplos.
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=4PyuzzmaBYA
 +}}
 +----
{{Video_enlace_childtopia {{Video_enlace_childtopia
|titulo1=Ejercicio 1 |titulo1=Ejercicio 1
Línea 136: Línea 288:
{{p}} {{p}}
-==Variaciones ordinarias==+===Variaciones ordinarias===
-{{Caja_Amarilla|texto=Se llama '''variaciones ordinarias''' (o sin repetición) de n elementos tomados de k en k (n ≥ k), y se representa <math>V_n^k\;</math>, o bien <math>V_{n,k}\;</math>, al número de grupos distintos de n elementos que se pueden formar a partir de m elementos dados, de forma que importa el orden y no se pueden repetir los elementos.+{{Caja_Amarilla|texto=Se llama '''variaciones ordinarias''' (o sin repetición) de n elementos tomados de k en k (n ≥ k), y se representa <math>V_n^k\;</math>, o bien <math>V_{n,k}\;</math>, a las distintas agrupaciones ordenadas de n elementos que se pueden formar a partir de m elementos dados en las que no se pueden repetir los elementos.
}} }}
{{p}} {{p}}
-{{Teorema|titulo=Proposición|enunciado=Las variaciones ordinarias de n elementos tomados de k en k (n ≥ k) se pueden calcular con la siguiente fórmula:+{{Teorema|titulo=Proposición|enunciado=El número de variaciones ordinarias de n elementos tomados de k en k (n ≥ k) se pueden calcular con la siguiente fórmula:
<center><math>V_{n,k}=\cfrac{n!}{(n-k)!}=n(n-1)(n-2)(n-3) \cdots (n-k+1)</math></center> <center><math>V_{n,k}=\cfrac{n!}{(n-k)!}=n(n-1)(n-2)(n-3) \cdots (n-k+1)</math></center>
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}} }}
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-{{Videotutoriales|titulo=Ejemplos: ''Variaciones ordinarias''|enunciado=+{{Videotutoriales|titulo=Variaciones ordinarias (o sin repetición)|enunciado=
 +{{Video_enlace_matematicasfaciles
 +|titulo1=Tutorial
 +|duracion=14'57"
 +|sinopsis=Variaciones ordinarias (sin repetición). Ejemplos
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 +----
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|titulo1=Ejercicio 1 |titulo1=Ejercicio 1
Línea 181: Línea 340:
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}} }}
 +}}
 +{{p}}
 +
 +==Ejercicios y Problemas==
 +{{Videotutoriales|titulo=Problemas: ''Combinatoria''|enunciado=
 +{{Video_enlace_miguematicas
 +|titulo1=Tutorial
 +|duracion=13'31"
 +|sinopsis=Combinaciones, Variaciones y Permutaciones, cómo distinguirlas
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=WclFTatHYuw&list=PLLfTN7MHLxCrTSxoDl7FnnjEDonhyRe1w&index=7
 +}}
 +----
 +{{Video_enlace_miguematicas
 +|titulo1=Problema 1
 +|duracion=3'15"
 +|sinopsis=¿Cuántos parejas para jugar al parchís puedo formar con 5 alumnos?
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=Kyazsk4sk9g&list=PLLfTN7MHLxCrTSxoDl7FnnjEDonhyRe1w
 +}}
 +{{Video_enlace_miguematicas
 +|titulo1=Problema 2
 +|duracion=4'19"
 +|sinopsis=¿Cuántos packs de 2 botellas distintos puedo formar con 4 marcas de vino?
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=maiJoT-Idzg&list=PLLfTN7MHLxCrTSxoDl7FnnjEDonhyRe1w&index=2
 +}}
 +{{Video_enlace_miguematicas
 +|titulo1=Problema 3
 +|duracion=4'32"
 +|sinopsis=¿Cuántos números de tres cifras distintas puedo formar con los dígitos 2, 4, 6 y 8?
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=VcDnTHuqfEw&list=PLLfTN7MHLxCrTSxoDl7FnnjEDonhyRe1w&index=3
 +}}
 +{{Video_enlace_miguematicas
 +|titulo1=Problema 4
 +|duracion=3'36"
 +|sinopsis=¿Cuántos números de tres cifras puedo formar con los dígitos 2, 4, 6 y 8?
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=3IPL9YHbA28&list=PLLfTN7MHLxCrTSxoDl7FnnjEDonhyRe1w&index=4
 +}}
 +{{Video_enlace_miguematicas
 +|titulo1=Problema 5
 +|duracion=3'03"
 +|sinopsis=¿De cuántas maneras distintas se pueden sentar los cuatro miembros de una familia en las cuatro butacas del cine?
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=WurKD-eph1s&index=5&list=PLLfTN7MHLxCrTSxoDl7FnnjEDonhyRe1w
 +}}
 +{{Video_enlace_miguematicas
 +|titulo1=Problema 6
 +|duracion=3'55"
 +|sinopsis=¿Cuántos números de cinco cifras puedo formar con los dígitos 2, 4, 4, 6 y 6?
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=Os0FEZqkTfY&list=PLLfTN7MHLxCrTSxoDl7FnnjEDonhyRe1w&index=6
 +}}
 +{{Video_enlace_unicoos
 +|titulo1=Problema 7
 +|duracion=6'43"
 +|sinopsis=Cálculo del número de apuestas que se pueden hacer en una lotería primitiva de 50 números de los que se eligen 6.
 +|url1=http://www.unicoos.com/video/matematicas/4-eso/combinatoria/combinaciones/combinatoria-01-combinaciones-sin-repeticion
 +}}
 +{{Video_enlace_unicoos
 +|titulo1=Problema 8
 +|duracion=2'50"
 +|sinopsis=¿Cuántos números de 5 cifras se pueden formar con 5 dígitos distintos si no se pueden repetir las cifras?|url1=http://www.unicoos.com/video/matematicas/4-eso/combinatoria/permutaciones/combinatoria-02-permutaciones-sin-repeticion
 +}}
 +{{Video_enlace_unicoos
 +|titulo1=Problema 9
 +|duracion=5'09"
 +|sinopsis=¿Cuántos números de 9 cifras se pueden formar con los dígitos 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4 y 4?|url1=https://www.youtube.com/watch?v=LUTlVlN56kE&index=3&list=PLOa7j0qx0jgO_YKL-2944lvKXEBUcMKo4
 +}}
 +{{Video_enlace_unicoos
 +|titulo1=Problema 10
 +|duracion=4'31"
 +|sinopsis=¿Cuántos números de 5 cifras se pueden formar con los dígitos 1, 2 y 3? ¿Cuántos son pares?
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=t7oHJD7h6gM&list=PLOa7j0qx0jgO_YKL-2944lvKXEBUcMKo4&index=4
 +}}
 +{{Video_enlace_unicoos
 +|titulo1=Problema 11
 +|duracion=4'28"
 +|sinopsis=¿De cuántas formas diferentes se pueden cubrir los puestos de presidente, vicepresidente y tesorero, de un equipo de futbol, sabiendo que hay 12 candidatos?
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=h0FwTGtM7H8&index=5&list=PLOa7j0qx0jgO_YKL-2944lvKXEBUcMKo4
 +}}
 +}}
 +{{Ejercicios_vitutor
 +|titulo1=Ejercicios y problemas resueltos: ''Permutaciones''
 +|descripcion=Ejercicios y problemas resueltos sobre permutaciones.
 +|url1=http://www.vitutor.com/pro/1/a_p.html
 +}}
 +{{Ejercicios_vitutor
 +|titulo1=Ejercicios y problemas resueltos: ''Combinaciones''
 +|descripcion=Ejercicios y problemas resueltos sobre combinaciones.
 +|url1=http://www.vitutor.com/pro/1/a_c.html
 +}}
 +{{Ejercicios_vitutor
 +|titulo1=Ejercicios y problemas resueltos: ''Variaciones''
 +|descripcion=Ejercicios y problemas resueltos sobre variaciones.
 +|url1=http://www.vitutor.com/pro/1/v_e.html
 +}}
 +----
 +{{Ejercicios_vitutor
 +|titulo1=Problemas resueltos: ''Combinatoria''
 +|descripcion=Problemas resueltos sobre combinatoria.
 +|url1=http://www.vitutor.com/pro/1/a_a.html
 +}}
 +{{Ejercicios_vitutor
 +|titulo1=Ejercicios y problemas resueltos: ''Combinatoria''
 +|descripcion=Problemas resueltos sobre combinatoria.
 +|url1=http://www.vitutor.com/pro/1/a_e.html
 +}}
 +{{Ejercicios_vitutor
 +|titulo1=Ejercicios resueltos: ''Ecuaciones combinatorias''
 +|descripcion=Ejercicios resueltos sobre ecuaciones con expresiones combinatorias.
 +|url1=http://www.vitutor.com/pro/1/a_d.html
 +}}
 +----
 +{{AI_vitutor
 +|titulo1=Autoevaluación: ''Ejercicios de combinatoria''
 +|descripcion=Ejercicios de autoevaluación sobre combinatoria.
 +|url1=http://www.vitutor.com/pro/1/a_8_e.html
 +}}
 +{{AI_vitutor
 +|titulo1=Autoevaluación: ''Problemas de combinatoria I''
 +|descripcion=Autoevaluación sobre problemas de combinatoria.
 +|url1=http://www.vitutor.com/pro/1/a_8_e_1.html
 +}}
 +{{AI_vitutor
 +|titulo1=Autoevaluación: ''Problemas de combinatoria II''
 +|descripcion=Autoevaluación sobre problemas de combinatoria.
 +|url1=http://www.vitutor.com/pro/1/a_8_e_2.html
}} }}
[[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Números]] [[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Números]]

Revisión actual

Tabla de contenidos

Combinatoria

La combinatoria es la parte de las Matemáticas que estudia las diversas formas de realizar agrupaciones con los elementos de un conjunto, formándolas y calculando su número.

Existen distintas formas de realizar estas agrupaciones, según se repitan los elementos o no, según se puedan tomar todos los elementos de que disponemos o no y si influye o no el orden de colocación de los elementos.

El siguiente video condensa todo lo veremos a lo largo de este tema.

Permutaciones

Permutaciones ordinarias

Se llama permutaciones ordinarias (o sin repetición) de n elementos, y se representa P_n\;, a las distintas agrupaciones de n elementos ordenadas obtenidas a partir de esos n elementos.

ejercicio

Proposición


El número de permutaciones de n elementos se pueden calcular con la siguiente fórmula:

P_n=n!\;

Permutaciones con repetición

Se llama permutaciones con repetición de n elementos, donde el primer elemento se repite "a" veces , el segundo "b" veces , el tercero "c" veces, ..., con n=a+b+c+..., y se representa PR_n^{a,b,c,...}\;, a las distintas agrupaciones ordenadas de n elementos formadas con esos n elementos, teniendo en cuenta que los elementos repetidos son indistinguibles.

ejercicio

Proposición


El número de permutaciones con repetición de n elementos, donde el primer elemento se repite "a" veces , el segundo "b" veces , el tercero "c" veces, ..., con n=a+b+c+..., se pueden calcular con la siguiente fórmula:

PR_n^{a,b,c,...}=\cfrac{n!}{a!b!c!...}\;

Combinaciones

Combinaciones ordinarias

Se llaman combinaciones ordinarias (o sin repetición) de n elementos tomados de k en k (n ≥ k), y lo representaremos por C^k_n \, o C_{n,k} \,, a los distintos subconjuntos de k elementos que pueden formarse con los n elementos dados. Nótese que al tratarse de subconjuntos no importa el orden y no pueden repetirse los elementos.

ejercicio

Proposición


El número de combinaciones de n elementos tomados de k en k (n ≥ k) puede calcularse con la siguiente fórmula:

C^k_n = {n\choose k} = \frac{n!}{k! (n-k)!}

Ver: Números combinatorios

Combinaciones con repetición

Se llaman combinaciones con repetición de n elementos tomados de k en k, y lo representaremos por CR^k_n \, o CR_{n,k} \,, a las distintas agrupaciones de k elementos que pueden formarse con los n elementos dados, de manera que pueden repetirse los elementos y no importa el orden de los mismos.


Nota: n no tiene por qué ser mayor o igual que k.

ejercicio

Proposición


El número de combinaciones con repetición de n elementos tomados de k en k (n ≥ k) puede calcularse con la siguiente fórmula:

CR^k_n = {n+k-1\choose k} = \frac{(n+k-1)!}{k! (n-1)!}

Variaciones

Variaciones con repetición

Se llama variaciones con repetición de n elementos tomados de k en k (n ≥ k), y se representa VR_n^k\;, o bien VR_{n,k}\;, a las distintas agrupaciones ordenadas de n elementos que se pueden formar a partir de m elementos dados en las que se pueden repetir los elementos.

ejercicio

Proposición


El número de variaciones con repetición de n elementos tomados de k en k (n ≥ k) se pueden calcular con la siguiente fórmula:

VR_{n,k}=n^k\;

Variaciones ordinarias

Se llama variaciones ordinarias (o sin repetición) de n elementos tomados de k en k (n ≥ k), y se representa V_n^k\;, o bien V_{n,k}\;, a las distintas agrupaciones ordenadas de n elementos que se pueden formar a partir de m elementos dados en las que no se pueden repetir los elementos.

ejercicio

Proposición


El número de variaciones ordinarias de n elementos tomados de k en k (n ≥ k) se pueden calcular con la siguiente fórmula:

V_{n,k}=\cfrac{n!}{(n-k)!}=n(n-1)(n-2)(n-3) \cdots (n-k+1)

Ejercicios y Problemas



Herramientas personales
* AVISO: Para que te funcionen los applets de Java debes usar Internet Explorer y seguir las instrucciones de la Ayuda del menu de la izquierda