Las funciones y sus gráficas (3ºESO Académicas)

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Tabla de contenidos

(Pág. 146)

Concepto de función

  • Una función es una relación entre dos variables (por ejemplo, x\; e y\;) que a cada valor de x\; le asigna un único valor de y\;.
  • La variable x\; se llama variable independiente y la variable y\; se llama variable dependiente, porque su valor depende de x\;.
  • Se dice que y\; es función de x\; y lo representamos por y = f(x)\;\!. También se dice que y\; es la imagen de x\; mediante la función f\;.

ejercicio
Ejemplo:

"Un grifo vierte agua en un depósito de 200 litros de capacidad, a razón de 2 litros por segundo, hasta que se llena el depósito, momento en el cual se cierra el grifo."

La relación entre el tiempo (t) que el grifo está abierto y el volumen (V) de agua que hay en el depósito es una función.

El volumen es función del tiempo: V=f(t)\;

  • La variable independiente (t) es el "tiempo que está abierto el grifo".
  • La variable dependiente (V) es el "volumen de agua que se ha llenado el depósito".

En los siguientes videos se explican los conceptos básicos sobre funciones que trataremos a lo largo de este tema.

video
Concepto de función
Tutorial 1 (27'16")     Sinopsis:

Tutorial en el que se explican los conceptos básicos sobre funciones: variable independiente, dependiente, imagen, preimagen, dominio, recorrido... necesarios para poder comprender la terminología que se emplea en el análisis matemático.

Tutorial 2 (46'32")     Sinopsis:
  • Definición de función.
  • Dominio e imagen (o rango).
  • Distintas formas de representar una función.
  • Ejercicios resueltos.

Formas de expresar una función

Una función se puede expresar de varias formas:

  • Mediante un enunciado que explique la relación que existe entre las variables.
  • Mediante una expresión analítica, esto es, una ecuación que relacione las variables.
  • Mediante una tabla que contenga los valores de las variables, emparejados.
  • Mediante una gráfica, representada en unos ejes cartesianos con una escala adecuada. Sobre el eje horizontal (eje de abscisas) representamos la variable independiente x\;, y sobre el eje vertical (eje de ordenadas) la variable dependiente y\;. Cada punto de la gráfica es generado por una pareja de valores x\; e y\;, que son sus coordenadas (x,y)\;, su abcisa y su ordenada.

ejercicio
Ejemplo:

Consideremos el ejemplo anterior del grifo y el depósito:

1. Enunciado:

"Un grifo vierte agua en un depósito de 200 litros de capacidad, a razón de 2 litros por segundo, hasta que se llena el depósito, momento en el cual se cierra el grifo."

2. Expresión analítica:

V=f(t)=2t\;
t = "Tiempo que está abierto el grifo" (en segundos).
V = "Volumen de agua que se ha llenado el depósito" (en litros).

3. Tabla de valores:

Tiempo (s)

 0 1 5 20 40 60 100

Volumen (l)

 0 2 10 40 80 120 200


4. Gráfica:

Representaremos los valores de la tabla en unos ejes de coordenadas. Cada punto de la gráfica consta de dos coordenadas: la primera es el valor de t y la segunda, el valor de V.

wolfram
Formas de expresar una función
wolfram

Actividad: Tabla de valores y gráfica de una función dada por una expresión analítica

En el ejemplo anterior hemos trabajado con la función V=2t:

a) Obtén la tabla para t=0 hasta t=100 de 10 en 10.
b) Dibuja la gráfica.

Solución:
Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:
a) Table[2t,{t,0,100,10}]
b) Plot Table[2t,{t,0,100,10}]

El lenguaje de las gráficas (13´)     Sinopsis:

Las gráficas de contenido matemático se han convertido en el lenguaje más universal de finales del siglo XX. En cualquier medio de comunicación cada vez que se quiere dar información cuantitativa de un proceso aparece una gráfica matemática. Sus ventajas son incuestionables, son capaces de ofrecer gran cantidad de información de un simple vistazo. Constituyen un instrumento imprescindible en campos tan dispares como la medicina, la economía, la física, la biología y hasta en el deporte. En este programa investigaremos su origen relativamente reciente, tienen poco más de 200 años de existencia, y sus distintas aplicaciones y daremos algunos consejos para interpretar de forma crítica la información presentada en forma de gráficas.

Dominio e imagen de una función

  • El conjunto de valores de la variable independiente, x\;, para los que hay un valor de la variable dependiente, y\;, se llama dominio de definición de la función. Se denota Dom_f\;.
  • El conjunto de valores que toma la variable independiente, y\;, se llama imagen, recorrido o rango de la función. Se denota Im_f\;.
  • Si un punto (x,y) pertenece a la gráfica de la función entonces se dice que y es la imagen de x y también que x es la antiimagen de y.

ejercicio
Ejemplo:

"Un grifo vierte agua en un depósito de 200 litros de capacidad, a razón de 2 litros por segundo, hasta que se llena el depósito, momento en el cual se cierra el grifo."

t = "Tiempo que está abierto el grifo".
V = "Volumen de agua que se ha llenado el depósito".
  • Dominio: El tiempo que el grifo puede estar abierto es un número que varía entre 0 segundos y 100 segundos: Dom_f=[0,100]\;
  • Recorrido: El volumen de agua que se ha llenado el depósito es un número que varía ente 0 litros y 200 litros: Im_f=[0,200]\;

video
Dominio e imagen de una función
Tutorial (10'16")     Sinopsis:

Tutorial en el que se explica el cálculo del dominio y la imagen de una función a partir de su gráfica.

Halla el dominio de una función a partir de su gráfica:

Ejercicio 1 (1'11")     Sinopsis:

Estudio del dominio de una función a partir de su gráfica.

Ejercicio 2 (1'23")     Sinopsis:

Estudio del dominio de una función a partir de su gráfica.

Ejercicio 3 (1'26")     Sinopsis:

Estudio del dominio de una función a partir de su gráfica.

Ejercicio 4 (1'33")     Sinopsis:

Estudio del dominio de una función a partir de su gráfica.

Ejercicio 5 (4'38")     Sinopsis:

Estudio del dominio de una función a partir de su gráfica.

Halla la imagen de una función a partir de su gráfica:

Ejercicio 1 (1'24")     Sinopsis:

Estudio del recorrido o imagen de una función a partir de su gráfica.

Ejercicio 2 (1'20")     Sinopsis:

Estudio del recorrido o imagen de una función a partir de su gráfica.

Ejercicio 3 (0'53")     Sinopsis:

Estudio del recorrido o imagen de una función a partir de su gráfica.

Ejercicio 4 (1'34")     Sinopsis:

Estudio del recorrido o imagen de una función a partir de su gráfica.

Halla el dominio de una función a partir de un enunciado:

Ejercicio 1 (2'19")     Sinopsis:

Pati tiene una hermosa planta. La planta empezó a retoñar 2 días antes de que Pati la comprara, y la tuvo por 98 días antes de que muriera. La altura máxima que alcanzó a planta fue de 30 cm. Si denotamos por h(t) la altura de la planta en cm tras transcurrir t días desde el día de la compra, indica qué conjunto numérico es el más adecuado para el dominio de la función: ¿los números enteros o los números reales?. Halla el dominio.

Ejercicio 2 (3'09")     Sinopsis:

Thomas tiene 400 barras de caramelo en su tienda, y cada una cuesta $0.50. Sea p(b) el precio, medido en pesos ($), de la compra de b barras de caramelo. Indica qué conjunto numérico es el más adecuado para el dominio de la función: ¿los números enteros o los números reales?. Halla el dominio.

Ejercicio 3 (4'25")     Sinopsis:

Mason está parado en el 5º escalón de una escalera vertical. La escalera tiene 15 escalones y la diferencia de altura entre escalones consecutivos es de 0.5 m. Él está pensando si sube, baja o se queda quieto. Sea h(n) la altura por encima del nivel del suelo de los pies de Mason (medido en metros) después de moverse n escalones (si Mason bajara n escalones , n es negativa). Indica qué conjunto numérico es el más adecuado para el dominio de la función: ¿los números enteros o los números reales?. Halla el dominio.

Imagen y antiimagen:

Ejercicio 1 (1'30")     Sinopsis:

Cálculo de la imagen y de la antiimagen a partir de la gráfica de una función.

Ejercicio 2 (1'46")     Sinopsis:

Cálculo de la imagen y de la antiimagen a partir de la gráfica de una función.

Ejercicio 3 (2'49")     Sinopsis:

Cálculo de la imagen y de la antiimagen a partir de la gráfica de una función.

Ejercicio 4 (2'28")     Sinopsis:

Cálculo de la imagen y de la antiimagen a partir de la gráfica de una función.

Ejercicio 5 (1'45")     Sinopsis:

Dada la gráfica de la función g(x), halla la antiimagen de -2, es decir, el valor de x para el cual g(x) = -2.

Ejercicio 6 (2'18")     Sinopsis:

Dada la gráfica de la función f(x), halla el valor de x, además de -5, para el cual f(x) = f(-5).

Ejercicio 7 (2'14")     Sinopsis:

Dada la función f(t) = -2t + 5, halla la antiimagen de 13, es decir, el valor de t para el cual f(t) = 13.

video
Dominio e imagen de una función
Actividad 1a     Descripción:

Actividades en las que aprenderás de forma visual los conceptos de dominio y recorrido de una función.

Actividad 2     Descripción:

Observa la escena y mueve el punto P para ver los valores que recorren las variables:

Suponiendo que la gráfica se comporta de forma análoga a lo largo de todo el eje X, ¿Cuál es su dominio y su imagen?

Actividad 3     Descripción:

Observa la escena y mueve el punto P para ver los valores que recorren las variables:

¿Cuál es su dominio y su imagen?

Actividad 4     Descripción:

Observa la escena y mueve el punto P para ver los valores que recorren las variables:

¿Cuál es su dominio y su imagen?

Actividad 5     Descripción:

En esta escena podrás visualizar el dominio y la imagen de una función. Podrás elegir entre un tramo de recta (función lineal) o de parábola (función cuadrática).

Autoevaluación 1     Descripción:

Dominio y rango a partir de gráficas.

Autoevaluación 2     Descripción:

Dominio de una función dada por un enunciado.

Imagen y antiimagen:

Actividad     Descripción:

Actividades con las que aprenderás los conceptos de imagen y antiimagen.

Autoevaluación 1     Descripción:

Halla la antiimagen utilizando la gráfica de la función.

Autoevaluación 2     Descripción:

Halla la antiimagen utilizando la expresión analítica de la función.

wolfram
Dominio e imagen de una función
wolfram

Actividad: Dominio e imagen de una función

a) Obtén el dominio y la imagen de la función y=\sqrt{x}.
b) Obtén el dominio y la imagen de la función y=\frac{1}{x}.

Solución:
Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:
a) Domain and range sqrt(x)
b) Domain and range 1/x

Determinación del dominio de una función

El dominio de una función puede estar determinado o limitado por diferentes razones:

  • Imposibilidad de realizar alguna operación con ciertos valores de x\; (Por ejemplo, si en la expresión analítica aparecen denominadores que se anulan o radicandos que toman valores negativos)
  • Contexto en el que se estudia la función (Por ejemplo, una función que relaciona lado y área de una figura plana, el lado no puede tomar valores negativos)
  • Por voluntad de quien propone la función (A veces nos puede interesar estudiar sólo un trozo de la función).

ejercicio

Ejemplos: Dominio de una función dada por una expresión analítica

Halla el dominio de las funciones:
a) y=x-3 \ , \quad x \in [-1,1]\;\!
b) y=\cfrac{1}{x-1}
c) y=\sqrt{x}
d) A=l^2\; (Área de un cuadrado de lado l\;)
Solución:
a) Su dominio es [-1,1]\;\!, por voluntad del que ha definido la función, ya que, en principio, cualquier valor de x\; da un valor de y\; válido.
b) Su dominio es \mathbb{R}- \left \{ 1 \right \}, porque el denominador no puede tomar el valor cero, ya que imposibilitaría hacer la división.
c) Su dominio es \mathbb{R^+}, porque el radicando no puede ser negativo para poder hallar la raíz.
d) Su dominio es (0, + \infty), porque el lado de un cuadrado sólo puede tomar valores positivos

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Dominio de una función dada por una expresión analítica
Tutorial 1a (8´10")     Sinopsis:

Intervalos. Notación.

Tutorial 1b (9´45")     Sinopsis:

Dominio de una función.

Tutorial 1c (6´01")     Sinopsis:

Rango o imagen de una función.

Tutorial 2 (13´00")     Sinopsis:

Conceptos de dominio y rango de una función. Ejemplos

Tutorial 3 (43'57")     Sinopsis:

Dominio y rango de una función. Ejemplos.

Ejercicio 1 (0'48")     Sinopsis:

Halla el dominio de f(x)=2x^2+5\;.

Ejercicio 2 (1'34")     Sinopsis:

Halla el dominio de n(x)=\cfrac{x^2}{x+2}-5\;.

Ejercicio 3 (1'11")     Sinopsis:

Halla el dominio de h(x)=\cfrac{3x}{x-5}\;.

Ejercicio 4 (1'14")     Sinopsis:

Halla el dominio de m(x)=\sqrt{2x-6}\;.

Ejercicio 5 (1'02")     Sinopsis:

Halla el dominio de g(x)=\sqrt{x+4}\;.

Ejercicio 6 (1'52")     Sinopsis:

Halla el dominio de f(x)=\sqrt{2x-8}\;.

Dominio de una función dada por una expresión analítica     Descripción:

Dominio de una función dada por su expresión analítica.

Variables discretas y continuas

En una función, la variable independiente puede ser:

  • Continua: Si toma valores en intervalos. En consecuencia, siempre toma infinitos valores. La gráfica de la función estará formada por trazos.
  • Discreta: Si los valores que toma la variable están separados (no toma valores en ningún intervalo). Puede tomar un número finito o infinito de valores. La gráfica de la función estará formada por puntos separados.

ejercicio
Ejemplos:
  • Son variables continuas: El peso de una persona, la velocidad de un móvil, la altura de un triángulo, etc. De forma más general, una variable que tome valores en el conjunto de los números reales, en un intervalo real o en la unión de varios intervalos reales.
  • Son variables discretas: El número de hijos de una familia, el número de trabajadores de una plantilla, el número de alumnos de un curso, etc. De forma más general, una variable que tome valores en el conjunto de los números enteros o en un subconjunto suyo.

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Variables discretas y continuas
Actividad 1: Variable discreta     Descripción:

En la papelería de la esquina compramos bolígrafos a 0.30 €, cada uno. Relaciona el número de bolígrafos comprados y el precio de la compra.

Tabla de valores:

a) Completa la tabla:

bolígrafos

 0 1 2 3 4 5 6 7

precio

                


Gráfica:

Para representar gráficamente una función utilizamos unos ejes cartesianos con una escala adecuada. En el eje horizontal representamos el número de bolígrafos que compramos. En el eje vertical representamos el precio de la compra. Para cada valor que le asignes al número de bolígrafos se marca en su vertical el precio de esos bolígrafos con un punto rojo.

En la parte inferior de la escena asígnale a la variable bolígrafos los valores de la tabla anterior y observa su precio, es decir, la altura donde se coloca el punto rojo.

b) ¿Cuáles son las escalas utilizadas en la gráfica?, es decir: ¿qué mide un cuadradito cualquiera del eje horizontal? y ¿qué mide un cuadradito cualquiera del eje vertical?

c) Fijándote en la gráfica, ¿cuánto cuestan 16 bolígrafos?. ¿Cuántos bolígrafos te dan por 3,60 €?

d) ¿Tiene sentido unir los puntos rojos de la gráfica? ¿Por qué?

e) ¿Cuál es el dominio y el recorrido de esta función?

Actividad 2: Variable continua     Descripción:

Vamos al mercado a comprar patatas. El precio de 1 kg es de 0.30 €. Relaciona el número de kilos de patatas adquiridos y su coste.

El siguiente ejemplo es muy similar al anterior. Queremos comprar patatas a 0,30 € el kilo. Podemos construir una tabla y una gráfica idénticas a las anteriores salvo que en el eje horizontal representamos los kilos de patatas.

Pero hay una importante diferencia entre ambos ejemplos: no podemos comprar fracciones de bolígrafos (1.5 o 2.7 bolígrafos) y en cambio sí podemos comprar fracciones de kilos de patatas (1.5 o 2.7 kilos de patatas).

Tabla de valores:

a) Calcula y anota los precios de las siguientes cantidades de patatas. Asígnale esos valores a la variable kilos de la escena siguiente.

kilos de patatas

 0 1 1,5 2 2,7 5 5,7 7

precio

                

Gráfica:

b) ¿Tiene sentido ahora unir los puntos rojos de la gráfica?

Compuébalo en la escena asignándole a la variable kilos el valor 0 y a continuación, mantén pulsado el botón del ratón sobre la fecha superior de los kilos de patatas.

En el primer caso, la gráfica estaba formada por puntos aislados. En este segundo caso, la gráfica es una línea continua.

c) ¿Cuál es el dominio y el recorrido de esta función?

Ejercicios

ejercicio

Ejercicios resueltos: Interpretación de gráficas

La siguiente gráfica describe el vuelo de un águila desde que sale del nido hasta que vuelve a él con una presa que caza durante el trayecto.

a) ¿Cuáles son las variables relacionadas?
b) ¿Qué representa cada cuadrito en cada eje?
c) ¿A qué altura se encuentra el nido?
d) ¿Cuánto dura el vuelo y cuando caza a la presa?
e) ¿Qúe altura máxima alcanza el águila en su vuelo?. ¿Y la mínima?
f) ¿Qué ocurre entre el segundo 50 y 80?

Solución:

a) La variable dependiente es la altura (en metros) y la variable independiente es el tiempo (en segundos).
b) En el eje horizontal, cada cuadrito representa 10 s. En el vertical 10 m.
c) El nido está situado a una altura de 70 m.
d) El vuelo dura 3'20". Da caza a la presa 1'50" después de salir del nido.
e) La altura máxima es 92 m., aproximadamente. La mínima 0 m.
f) En ese intervalo la función es constante, lo que significa que el águila se mantiene volando a la misma altura.

video
Funciones dadas mediante gráficas
Actividad 1     Descripción:

Función que relaciona el tiempo que lleva abierto un grifo y la altura que alcanza el nivel del agua en un depósito cilíndrico.

La siguiente escena representa una botella (en color rojo) que cuando abras el grifo se comenzará a llenar de agua. El proceso de llenado de la botella se puede describir matemáticamente con lo que llamamos función, así para un tiempo concreto la función nos dice la altura de la botella en ese momento. El dibujo que queda tras el punto A se llama gráfica de la función.

Haz clic en el botón y dejándolo pulsado observa cómo se llena la botella .

Observa que en el eje horizontal representamos el tiempo que dejamos el grifo abierto y en el vertical la altura que el agua alcanza en la botella. En el eje horizontal hemos empezado a marcar 1 segundo, 2 segundos, etc.

Observa en este ejemplo, que la altura es cero cuando el tiempo transcurrido es cero y que la gráfica va creciendo.

a) Observa las alturas que se alcanzan cuando han transcurrido 2, 4 y 6 segundos. Anótalas.

Si haces clic sobre un punto con el cursor te aparecerán los valores horizontal (tiempo) y vertical (altura) para ese punto.

b) ¿Qué puedes decir de la relación entre las variables tiempo y altura?
c) ¿Cuánto tiempo necesita la botella para llenarse hasta la mitad?
d) ¿Cuánto tiempo necesita la botella para llenarse un cuarto? ¿Y tres cuartos?
Actividad 2     Descripción:

Función que relaciona el tiempo que lleva abierto un grifo y la altura que alcanza el nivel del agua en un depósito de forma cónica.

En la siguiente escena la forma de la botella ha cambiado.

a) Intenta hacer la gráfica antes de ver como queda en la escena.
b) Observa las alturas que se alcanzan cuando han transcurrido 2, 4 y 6 segundos. Anótalas.
c) ¿Qué puedes decir de la relación entre las alturas y los tiempos?
d) Ahora la altura del agua según pasa el tiempo sube más despacio, ¿por qué?

Ahora prueba a cambiar la forma de la botella moviendo el punto P.

e) Haz una botella con la boca más estrecha que la base y observa las distintas gráficas que se generan. Da una explicación de lo qué ocurre.
f) Las gráficas unas veces son convexas (tipo U) y otras cóncavas (tipo U invertida), ¿de qué depende?
Autoevaluación 1     Descripción:

Evalúa funciones a partir de su gráfica.

Autoevaluación 2     Descripción:

Evalúa expresiones con funciones.

ejercicio

Ejercicio resuelto: Dominio e imagen

1. Indica cuál de las gráficas siguientes representan una función. En caso de ser función, indica su dominio y su imagen.
a)Imagen:funcion1a.pngb)Imagen:funcion1b.pngc)Imagen:funcion1c.png

Solución:
a) Es función. Dom=[-3.5, 4]\;\!. Im=[-4, 3]\;\!.

b) No es función.

c) No es función.

Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Las funciones y sus gráficas

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