Combinatoria

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 +==Combinatoria==
 +{{Caja_Amarilla|texto=
 +La '''combinatoria''' es la parte de las Matemáticas que estudia las diversas formas de realizar agrupaciones con los elementos de un conjunto, formándolas y calculando su número.}}
 +{{p}}
 +Existen distintas formas de realizar estas agrupaciones, según se repitan los elementos o no, según se puedan tomar todos los elementos de que disponemos o no y si influye o no el orden de colocación de los elementos.
 +
 +El siguiente video condensa todo lo veremos a lo largo de este tema.
 +{{p}}
 +{{Video_enlace_aula4all
 +|titulo1=Combinatoria: Permutaciones, variaciones y combinaciones
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 +|sinopsis=La combinatoria es la parte de las matemáticas que estudia las ordenaciones en que se pueden agrupar determinados elementos de un conjunto.
 +
 +En este vídeo vamos a ver los conceptos de permutación, permutación con repetición, variación, variación con repetición, combinación y combinación con repetición.
 +
 +Se expondrán dichos conceptos de una manera pedagógica de fácil entendimiento, tras la cual, se indicarán ejemplos referidos al tipo de combinatoria.
 +
 +Finalmente se enunciará un ejercicio resuelto.
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 +}}
 +{{Video_enlace_pildoras
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-=Permutaciones=+==Permutaciones==
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-==Permutaciones ordinarias==+===Permutaciones ordinarias===
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-==Permutaciones con repetición==+===Permutaciones con repetición===
{{Caja_Amarilla|texto=Se llama '''permutaciones con repetición''' de n elementos, donde el primer elemento se repite "a" veces , el segundo "b" veces , el tercero "c" veces, ..., con n=a+b+c+..., y se representa <math>PR_n^{a,b,c,...}\;</math>, a las distintas agrupaciones ordenadas de n elementos formadas con esos n elementos, teniendo en cuenta que los elementos repetidos son indistinguibles. {{Caja_Amarilla|texto=Se llama '''permutaciones con repetición''' de n elementos, donde el primer elemento se repite "a" veces , el segundo "b" veces , el tercero "c" veces, ..., con n=a+b+c+..., y se representa <math>PR_n^{a,b,c,...}\;</math>, a las distintas agrupaciones ordenadas de n elementos formadas con esos n elementos, teniendo en cuenta que los elementos repetidos son indistinguibles.
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-==Combinaciones ordinarias==+===Combinaciones ordinarias===
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-==Combinaciones con repetición==+===Combinaciones con repetición===
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|titulo1=Ejercicio 1 |titulo1=Ejercicio 1
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 +==Variaciones==
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 +{{p}}
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 +
 +<center><math>VR_{n,k}=n^k\;</math></center>
 +|demo=
 +'''Demostración:'''
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 +Si quiero formar grupos de n elementos en los que importa el orden, el primer elemento del grupo lo puedo escoger de n maneras distintas (puesto que dispongo de n elementos), el 2º también de n maneras (pues puedo repetirlo), el 3º también de n maneras, ..., y el k-ésimo, de n maneras distintas. Multiplicando todas las posibilidades obtengo la fórmula.
 +}}
 +{{p}}
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 +|sinopsis=Variaciones con repetición. Ejemplos.
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 +}}
 +----
 +{{Video_enlace_childtopia
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 +}}
 +{{Video_enlace_childtopia
 +|titulo1=Ejercicio 2
 +|duracion=0'37"
 +|sinopsis=Calcula <math>VR_{5,2}\;</math>
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=WgqF8CLnD6Y&list=PL90993E2D459449B0&index=1
 +}}
 +----
 +{{Video_enlace_childtopia
 +|titulo1=Problema 1
 +|duracion=1'15"
 +|sinopsis=¿Cuántos números de dos cifras pueden formarse con los dígitos 1, 2 y 3, si se pueden repetir las cifras
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 +}}
 +{{Video_enlace_childtopia
 +|titulo1=Problema 2
 +|duracion=3'39"
 +|sinopsis=Con las cifras 0, 1, 3, 5 y 7, ¿cuántos números de 4 cifras podemos escribir?
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=L3snBZiTjT4&list=PLCCECEF49C3624949&index=3
 +}}
 +
 +}}
 +{{p}}
 +
 +===Variaciones ordinarias===
 +{{Caja_Amarilla|texto=Se llama '''variaciones ordinarias''' (o sin repetición) de n elementos tomados de k en k (n ≥ k), y se representa <math>V_n^k\;</math>, o bien <math>V_{n,k}\;</math>, a las distintas agrupaciones ordenadas de n elementos que se pueden formar a partir de m elementos dados en las que no se pueden repetir los elementos.
 +}}
 +{{p}}
 +{{Teorema|titulo=Proposición|enunciado=El número de variaciones ordinarias de n elementos tomados de k en k (n ≥ k) se pueden calcular con la siguiente fórmula:
 +
 +<center><math>V_{n,k}=\cfrac{n!}{(n-k)!}=n(n-1)(n-2)(n-3) \cdots (n-k+1)</math></center>
 +|demo=
 +'''Demostración:'''
 +
 +Si quiero formar grupos de n elementos en los que importa el orden, el primer elemento del grupo lo puedo escoger de n maneras distintas (puesto que dispongo de n elementos), el 2º de (n-1) maneras distintas (pues no puedo repetir el anterior), el 3º de (n-2), ..., y el k-ésimo, de (n-k+1) maneras distintas. Multiplicando todas las posibilidades obtengo la fórmula.
 +}}
 +{{p}}
 +{{Videotutoriales|titulo=Variaciones ordinarias (o sin repetición)|enunciado=
 +{{Video_enlace_matematicasfaciles
 +|titulo1=Tutorial
 +|duracion=14'57"
 +|sinopsis=Variaciones ordinarias (sin repetición). Ejemplos
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=kjvXH-ZFnu0
 +}}
 +----
 +{{Video_enlace_childtopia
 +|titulo1=Ejercicio 1
 +|duracion=1'12"
 +|sinopsis=Calcula <math>V_{6,2}\;</math>
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=Qhl9WmXctOk&index=4&list=PL90993E2D459449B0
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 +{{Video_enlace_childtopia
 +|titulo1=Ejercicio 2
 +|duracion=1'26"
 +|sinopsis=Calcula <math>V_{9,4}\;</math>
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=EW1SpNadaqg&index=3&list=PL90993E2D459449B0
 +}}
 +----
 +{{Video_enlace_childtopia
 +|titulo1=Problema 1
 +|duracion=1'15"
 +|sinopsis=¿Cuántos números de dos cifras pueden formarse con los dígitos 1, 2 y 3, si no se pueden repetir las cifras.
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=Z_fUpgI8bLQ&list=PLCCECEF49C3624949&index=5
 +}}
 +{{Video_enlace_childtopia
 +|titulo1=Problema 2
 +|duracion=4'24"
 +|sinopsis=Cuántos números de tres cifras no repetidas se pueden formar con los dígitos 2, 3, 4, 5 y 6? ¿Cuántos son pares?¿Cuántos terminan en 45?
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=VSJqiK6RsY0&index=1&list=PLCCECEF49C3624949
 +}}
 +{{Video_enlace_childtopia
 +|titulo1=Problema 3
 +|duracion=1'53"
 +|sinopsis=En una competición participan 6 corredores pero sólo hay 3 premios distintos (1º, 2º y 3º). ¿De cuántas formas distintas pueden asignarse 3 los premios entre los 6 atletas?
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=EdJxM3C3juM&list=PLCCECEF49C3624949&index=2
 +}}
 +}}
 +{{p}}
==Ejercicios y Problemas== ==Ejercicios y Problemas==

Revisión actual

Tabla de contenidos

Combinatoria

La combinatoria es la parte de las Matemáticas que estudia las diversas formas de realizar agrupaciones con los elementos de un conjunto, formándolas y calculando su número.

Existen distintas formas de realizar estas agrupaciones, según se repitan los elementos o no, según se puedan tomar todos los elementos de que disponemos o no y si influye o no el orden de colocación de los elementos.

El siguiente video condensa todo lo veremos a lo largo de este tema.

Permutaciones

Permutaciones ordinarias

Se llama permutaciones ordinarias (o sin repetición) de n elementos, y se representa P_n\;, a las distintas agrupaciones de n elementos ordenadas obtenidas a partir de esos n elementos.

ejercicio

Proposición


El número de permutaciones de n elementos se pueden calcular con la siguiente fórmula:

P_n=n!\;

Permutaciones con repetición

Se llama permutaciones con repetición de n elementos, donde el primer elemento se repite "a" veces , el segundo "b" veces , el tercero "c" veces, ..., con n=a+b+c+..., y se representa PR_n^{a,b,c,...}\;, a las distintas agrupaciones ordenadas de n elementos formadas con esos n elementos, teniendo en cuenta que los elementos repetidos son indistinguibles.

ejercicio

Proposición


El número de permutaciones con repetición de n elementos, donde el primer elemento se repite "a" veces , el segundo "b" veces , el tercero "c" veces, ..., con n=a+b+c+..., se pueden calcular con la siguiente fórmula:

PR_n^{a,b,c,...}=\cfrac{n!}{a!b!c!...}\;

Combinaciones

Combinaciones ordinarias

Se llaman combinaciones ordinarias (o sin repetición) de n elementos tomados de k en k (n ≥ k), y lo representaremos por C^k_n \, o C_{n,k} \,, a los distintos subconjuntos de k elementos que pueden formarse con los n elementos dados. Nótese que al tratarse de subconjuntos no importa el orden y no pueden repetirse los elementos.

ejercicio

Proposición


El número de combinaciones de n elementos tomados de k en k (n ≥ k) puede calcularse con la siguiente fórmula:

C^k_n = {n\choose k} = \frac{n!}{k! (n-k)!}

Ver: Números combinatorios

Combinaciones con repetición

Se llaman combinaciones con repetición de n elementos tomados de k en k, y lo representaremos por CR^k_n \, o CR_{n,k} \,, a las distintas agrupaciones de k elementos que pueden formarse con los n elementos dados, de manera que pueden repetirse los elementos y no importa el orden de los mismos.


Nota: n no tiene por qué ser mayor o igual que k.

ejercicio

Proposición


El número de combinaciones con repetición de n elementos tomados de k en k (n ≥ k) puede calcularse con la siguiente fórmula:

CR^k_n = {n+k-1\choose k} = \frac{(n+k-1)!}{k! (n-1)!}

Variaciones

Variaciones con repetición

Se llama variaciones con repetición de n elementos tomados de k en k (n ≥ k), y se representa VR_n^k\;, o bien VR_{n,k}\;, a las distintas agrupaciones ordenadas de n elementos que se pueden formar a partir de m elementos dados en las que se pueden repetir los elementos.

ejercicio

Proposición


El número de variaciones con repetición de n elementos tomados de k en k (n ≥ k) se pueden calcular con la siguiente fórmula:

VR_{n,k}=n^k\;

Variaciones ordinarias

Se llama variaciones ordinarias (o sin repetición) de n elementos tomados de k en k (n ≥ k), y se representa V_n^k\;, o bien V_{n,k}\;, a las distintas agrupaciones ordenadas de n elementos que se pueden formar a partir de m elementos dados en las que no se pueden repetir los elementos.

ejercicio

Proposición


El número de variaciones ordinarias de n elementos tomados de k en k (n ≥ k) se pueden calcular con la siguiente fórmula:

V_{n,k}=\cfrac{n!}{(n-k)!}=n(n-1)(n-2)(n-3) \cdots (n-k+1)

Ejercicios y Problemas



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