Funciones: Definición (1ºBach)

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Revisión de 20:55 1 feb 2009

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Tabla de contenidos

1 Función real de variable real
- 1.1 Gráfica de una función
- 1.2 Operaciones con funciones
2 Simetrías de una función
3 Ejercicios propuestos

Función real de variable real

Una función real de variable real, $f\;$ , es una correspondencia entre números reales que asocia a cada valor de la variable independiente $x\;$ un único valor de la variable dependiente $y\;$ .

$\begin{matrix} f \colon \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R} \\ \quad \ x& \rightarrow & \ y \end{matrix}$

En tal caso decimos que $y\;$ es función de $x\;$ y lo representamos por $y=f(x)\;$ .

Distintas notaciones de función (15'16") Sinopsis:

Explicación de la notación $y=f(x)\;$ . Ejemplos.

Funciones reales de variable real (16'6") Sinopsis:

Definición de función, variable independiente y variable dependiente. Ejemplos

Funciones algebraicas y trascendentes (3'46") Sinopsis:

Definición de función algebraica y de función trascendente. Ejemplos.

Gráfica de una función

Gráfica de una función (15'16") Sinopsis:

Necesidad de la representación gráfica de una función. Ejemplos.

Actividades Interactivas: Funciones

1. Determina si son o no son funciones las siguientes gráficas.

Actividad:

Una función es una relación entre dos variables numéricas, habitualmente las denominamos $x\;$ (variable independiente) e $y\;$ (variable dependiente); Se le llama variable dependiente porque su valor depende del valor de la otra que llamamos independiente.

Pero además, para que una relación sea función, a cada valor de la variable independiente le corresponde uno y sólo un valor de la variable dependiente, no le pueden corresponder dos o más valores.

a) Observa en la escena las gráficas y di cuál de ellas es función y por qué no lo es la otra.

Observa al mover el punto P cuántos puntos de corte tiene la recta azul con cada gráfica; si es más de uno no es una función.

Click aquí si no se ve bien la escena

Operaciones con funciones

Operaciones con funciones (4'03") Sinopsis:

Definición de las distintas operaciones que se pueden realizar con funciones. Ejemplos.

Al conjunto de los valores que puede tomar la variable independiente $x\;$ , se le llama dominio de definición de la función. Lo representaremos por $D_f\;$ ó $Dom_f\;$
La imagen, rango o recorrido de una función es el conjunto de valores que puede tomar la variable dependiente $y\;$ . Lo representaremos por $Im_f\;$ o $R_f\;$ .

Dominio e imagen Descripción:

En esta escena podrás visualizar el dominio y la imagen de una función. Podrás elegir entre un tramo de recta (función lineal) o de parábola (función cuadrática).

Razones para restringir el dominio de una función:

Imposibilidad de realizar alguna operación con ciertos valores de $x\;$ que incumplan las quie hemos llamdo "reglas sagradas" del Cálculo. (Por ejemplo: denominadores que se anulan, radicandos que toman valores negativos, logaritmos de valores no positivos).
Contexto en el que se estudia la función (Por ejemplo, una función que relaciona lado y área de una figura plana, no puede tomar valores negativos).
Por voluntad de quien propone la función.

Ejemplo: Dominio de definición de una función

Halla el dominio de las funciones:

a) $y=x-3 \ , \quad x \in [-1,1]\;\!$

b) $y=\cfrac{1}{x-1}$

c) $y=\sqrt{x}$

d) $y=ln\, (x^2-4)\;$

e) $A=l^2\;$ (Área de un cuadrado de lado $l\;$ )

Solución:

a) Su dominio es $[-1,1]\;\!$ , por voluntad del que ha definido la función, ya que, en principio, cualquier valor de $x\;$ da un valor de $y\;$ válido.

b) Su dominio es $\mathbb{R}- \left \{ 1 \right \}$ , porque el denominador no puede tomar el valor cero, ya que imposibilitaría hacer la división.

c) Su dominio es $\mathbb{R^+}$ , porque el radicando no puede ser negativo para poder hallar la raíz.

d) Su dominio es $(-2,2)\;$ , porque el logaritmo de un número sólo existe si éste es positivo. Al resolver la inecuación $x^2-4>0\;$ resulta que $x \in (-2,2)$ .

d) Su dominio es $(0, + \infty)$ , porque el lado de un cuadrado sólo puede tomar valores positivos

Dominio de una función

Tutorial (8'51") Sinopsis:

El "dominio de definición" de la función "f" se denota Dom_f, y es el conjunto que forman los números reales "x" que tienen imagen segun "f"; o sea, los "x" tales que al calcular "f(x)" no se viola ninguna Regla Sagrada. A la hora de representar la gráfica de "f" lo primero SIEMPRE es determinar Dom_f, pues así sabremos en qué puntos del eje de abcisas hay curva y en qué puntos no la hay.

1. Ejemplos (8'45") Sinopsis:

5 ejemplos.

2. Ejemplos (8'07") Sinopsis:

Varios ejemplos.

3. Ejemplos (9'14") Sinopsis:

15 ejemplos.

4. Ejemplos (11'08") Sinopsis:

16 ejemplos.

5. Ejemplos (9'24") Sinopsis:

10 ejemplos.

6. Ejemplos (11'24") Sinopsis:

11 ejemplos.

7. Ejemplos (13'01") Sinopsis:

7 ejemplos.

8. Ejemplos (10'41") Sinopsis:

8 ejemplos.

9. Ejemplos (8'07") Sinopsis:

4 ejemplos.

10. Ejemplos (14'26") Sinopsis:

6 ejemplos.

11. Ejemplos (9'33") Sinopsis:

7 ejemplos.

12. Ejemplos (10'03") Sinopsis:

7 ejemplos.

Ejercicio 1 (0'48") Sinopsis:

Halla el dominio de $f(x)=2x^2+5\;$ .

Ejercicio 2 (1'34") Sinopsis:

Halla el dominio de $n(x)=\cfrac{x^2}{x+2}-5\;$ .

Ejercicio 3 (1'11") Sinopsis:

Halla el dominio de $h(x)=\cfrac{3x}{x-5}\;$ .

Ejercicio 4 (1'14") Sinopsis:

Halla el dominio de $m(x)=\sqrt{2x-6}\;$ .

Ejercicio 5 (1'02") Sinopsis:

Halla el dominio de $g(x)=\sqrt{x+4}\;$ .

Ejercicio 6 (1'52") Sinopsis:

Halla el dominio de $f(x)=\sqrt{2x-8}\;$ .

Ejercicio 7 (7'24") Sinopsis:

Halla el dominio de:

a) $g(x)=\cfrac{1}{\sqrt{6-\left| x \right|}}\;$ .

b) $h(x) = \begin{cases} \cfrac{x+10}{(x+10)(x-9)(x-5)} & \mbox{si }x \ne 5 \\ ~ \\ \qquad \qquad \pi & \mbox{si }x=5 \end{cases}$

Dominio e imagen de una función

Tutorial 1 (13´00") Sinopsis:

Conceptos de dominio y rango de una función. Ejemplos

Tutorial 2 (10'16") Sinopsis:

Tutorial en el que se explica el cálculo del dominio y la imagen de una función dada su gráfica.

Tutorial 3 (59'44") Sinopsis:

Dominio y rango de una función. Ejemplos.

Tutorial 4 (11'00") Sinopsis:

Dominio e imagen (o rango) de una función. Ejemplos.

Ejercicio (5'52") Sinopsis:

Expresa el área de un círculo en función de la longitud de su circunferencia e indica su dominio y recorrido.

Funciones polinómicas (34'30") Sinopsis:

Tutorial en el que se explica el cálculo del dominio e imagen (recorrido) de funciones dadas por su fórmula, en este caso de funciones polinómicas.

Funciones racionales (34'56") Sinopsis:

Tutorial en el que se explica el cálculo del dominio e imagen (recorrido) de funciones dadas por su fórmula, en este caso de funciones con quebrados algebraicos.

Funciones radicales (35'54") Sinopsis:

Tutorial en el que se explica el cálculo del dominio e imagen (recorrido) de funciones dadas por su fórmula, en este caso de funciones con radicales.

Otras funciones (28'14") Sinopsis:

Tutorial en el que se explica el cálculo del dominio e imagen (recorrido) de funciones dadas por su fórmula y en este caso interviene el valor absoluto de funciones y cuando aparecen mezcladas funciones polinómicas, con quebrados y radicales.

Dominio e imagen de una función

Actividad: Dominio e imagen de una función

a) Obtén el dominio y la imagen de la función $y=\sqrt{x}$ .

b) Obtén el dominio y la imagen de la función $y=\frac{1}{x}$ .

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) Domain and range sqrt(x)

b) Domain and range 1/x

Simetrías de una función

Una función es par si cumple que: $f(x)=f(-x) \ , \forall \, x \in Dom_f$ . En tal caso la gráfica es simétrica respecto del eje Y.
Una función es impar si cumple que: $f(x)=-f(-x) \ , \forall \, x \in Dom_f$ . En tal caso la gráfica es simétrica respecto del origen.

Simetrías de una función

Tutorial 1 (14'06") Sinopsis:

La función "f" se dice "par" si f(-x) = f(x), y se dice "impar" si f(-x) = -f(x).

Si "f" es par, su gráfica es simétrica respecto al eje de ordenadas.
Si "f" es impar, su gráfica es simétrica respecto al origen de coordenadas.
Obvio: si Dom f. no es simétrico respecto al punto "0", la función "f" no es par ni impar.

Tutorial 2 (34'07") Sinopsis:

Definición de función par e impar. Ejemplos.