Familias de funciones elementales (1ºBach)

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Tabla de contenidos

Funciones algebraicas y trascendentes

  • Las funciones algebraicas son aquellas en las que las operaciones que hay que efectuar con la variable independiente son: la adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación.
  • Las funciones trascendentes son aquellas que no son algebraicas.

Funciones algebraicas y trascendentes (8'51")     Sinopsis:

La función "f" se dice "algebraica" si las operaciones que deben realizarse para determinar el número real "f(x)" son las llamadas algebraicas: suma, resta, multiplicación, división, potenciación de exponente constante y radicación de ínidice constante. Si "f" no es algebraica, se dice "trascendente".

Funciones lineales

La función lineal     Descripción:

Representación de la familia de funciones lineales.

Funciones cuadráticas

La función cuadrática     Descripción:

Representación de la familia de funciones cuadráticas.

Funciones irracionales

La función irracional     Descripción:

Representación de la familia de funciones irracionales.

Funciones de proporcionalidad inversa

Una función de proporcionalidad inversa es aquellas de la forma

\ y = \cfrac{k}{x} \qquad (k \in \mathbb{R})

donde el numero k\; recibe el nombre de constante de proporcionalidad.

Este tipo de funciones se llaman así porque si x\; e y\; son cantidades correspondientes de dos magnitudes inversamente proporcionales, con constante de proporcionalidad k\;, entonces sabemos que se cumple que x \cdot y = k \;.

ejercicio

Propiedad

La gráfica de esta función es una hipérbola equilátera:

  • Sus ramas son simétricas respecto del origen de coordenadas.
  • Sus asíntotas son los propios ejes de coordenadas.

La función de proporcionalidad inversa     Descripción:

Representación de la familia de funciones de proporcionalidad inversa.

Una función homográfica es una función racional del tipo:

\ y = \cfrac{ax+b}{cx+d}

ejercicio

Proposición

Si transformamos una función de proporcionalidad inversa por medio de traslaciones horizontales y verticales, el resultado es una función homográfica.

Demostración:

Si partimos de una función de proporcionalidad inversa:

\ y = \cfrac{k}{x}

y sobre ella efectuamos traslaciones verticales y horizontales, nos quedaría:

\ y = \cfrac{k}{x+m}+n

Desarrollando esta expresión:

\ y = \cfrac{k+nx+nm}{x+m}=\cfrac{nx+(nm+k)}{x+m}
que es de tipo homográfico.

La función homográfica     Descripción:

Representación de la familia de funciones homográficas.

Funciones exponenciales

  • Sea a \in \mathbb{R} \ , a>0 \ , a \ne 1. Se define la función exponencial de base a\; como:


\begin{matrix} f \colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^+ \\ \, \qquad \quad x \rightarrow y=a^x \end{matrix}


  • La función exponencial de base e = 2,7182...\; (número e) es de especial importancia en matemáticas y se denomina simplementre función exponencial, sin hacer mención a la base.
Funciones exponenciales
Aumentar
Funciones exponenciales

Propiedades

ejercicio

Propiedades de la función exponencial

Las funciones exponenciales de base a\; cumplen las siguientes propiedades:

  • Son continuas en su dominio, que es D_f=\mathbb{R}.
  • Pasan por (0,1)\; y (1,a)\;.
  • Crecimiento:
  • Si a>1\; son crecientes
  • Si 0<a<1\; son decrecientes.
  • Su crecimiento supera al de cualquier función potencia.
  • Son positivas y nunca se anulan (su gráfica está por encima del eje X).

Funciones exponenciales
Aumentar
Funciones exponenciales

Funciones logarítmicas

Sea a \in \mathbb{R} \ , a>0 \ , a \ne 1. Se define la función logarítmica de base a\; como:

\begin{matrix} f \colon \mathbb{R}{}_*^+ \rightarrow \mathbb{R} \quad \\ \, \qquad \qquad \ x \ \rightarrow y=log_a \, x \end{matrix}

  • La función logarítmica de base el número e = 2,7182... es de especial importancia en matemáticas. Se denomina función logaritmo neperiano y se designa por ln \, x.


  • La función logarítmica de base 10 también es de particular interés. Se denomina función logaritmo decimal y se designa por log \, x (sin especificar la base).
Funciones logarítmicas con distintas bases: - En rojo está representada la de base e. - En verde la de base 10. - En púrpura la de base 1.7.
Aumentar
Funciones logarítmicas con distintas bases:

- En rojo está representada la de base e.

- En verde la de base 10.

- En púrpura la de base 1.7.

Propiedades

ejercicio

Propiedades de la función logarítmica

Las funciones exponenciales de base a\; cumplen las siguientes propiedades:

  • Son continuas en su dominio: D_f=\mathbb{R}_*^+=\mathbb{R}^+ - \{0\}.
  • Pasan por (1,0)\; y (a,1)\;.
  • Crecimiento:
  • Si a>1\; son crecientes.
  • Si 0<a<1\; son decrecientes.
  • Su crecimiento es menor que el de las funciones raíz de cualquier índice \sqrt[n]{x}.
  • La función logaritmica y la exponencial de la misma base son funciones inversas y por tanto sus gráficas son simétricas respecto de la recta y=x\;.
Funciones logarítmicas
Aumentar
Funciones logarítmicas

Funciones trigonométricas

Ver tema: Funciones trigonométricas o circulares

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