Divisibilidad de polinomios (4ºESO Académicas)

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Polinomios múltiplos y divisores

Un polinomio $Q(x)\,$ es divisor de otro, $P(x)\,$ y lo representaremos por $Q(x)|P(x)\;$ , si la división $P(x):\,Q(x)\,$ es exacta, es decir, cuando existe otro polinomio $C(x)\;$ tal que $P(x)=\,Q(x)\cdot C(x)\,$ .

En tal caso, diremos que $P(x)\,$ es divisible por $Q(x)\,$ y que $P(x)\,$ es un múltiplo de $Q(x)\,$ .
También diremos que $Q(x)\,$ y $C(x)\,$ son factores del polnomio $P(x)\,$ .

Ejemplo

Dados los polinomios:

$P(x)=(3x^3-14x^2+4x+3) \, , \quad Q(x)=(3x+1) \, , \quad C(x)=x^2-5x+3$ :

Se cumple que

$Q(x)|P(x)\;$ , porque $P(x)=\,Q(x)\cdot C(x)\,$ .

Es decir, la siguiente división es exacta:

$(3x^3-14x^2+4x+3):(3x+1)=x^2-5x+3\;$

porque:

$(3x+1) \cdot (x^2-5x+3) =3x^3-14x^2+4x+3$

La divisibilidad de polinomios es semejante a la divisibilidad con números enteros. Asimismo, la factorización de polinomios equivale a la descomposición de un número en factores primos, y los conceptos de máximo común divisor, mínimo común múltiplo e irreducibilidad son similares a los correspondientes conceptos numéricos.

Polinomios irreducibles

Un polinomio $P(x)\,$ es irreducible cuando ningún polinomio de grado inferior (distinto de grado cero) es divisor suyo.

Ejemplos

Son polinomios irreducibles, entre otros:

Los de primer grado: $3x,\ x-3,\ 5x-3\ \;$
Los de segundo grado sin raíces: $x^2+1,\ 2x^2-3x+5 \;$

Máximo común divisor y mínimo común múltiplo

Se dice que el polinomio $D(x)\;$ es el máximo común divisor de los polinomios $P(x)\;$ y $Q(x)\;$ , y lo expresaremos:

$m.c.d \,[P(x), Q(x)]=D(x)\;$

si $D(x)\;$ es divisor de ambos y no existe otro polinomio que divida a ambos que tenga mayor grado que él.

Ejemplos

Dados los polinomios:

$P(x)=(x-1)^2 (x-3)\;$

$Q(x)=(x-1)^3 (x-3)^2 (x+1)\;$ :

Su máximo común divisor es:

$m.c.d \,[P(x), Q(x)]=(x-1)^2(x-3)\;$

Se dice que el polinomio $M(x)\;$ es el mínimo común múltiplo de los polinomios $P(x)\;$ y $Q(x)\;$ , y lo expresaremos:

$m.c.m \,[P(x), Q(x)]=M(x)\;$

si $D(x)\;$ es múltiplo de ambos y no existe otro polinomio que sea múltiplo de ambos que tenga menor grado que él.

Ejemplos

Dados los polinomios:

$P(x)=(x-1)^2 (x-3)\;$

$Q(x)=(x-1)^3 (x-3)^2 (x+1)\;$ :

Su mínimo común múltiplo es:

$m.c.m \,[P(x), Q(x)]=(x-1)^3 (x-3)^2 (x+1)\;$

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