Las funciones y sus gráficas (3ºESO Académicas)

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 +==Introducción==
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 +|titulo1=Para empezar
 +|descripcion=Actividad de introducción al tema de funciones.
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==Concepto de función== ==Concepto de función==
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==Formas de expresar una función== ==Formas de expresar una función==
-Hay varias formas de expresar una función:+{{Formas de expresar una función}}
-{{Caja_Amarilla|texto=+
-* Mediante un '''enunciado''' que explique la relación que existe entre las variables.+
-* Mediante una '''ecuación''' que relacione las variables.+
-* Mediante una '''tabla''' que contenga los valores de las variables, emparejados.+
-* Mediante una '''gráfica''', representada en unos '''ejes cartesianos''' con una escala adecuada. Sobre el eje horizontal (eje de '''abscisas''') representamos la variable independiente <math>x</math>, y sobre el eje vertical (eje de '''ordenadas''') la variable dependiente <math>y\;</math>. Cada punto de la gráfica es generado por una pareja de valores <math>x\;</math> e <math>y\;</math>, que son sus coordenadas <math>(x,y)\;</math>, su '''abcisa''' y su '''ordenada'''.+
-}}+
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-{{Ejemplo_simple|titulo=Ejemplo:|contenido=+===Funciones dadas mediante enunciados===
-Consideremos, de nuevo, el ejemplo del grifo y el depósito:+{{Funciones dadas mediante enunciados}}
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-'''1. Enunciado:'''+
- +
-:''"Un grifo vierte agua en un depósito de 200 litros de capacidad, a razón de 2 litros por segundo, hasta que se llena el depósito, momento en el cual se cierra el grifo."''+
- +
-'''2. Ecuación:'''+
- +
-:<math>V=f(t)=2t\;</math>+
- +
-:t = "Tiempo que está abierto el grifo" (en segundos).+
-:V = "Volumen de agua que se ha llenado el depósito" (en litros).+
- +
-'''3. Tabla de valores:'''+
- +
-<center><table border="1" width="50%">+
- <tr>+
- <td width="13%"><p align="center"><strong><font size="2">Tiempo (s)</font></strong></p>+
- </td>+
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- </tr>+
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-'''4. Gráfica:'''+
- +
-:Representaremos los valores de la tabla en unos ejes de coordenadas. Cada punto de la gráfica consta de dos coordenadas: la primera es el valor de t y la segunda, el valor de V.+
- +
-[[Imagen:funcion_grifo_depot.png|300px|center]]+
-}}+
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-{{AI: Formas de expresar una función}}+===Funciones dadas mediante expresiones analíticas===
- +{{Funciones dadas mediante expresiones analíticas}}
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-En la actividad anterior hemos podido ver que:+===Funciones dadas mediante tablas===
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-{{Caja_Amarilla|texto= La variable independiente puede ser:+===Funciones dadas mediante gráficas===
-*'''Discreta:''' Si entre dos valores de la variable hay solo un número finito de valores que puede tomar. Su gráfica está formada por puntos separados.+{{Representación gráfica de una función}}
-*'''Continua:''' Si entre dos valores de la variable hay infinitos valores que puede tomar. Su gráfica está formada por trazos.+
-}}+
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-{{wolfram desplegable|titulo=Tabla de valores de una función|contenido=+==Reconocer relaciones funcionales y no funcionales==
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-En las actividades anteriores hemos trabajado con la función y=0.30x:+
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-:a) Obtén la tabla para x=0 hasta x=7.+
-:b) Dibuja la gráfica.+
- +
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-|sol=+==Dominio e imagen de una función==
-Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:+{{Definición: Dominio e imagen}}
- +
-:a) {{consulta|texto=Table[0.3x,{x,0,7,1}]}}+
-:b) {{consulta|texto=Plot Table[0.3x,{x,0,7,1}]}}+
- +
-{{widget generico}}+
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-}}+
-}}+
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-{{AI: Interpretación de gráficas}}+{{AI: Dominio e imagen}}
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-{{Video: El lenguaje de las gráficas}}+==Variables discretas y continuas==
 +{{Definición: variables discretas y continuas}}
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 +==Puntos de corte con los ejes de una función==
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 +==Signo de una función==
 +{{Signo de una función}}
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==Ejercicios== ==Ejercicios==
{{ejercicios resueltos de graficas}} {{ejercicios resueltos de graficas}}
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 +{{Ejercicio: Dominio e imagen}}
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===Ejercicios propuestos=== ===Ejercicios propuestos===

Revisión actual

Tabla de contenidos

Introducción

(Pág. 146)

Concepto de función

  • Una función es una relación entre dos variables (por ejemplo, x\; e y\;) que a cada valor de x\; le asigna un único valor de y\;.
  • La variable x\; se llama variable independiente y la variable y\; se llama variable dependiente, porque su valor depende de x\;.
  • Se dice que y\; es función de x\; y lo representamos por y = f(x)\;\!. También se dice que y\; es la imagen de x\; mediante la función f\;.

En los siguientes videos se explican los conceptos básicos sobre funciones que trataremos a lo largo de este tema.

Formas de expresar una función

Una función se puede expresar de varias formas:

  • Mediante un enunciado que explique la relación que existe entre las variables.
  • Mediante una expresión analítica, esto es, una ecuación que relacione las variables.
  • Mediante una tabla que contenga los valores de las variables, emparejados.
  • Mediante una gráfica, representada en unos ejes cartesianos con una escala adecuada. Sobre el eje horizontal (eje de abscisas) representamos la variable independiente x\;, y sobre el eje vertical (eje de ordenadas) la variable dependiente y\;. Cada punto de la gráfica es generado por una pareja de valores x\; e y\;, que son sus coordenadas (x,y)\;, su abcisa y su ordenada.

Funciones dadas mediante enunciados

Funciones dadas mediante expresiones analíticas

Funciones dadas mediante tablas

Funciones dadas mediante gráficas

La representación gráfica de una función nos permite visualizar el comportamiento de las dos variables.

ejercicio

Procedimiento


  • Usaremos un sistema de ejes cartesianos con una escala adecuada.
    • Sobre el eje horizontal (eje de abscisas) representamos la variable independiente x\;.
    • Sobre el eje vertical (eje de ordenadas) la variable dependiente y\;.
  • Cada punto de la gráfica es generado por una pareja de valores x\; e y\;, que son sus coordenadas (x,y)\;, su abscisa y su ordenada.

Reconocer relaciones funcionales y no funcionales

Dominio e imagen de una función

  • El conjunto de valores de la variable independiente, x\;, para los que hay un valor de la variable dependiente, y\;, se llama dominio de definición de la función. Se denota Dom_f\;.
  • El conjunto de valores que toma la variable independiente, y\;, se llama imagen, recorrido o rango de la función. Se denota Im_f\;.
  • Si un punto (x,y) pertenece a la gráfica de la función entonces se dice que y es la imagen de x y también que x es la antiimagen de y.

Variables discretas y continuas

En una función, la variable independiente puede ser:

  • Continua: Si toma valores en intervalos. En consecuencia, siempre toma infinitos valores. La gráfica de la función estará formada por trazos.
  • Discreta: Si los valores que toma la variable están separados (no toma valores en ningún intervalo). Puede tomar un número finito o infinito de valores. La gráfica de la función estará formada por puntos separados.

Puntos de corte con los ejes de una función

Los puntos de corte con los ejes de una función son los puntos de la gráfica que pertenecen a los ejes de coordenadas:

  • Puntos de corte con el eje de abscisas (eje X): Son aquellos puntos de la función en los que la variable dependiente, y\;, toma el valor cero.
  • Punto de corte con el eje de ordenadas (eje Y): Es aquel punto de la función en el que la variable independiente, x\;, toma el valor cero.

Signo de una función

  • Una función decimos que es positiva cuando la variable dependiente toma valores positivos y decimos que es negativa cuando toma valores negativos.
  • El estudio del signo de una función consistirá en determinar para qué valores de la variable independiente la función es positiva o negativa.

Ejercicios

ejercicio

Ejercicios resueltos: Interpretación de gráficas


La siguiente gráfica describe el vuelo de un águila desde que sale del nido hasta que vuelve a él con una presa que caza durante el trayecto.

a) ¿Cuáles son las variables relacionadas?
b) ¿Qué representa cada cuadrito en cada eje?
c) ¿A qué altura se encuentra el nido?
d) ¿Cuánto dura el vuelo y cuando caza a la presa?
e) ¿Qúe altura máxima alcanza el águila en su vuelo?. ¿Y la mínima?
f) ¿Qué ocurre entre el segundo 50 y 80?

ejercicio

Ejercicio resuelto: Dominio e imagen


1. Indica cuál de las gráficas siguientes representan una función. En caso de ser función, indica su dominio y su imagen.
a)Imagen:funcion1a.pngb)Imagen:funcion1b.pngc)Imagen:funcion1c.png

Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Las funciones y sus gráficas


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Herramientas personales
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