La distribución normal

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Revisión de 17:16 2 jul 2007

Tabla de contenidos

1 Definición
2 Tabla N(0,1)
- 2.1 Manejo de la tabla
3 Tipificación

Definición

Entre las distribuciones continuas la más importante es la llamada distribución normal.

Fue introducida por Carl Friedrich Gauss a principios del siglo XIX en su estudio de los errores de medida. Desde entonces se ha utilizado como modelo en multitud de variables (peso, altura, calificaciones...), en cuya distribución los valores más usuales se agrupan en torno a uno central y los valores extremos son escasos.

Una variable aleatoria continua sigue una distribución normal si su función de densidad es:

$f(x)= \frac{1} { \sigma \sqrt{2 \pi}}e^{- \frac{(x- \mu )^2} {2 \sigma^2}}$

donde $\mu \quad y \quad \sigma$ coinciden respectivamente con la media y la desviación típica de la variable aleatoria. Estos parámetros son los que determinan esta distribución que designaremos por $N (μ,σ)$

Tabla N(0,1)

Manejo de la tabla

Actividades Interactivas: Cálculo de probabilidades N(0,1)

Actividad 1.Tipo I: $P(Z \le z)$

Actividad:

Mirando en la tabla N(0,1) y comprobando en la escena que estas probabilidades se obtienen directamente de la tabla, siendo la casilla donde se cruza la fila de las unidades y décimas de z, con la columna de las centésimas de z.

a) Identifica sobre el gráfico (puedes usar los colores): ¿dónde se representan los valores de la variable de los que estamos calculando la probabilidad? ¿cómo se representa esa probabilidad?

b) Da distintos valores, z, a la variable y busca su probabilidad acumulada en la tabla de la normal que aparece anteriromente. Puedes comprobar la corrección de lo que has hecho comparando tu resultado con el valor que aparece en el gráfico, aunque fíjate que la tabla da los resultados con una precisión mayor que el gráfico (que aproxima sólo hasta las milésimas).

c) Calcula, en particular, la probabilidad acumulada de 0.5, 1, 1.64, 1.96, 2, 2.58, ...

d) Recuerda que la curva normal es la función de densidad de una variable normal; por tanto, ¿cuál es el área total bajo la curva?

Actividad 2.Tipo II: $P(Z \le -z)$

Actividad:

Mirando en la tabla N(0,1) y comprobando en la escena que se cumple

$P(Z \le -z)=1-P(Z \le z)$

Actividad 3.Tipo III: $P(z_1 \le Z \le z_2)$

Actividad:

Mirando en la tabla N(0,1) y comprobando en la escena que se cumple

$P(z_1 \le Z \le z_2)=P(Z \le z_2) - P(Z \le z_1)$

Tipificación

Como ya debes saber, para calcular probabilidades con variables que siguen la distribución normal se usan tablas. Pero, puesto que sería imposible tener una tabla para cada posible distribución normal, como habrás visto en el apartado anterior, solamente tenemos la tabla de la distribución normal estándar. Necesitamos, ser capaces de transformar las variables $X \rightarrow N( \mu , \sigma )$ que encontremos, en variables $Z \rightarrow N( 0 , 1)$ . Este proceso se llama tipificación de la variable.

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+a) Identifica sobre el gráfico (puedes usar los colores): ¿dónde se representan los valores de la variable de los que estamos calculando la probabilidad? ¿cómo se representa esa probabilidad?
+b) Da distintos valores, z, a la variable y busca su probabilidad acumulada en la tabla de la normal que aparece anteriromente. Puedes comprobar la corrección de lo que has hecho comparando tu resultado con el valor que aparece en el gráfico, aunque fíjate que la tabla da los resultados con una precisión mayor que el gráfico (que aproxima sólo hasta las milésimas).
+c) Calcula, en particular, la probabilidad acumulada de 0.5, 1, 1.64, 1.96, 2, 2.58, ...
+d) Recuerda que la curva normal es la función de densidad de una variable normal; por tanto, ¿cuál es el área total bajo la curva?
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Tabla N(0,1)

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