Divisibilidad
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Tabla de contenidos |
Múltiplos y divisores
es multiplo de , y escribiremos , si existe un número natural tal que . En tal caso, es divisor de y escribiremos
Por ejemplo, 12 es múltiplo de 4 porque . Por tanto, 4 es divisor de 12 .
Propiedades
- Todo número natural es múltiplo de 1 y de sí mismo.
- Todo número natural tiene infinitos múltiplos, que se obtienen multiplicándolo por un número natural cualquiera.
- El 0 es múltiplo de cualquier número.
- Todo número natural tiene, al menos, dos divisores: 1 y él mismo.
Criterios de divisibilidad
Los siguientes criterios nos permiten averiguar si un número es divisible por otro de una forma sencilla, sin necesidad de realizar una división.
Divisible por: | Criterio |
---|---|
2 | El número acaba en 0 ó cifra par. |
3 | La suma de sus cifras es un múltiplo de 3. |
4 | El número formado por las dos últimas cifras es múltiplo de 4. |
5 | La última cifra es 0 ó 5. |
6 | El número es divisible por 2 y por 3. |
8 | El número formado por las tres últimas cifras es múltiplo de 8. |
9 | La suma de sus cifras es múltiplo de 9. |
10 | La última cifra es 0. |
11 | Se suman las cifras que forman el número de forma alternativa y se restan los resultados para ver si da un múltiplo de 11 (El cero también lo es) |
Números compuestos y números primos
Un número natural es compuesto si se puede expresar como producto de otros dos números naturales distintos de él y la unidad. En caso contrario es un número primo. Propiedad: Un número primo sólo tiene por divisores a la unidad y a él mismo. Criba de EratóstenesLa criba de Eratóstenes es un algoritmo para hallar números primos que desarrolló el célebre matemático griego Eratóstenes en el siglo III a.C.
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Cómo averiguar si un número es primo
Para averiguar si un número es primo, efectuamos divisiones por los distintos números primos: 2, 3, 5, 7,... hasta que la división sea exacta (entonces no es primo) o el cociente sea menor o igual que el siguiente número primo por el que toca dividir (entonces es primo).
Ejemplo: Averiguar si un número es primo
- Averigua si el número 167 es primo.
Efectuamos las siguientes divisiones por los distintos números primos: 2, 3, 5, 7,... hasta que sea divisible o el cociente sea menor o igual que el siguiente número primo por el que toca dividir:
- Dividimos 167 entre 2: cociente=83 y resto=1. No es divisible por 2.
- Dividimos 167 entre 3 porque 83>3: cociente=55 y resto=2. No es divisible por 3.
- Dividimos 167 entre 5 porque 55>5: cociente=33 y resto=2. No es divisible por 5.
- Dividimos 167 entre 7 porque 33>7: cociente=23 y resto=6. No es divisible por 7.
- Dividimos 167 entre 11 porque 23>11: cociente=15 y resto=2. No es divisible por 11.
- Dividimos 167 entre 13 porque 15>13: cociente=12 y resto=11. No es divisible por 13.
- Paramos y no dividimos 167 entre 17 porque 12<17.
Descomposición factorial de un número
Cualquier número podemos expresarlo como producto de potencias de números primos. A esto se le llama descomposición factorial de un número.
Ejemplo: Descompoción en factores primos
- Halla la descomposición factorial de 90.
Dividimos 90 entre el primer número primo por el que sea divisible. En este caso, por 2.
- 90:2=45
A continuación, procedemos a dividir 45, cociente de la anterior división, de igual forma.
- 45:3=15
Así sucesivamente hasta obtener 1 en el cociente
- 15:3=5
- 5:5=1
Los cocientes 2, 3, 3 y 5 son los factores que descomponen a 90.
Obtención de los divisores de un número
Para obtener los divisores de un número podemos proceder siguiendo uno de los dos métodos que ilustramos con el siguiente ejemplo:
Ejemplo: Obtener los divisores de un número
- Obtén los divisores de 90.
Método 1: Descomponemos 90 en factores primos:
Construimos una tabla para formar las posibles combinaciones de productos de factores.
Cada casilla de la tabla contiene un divisor: 1, 3, 9, 2, 6, 18, 5, 15, 45, 10, 30 y 90.
Método 2: Dividimos 90 por su primer divisor:
- 90:1=90. Ya tenemos dos divisores: 1 y 90.
Dividimos 90 por el siguiente divisor:
- 90:2=45. Ya tenemos otros dos: 2 y 45.
Proseguimos de igual forma:
- 90:3=30. Obtenemos 3 y 30.
- 90:5=18. Obtenemos 5 y 18.
- 90:6=15. Obtenemos 6 y 15.
- 90:9=10. Obtenemos 9 y 10.
Máximo común divisor
El máximo común divisor (M.C.D.) de dos o más números es el mayor de todos los divisores comunes a esos números.
Para obtenerlo se descomponen los números en factores primos y se toman los factores comunes elevados al menor exponente.
Ejemplo: M.C.D.
- Calcula el M.C.D.(24,60).
Descomponemos 24 y 60 en sus factores primos:
Multiplicando los factores comunes elevados al menor exponente:
Propiedad
Si a es múltiplo de b, entonces M.C.D.(a,b)=b.
Por ejemplo, M.C.D.(15, 30)=15.
Números primos entre sí
Dos números son primos entre sí, si su M.C.D. es 1.
Mínimo común múltiplo
El mínimo común múltiplo (m.c.m.) de dos o más números es el menor de todos los múltiplos comunes a esos números.
Para obtenerlo se descomponen los números en factores primos y se toman todos los factores elevados al mayor exponente.
Ejemplo: m.c.m.
- Calcula el m.c.m.(24,60).
Descomponemos 24 y 60 en sus factores primos:
Multiplicando todos los factores elevados al mayor exponente:
Propiedades
- Si a es múltiplo de b, entonces .
- Si a y b son primos entre sí, entonces .
Por ejemplo:
- m.c.m.(15, 30)=30, porque 30 es múltiplo de 15.
- m.c.m.(4,11)=44, porque 4 y 11 son primos entre sí.