Divisibilidad

De Wikipedia

Tabla de contenidos

Múltiplos y divisores

a\;\! es multiplo de b\;\!, y escribiremos a= \dot b, si existe un número natural n\;\! tal que a=b \cdot n. En tal caso, b\;\! es divisor de a\;\! y escribiremos b|a. \;\!

Por ejemplo, 12 es múltiplo de 4 (12= \dot 4) porque 12=4 \cdot 3. Por tanto, 4 es divisor de 12 (4|12 \;\!).


ejercicio

Actividades Interactivas - Múltiplos y divisores


  1. Divisores de un número
  2. Juego

Propiedades

  • Todo número natural es múltiplo de 1 y de sí mismo.
  • Todo número natural tiene infinitos múltiplos, que se obtienen multiplicándolo por un número natural cualquiera.
  • El 0 es múltiplo de cualquier número.
  • Todo número natural tiene, al menos, dos divisores: 1 y él mismo.


Criterios de divisibilidad

Los siguientes criterios nos permiten averiguar si un número es divisible por otro de una forma sencilla, sin necesidad de realizar una división.

Divisible por: Criterio
2 El número acaba en 0 ó cifra par.
3 La suma de sus cifras es un múltiplo de 3.
4 El número formado por las dos últimas cifras es múltiplo de 4.
5 La última cifra es 0 ó 5.
6 El número es divisible por 2 y por 3.
8 El número formado por las tres últimas cifras es múltiplo de 8.
9 La suma de sus cifras es múltiplo de 9.
10 La última cifra es 0.
11 Se suman las cifras que forman el número de forma alternativa y se restan los resultados para ver si da un múltiplo de 11 (El cero también lo es)

ejercicio

Actividad Interactiva - Múltiplos de un número



Números compuestos y números primos

Un número natural es compuesto si se puede expresar como producto de otros dos números naturales distintos de él y la unidad. En caso contrario es un número primo.


Por ejemplo, 15 es compuesto porque 15=3 \cdot 5. Sin embargo, los números 2, 3, 5, 7, 11, 13 son primos.

Propiedad: Un número primo sólo tiene por divisores a la unidad y a él mismo.

Números primos menores que 100
Aumentar
Números primos menores que 100

Criba de Eratóstenes

La criba de Eratóstenes es un algoritmo para hallar números primos que desarrolló el célebre matemático griego Eratóstenes en el siglo III a.C.

ejercicio

Actividades Interactivas - Criba de Eratóstenes


Cómo averiguar si un número es primo

Para averiguar si un número es primo, efectuamos divisiones por los distintos números primos: 2, 3, 5, 7,... hasta que la división sea exacta (entonces no es primo) o el cociente sea menor o igual que el siguiente número primo por el que toca dividir (entonces es primo).

ejercicio

Ejemplo: Averiguar si un número es primo


Averigua si el número 167 es primo.

ejercicio

Actividades Interactivas - ¿Primo o compuesto?


Descomposición factorial de un número

Cualquier número podemos expresarlo como producto de potencias de números primos. A esto se le llama descomposición factorial de un número.

ejercicio

Ejemplo: Descompoción en factores primos


Halla la descomposición factorial de 90.

ejercicio

Actividad Interactiva - Descomposición factorial


Obtención de los divisores de un número

Para obtener los divisores de un número podemos proceder siguiendo uno de los dos métodos que ilustramos con el siguiente ejemplo:

ejercicio

Ejemplo: Obtener los divisores de un número


Obtén los divisores de 90.

ejercicio

Actividad Interactiva - Divisores de un número



Máximo común divisor

El máximo común divisor (m.c.d.) de dos o más números es el mayor de todos los divisores comunes a esos números.
Para obtenerlo se descomponen los números en factores primos y se toman los factores comunes elevados al menor exponente.

ejercicio

Ejemplo: m.c.d.


Calcula el m.c.d.(24,60).

ejercicio

Actividad Interactiva - m.c.d.


Propiedad

Si a es múltiplo de b, entonces m.c.d.(a,b)=b.

Por ejemplo, m.c.d.(15, 30)=15.

Números primos entre sí

Dos números son primos entre sí, si su m.c.d. es 1.

Por ejemplo, 6 y 11 son primos entre sí.


Mínimo común múltiplo

El mínimo común múltiplo (m.c.m.) de dos o más números es el menor de todos los múltiplos comunes a esos números.
Para obtenerlo se descomponen los números en factores primos y se toman todos los factores elevados al mayor exponente.

ejercicio

Ejemplo: m.c.m.


Calcula el m.c.m.(24,60).

ejercicio

Actividades Interactivas: m.c.m.


  1. m.c.m. de dos números
  2. m.c.m. de tres números

Propiedades

  • Si a es múltiplo de b, entonces m.c.m.(a,b)=a \;\!.

  • Si a y b son primos entre sí, entonces m.c.m.(a,b)=a \cdot b.

Por ejemplo:

  • m.c.m.(15, 30)=30, porque 30 es múltiplo de 15.
  • m.c.m.(4,11)=44, porque 4 y 11 son primos entre sí.


Ejercicios y problemas

Ejercicios

Plantilla:Ejercicio cab

Problemas

Plantilla:Ejercicio cab

Calculadora

ejercicio

WIRIS: Factorizar, m.c.d., m.c.m., números primos


Revisa estos ejemplos y utiliza el editor para:

a) Calcular m.c.d.(24,68,80).
b) Calcular m.c.m.(12,16,20).
c) Descomponer en factores primos del número 2.560.
d) Comprobar si el número 331 es primo.

Compruébalo tambien a mano.

(Soluciones: \ a)\ 4, \quad b)\ 240, \quad c)\ 2^9 \cdot 5,\quad d)\ es \ primo \ ).

Herramientas personales
* AVISO: Para que te funcionen los applets de Java debes usar Internet Explorer y seguir las instrucciones de la Ayuda del menu de la izquierda