Funciones: Definición (1ºBach)

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-Una '''función real de variable real''', <math>f\;</math>, es una correspondencia entre números reales que asocia a cada valor de la '''variable independiente''' <math>x\;</math> un único valor de la '''variable dependiente''' <math>y\;</math>. En tal caso decimos que <math>y\;</math> '''es función de''' <math>x\;</math> y lo representamos por <math>y=f(x)\;</math>.+Una '''función real de variable real''', <math>f\;</math>, es una correspondencia entre números reales que asocia a cada valor de la '''variable independiente''' <math>x\;</math> un único valor de la '''variable dependiente''' <math>y\;</math>.
<center><math> <center><math>
\begin{matrix} \begin{matrix}
-f \colon \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R} \qquad \quad+f \colon \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R}
\\ \\
-\quad \ x& \rightarrow & \ y=f(x)+\quad \ x& \rightarrow & \ y
\end{matrix} \end{matrix}
</math></center> </math></center>
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Tabla de contenidos

Función real de variable real

Una función real de variable real, f\;, es una correspondencia entre números reales que asocia a cada valor de la variable independiente x\; un único valor de la variable dependiente y\;.

\begin{matrix} f \colon \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R} \\ \quad \ x& \rightarrow & \ y \end{matrix}

En tal caso decimos que y\; es función de x\; y lo representamos por y=f(x)\;.

ejercicio

Actividades Interactivas: Funciones

1. Determina si son o no son funciones las siguientes gráficas.
Actividad:
Una función es una relación entre dos variables numéricas, habitualmente las denominamos x\; (variable independiente) e y\; (variable dependiente); Se le llama variable dependiente porque su valor depende del valor de la otra que llamamos independiente.

Pero además, para que una relación sea función, a cada valor de la variable independiente le corresponde uno y sólo un valor de la variable dependiente, no le pueden corresponder dos o más valores.

a) Observa en la escena las gráficas y di cuál de ellas es función y por qué no lo es la otra.

Observa al mover el punto P cuántos puntos de corte tiene la recta azul con cada gráfica; si es más de uno no es una función.

Click aquí si no se ve bien la escena

Dominio e imagen de una función

  • El conjunto de valores de la variable independiente, x\;, para los que hay un valor de la variable dependiente, y\;, se llama dominio de definición de la función. Se denota Dom_f\;.
  • El conjunto de valores que toma la variable independiente, y\;, se llama imagen, recorrido o rango de la función. Se denota Im_f\;.
  • Si un punto (x,y) pertenece a la gráfica de la función entonces se dice que y es la imagen de x y también que x es la antiimagen de y.

ejercicio
Ejemplo:

"Un grifo vierte agua en un depósito de 200 litros de capacidad, a razón de 2 litros por segundo, hasta que se llena el depósito, momento en el cual se cierra el grifo."

t = "Tiempo que está abierto el grifo".
V = "Volumen de agua que se ha llenado el depósito".
  • Dominio: El tiempo que el grifo puede estar abierto es un número que varía entre 0 segundos y 100 segundos: Dom_f=[0,100]\;
  • Recorrido: El volumen de agua que se ha llenado el depósito es un número que varía ente 0 litros y 200 litros: Im_f=[0,200]\;

video
Dominio e imagen de una función
Tutorial (10'16")     Sinopsis:

Tutorial en el que se explica el cálculo del dominio y la imagen de una función a partir de su gráfica.

Halla el dominio de una función a partir de su gráfica:

Ejercicio 1 (1'11")     Sinopsis:

Estudio del dominio de una función a partir de su gráfica.

Ejercicio 2 (1'23")     Sinopsis:

Estudio del dominio de una función a partir de su gráfica.

Ejercicio 3 (1'26")     Sinopsis:

Estudio del dominio de una función a partir de su gráfica.

Ejercicio 4 (1'33")     Sinopsis:

Estudio del dominio de una función a partir de su gráfica.

Ejercicio 5 (4'38")     Sinopsis:

Estudio del dominio de una función a partir de su gráfica.

Halla la imagen de una función a partir de su gráfica:

Ejercicio 1 (1'24")     Sinopsis:

Estudio del recorrido o imagen de una función a partir de su gráfica.

Ejercicio 2 (1'20")     Sinopsis:

Estudio del recorrido o imagen de una función a partir de su gráfica.

Ejercicio 3 (0'53")     Sinopsis:

Estudio del recorrido o imagen de una función a partir de su gráfica.

Ejercicio 4 (1'34")     Sinopsis:

Estudio del recorrido o imagen de una función a partir de su gráfica.

Halla el dominio de una función a partir de un enunciado:

Ejercicio 1 (2'19")     Sinopsis:

Pati tiene una hermosa planta. La planta empezó a retoñar 2 días antes de que Pati la comprara, y la tuvo por 98 días antes de que muriera. La altura máxima que alcanzó a planta fue de 30 cm. Si denotamos por h(t) la altura de la planta en cm tras transcurrir t días desde el día de la compra, indica qué conjunto numérico es el más adecuado para el dominio de la función: ¿los números enteros o los números reales?. Halla el dominio.

Ejercicio 2 (3'09")     Sinopsis:

Thomas tiene 400 barras de caramelo en su tienda, y cada una cuesta $0.50. Sea p(b) el precio, medido en pesos ($), de la compra de b barras de caramelo. Indica qué conjunto numérico es el más adecuado para el dominio de la función: ¿los números enteros o los números reales?. Halla el dominio.

Ejercicio 3 (4'25")     Sinopsis:

Mason está parado en el 5º escalón de una escalera vertical. La escalera tiene 15 escalones y la diferencia de altura entre escalones consecutivos es de 0.5 m. Él está pensando si sube, baja o se queda quieto. Sea h(n) la altura por encima del nivel del suelo de los pies de Mason (medido en metros) después de moverse n escalones (si Mason bajara n escalones , n es negativa). Indica qué conjunto numérico es el más adecuado para el dominio de la función: ¿los números enteros o los números reales?. Halla el dominio.

Imagen y antiimagen:

Ejercicio 1 (1'30")     Sinopsis:

Cálculo de la imagen y de la antiimagen a partir de la gráfica de una función.

Ejercicio 2 (1'46")     Sinopsis:

Cálculo de la imagen y de la antiimagen a partir de la gráfica de una función.

Ejercicio 3 (2'49")     Sinopsis:

Cálculo de la imagen y de la antiimagen a partir de la gráfica de una función.

Ejercicio 4 (2'28")     Sinopsis:

Cálculo de la imagen y de la antiimagen a partir de la gráfica de una función.

Ejercicio 5 (1'45")     Sinopsis:

Dada la gráfica de la función g(x), halla la antiimagen de -2, es decir, el valor de x para el cual g(x) = -2.

Ejercicio 6 (2'18")     Sinopsis:

Dada la gráfica de la función f(x), halla el valor de x, además de -5, para el cual f(x) = f(-5).

Ejercicio 7 (2'14")     Sinopsis:

Dada la función f(t) = -2t + 5, halla la antiimagen de 13, es decir, el valor de t para el cual f(t) = 13.

video
Dominio e imagen de una función
Actividad 1a     Descripción:

Actividades en las que aprenderás de forma visual los conceptos de dominio y recorrido de una función.

Actividad 2     Descripción:

Observa la escena y mueve el punto P para ver los valores que recorren las variables:

Suponiendo que la gráfica se comporta de forma análoga a lo largo de todo el eje X, ¿Cuál es su dominio y su imagen?

Actividad 3     Descripción:

Observa la escena y mueve el punto P para ver los valores que recorren las variables:

¿Cuál es su dominio y su imagen?

Actividad 4     Descripción:

Observa la escena y mueve el punto P para ver los valores que recorren las variables:

¿Cuál es su dominio y su imagen?

Actividad 5     Descripción:

En esta escena podrás visualizar el dominio y la imagen de una función. Podrás elegir entre un tramo de recta (función lineal) o de parábola (función cuadrática).

Autoevaluación 1     Descripción:

Dominio y rango a partir de gráficas.

Autoevaluación 2     Descripción:

Dominio de una función dada por un enunciado.

Imagen y antiimagen:

Actividad     Descripción:

Actividades con las que aprenderás los conceptos de imagen y antiimagen.

Autoevaluación 1     Descripción:

Halla la antiimagen utilizando la gráfica de la función.

Autoevaluación 2     Descripción:

Halla la antiimagen utilizando la expresión analítica de la función.

wolfram
Dominio e imagen de una función
wolfram

Actividad: Dominio e imagen de una función

a) Obtén el dominio y la imagen de la función y=\sqrt{x}.
b) Obtén el dominio y la imagen de la función y=\frac{1}{x}.

Solución:
Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:
a) Domain and range sqrt(x)
b) Domain and range 1/x

Determinación del dominio de una función

El dominio de una función puede estar determinado o limitado por diferentes razones:

  • Imposibilidad de realizar alguna operación con ciertos valores de x\; (Por ejemplo, si en la expresión analítica aparecen denominadores que se anulan o radicandos que toman valores negativos)
  • Contexto en el que se estudia la función (Por ejemplo, una función que relaciona lado y área de una figura plana, el lado no puede tomar valores negativos)
  • Por voluntad de quien propone la función (A veces nos puede interesar estudiar sólo un trozo de la función).

ejercicio

Ejemplos: Dominio de una función dada por una expresión analítica

Halla el dominio de las funciones:
a) y=x-3 \ , \quad x \in [-1,1]\;\!
b) y=\cfrac{1}{x-1}
c) y=\sqrt{x}
d) A=l^2\; (Área de un cuadrado de lado l\;)
Solución:
a) Su dominio es [-1,1]\;\!, por voluntad del que ha definido la función, ya que, en principio, cualquier valor de x\; da un valor de y\; válido.
b) Su dominio es \mathbb{R}- \left \{ 1 \right \}, porque el denominador no puede tomar el valor cero, ya que imposibilitaría hacer la división.
c) Su dominio es \mathbb{R^+}, porque el radicando no puede ser negativo para poder hallar la raíz.
d) Su dominio es (0, + \infty), porque el lado de un cuadrado sólo puede tomar valores positivos

video
Dominio de una función dada por una expresión analítica
Tutorial 1a (8´10")     Sinopsis:

Intervalos. Notación.

Tutorial 1b (9´45")     Sinopsis:

Dominio de una función.

Tutorial 1c (6´01")     Sinopsis:

Rango o imagen de una función.

Tutorial 2 (13´00")     Sinopsis:

Conceptos de dominio y rango de una función. Ejemplos

Tutorial 3 (43'57")     Sinopsis:

Dominio y rango de una función. Ejemplos.

Ejercicio 1 (0'48")     Sinopsis:

Halla el dominio de f(x)=2x^2+5\;.

Ejercicio 2 (1'34")     Sinopsis:

Halla el dominio de n(x)=\cfrac{x^2}{x+2}-5\;.

Ejercicio 3 (1'11")     Sinopsis:

Halla el dominio de h(x)=\cfrac{3x}{x-5}\;.

Ejercicio 4 (1'14")     Sinopsis:

Halla el dominio de m(x)=\sqrt{2x-6}\;.

Ejercicio 5 (1'02")     Sinopsis:

Halla el dominio de g(x)=\sqrt{x+4}\;.

Ejercicio 6 (1'52")     Sinopsis:

Halla el dominio de f(x)=\sqrt{2x-8}\;.

Dominio de una función dada por una expresión analítica     Descripción:

Dominio de una función dada por su expresión analítica.

Videos sobre funciones

ejercicio

Video: Correspondencia entre conjuntos (15'36")

Sinopsis:
Video tutorial de matematicasbachiller.com
Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Funciones:_Definici%C3%B3n_%281%C2%BABach%29"
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