Paralelismo y perpendicularidad en el plano (1ºBach)

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{{Caja_Amarilla|texto= {{Caja_Amarilla|texto=
-*Dos rectas son paralelas si tienen la misma dirección y ésto ocurre cuando sus vectores de dirección son iguales o proporcionales.+Dos rectas son paralelas si tienen la misma dirección y ésto ocurre cuando sus vectores de dirección son iguales o proporcionales.
-*Dos rectas son paralelas si sus pendientes coinciden: {{sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>m=m'\,</math>}}.+ 
}} }}
 +{{p}}
 +{{Teorema|titulo=Proposición|enunciado=:Dos rectas son paralelas si y sólo si sus pendientes coinciden: {{sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>m=m'\,</math>}}.
 +|demo=Vimos que la pendiente de una recta coincide con la tangente del ángulo que forma con el eje de abscisas, por tanto, si dos rectas tienen la misma pendiente, las tangentes de los ángulos que forman, serán iguales. Ahora, si las tangentes de dos ángulos son iguales, los ángulos o son iguales o difieren en 180º. En ambos casos las rectas tienen la misma inclinación.
 +
 +Y recíprocamente, si dos rectas son paralelas, los ángulos que forman con el eje de abscisas son iguales y, por tanto, sus tangentes. Luego las pendientes son también iguales.
 +}}
 +{{p}}
==Perpendicularidad== ==Perpendicularidad==
He aquí dos criterios para determinar si dos rectas son perpendiculares: He aquí dos criterios para determinar si dos rectas son perpendiculares:
{{Caja_Amarilla|texto= {{Caja_Amarilla|texto=
-*Dos rectas son perpendiculares si sus vectores de dirección son ortogonales, o lo que es lo mismo, si el producto escalar de sus vectores de dirección es cero. Traduciendo ésto a coordenadas: Dos rectas con vectores de dirección <math>(d_1, d_2)\,</math> y <math>(-d_2,d_1)\,</math> son perpendiculares.+Dos rectas son perpendiculares si sus vectores de dirección son ortogonales, o lo que es lo mismo, si el producto escalar de sus vectores de dirección es cero. Traduciendo ésto a coordenadas: Dos rectas con vectores de dirección <math>(d_1, d_2)\,</math> y <math>(-d_2,d_1)\,</math> son perpendiculares.
 +}}
 +{{p}}
 +{{Teorema|titulo=Proposición|enunciado=:Dos rectas son perpendiculares si y sólo si sus pendientes <math>m\,</math> y {{sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>m'\,</math>}} cumplen que: {{sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>m'=-\cfrac{1}{m}</math>}}.
 + 
 +|demo=
 +Dada una recta <math>Ax+By+C=0\,</math>, sabemos que <math> m=-\cfrac{A}{B}</math> es la pendiente de esa recta y que <math>(-B,A)\,</math> es su vector de dirección.
 + 
 +Sea <math>A'x+B'y+'C'=0\,</math>, otra recta, con {{sube|porcentaje=+20%|contenido=<math> m'=-\cfrac{A'}{B'}</math>}} su pendiente, y <math>(-B',A')\,</math> su vector de dirección.
 + 
 +Supongamos que {{sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>m'=-\cfrac{1}{m}</math>}}. Sustituyendo:
 + 
 +:<math>m'=-\cfrac{1}{m} \; \iff \; -\cfrac{A'}{B'}= -\cfrac{1}{-\cfrac{A}{B}} \; \iff \; -\cfrac{A'}{B'}=\cfrac{B}{A} \; \iff \;</math>
 + 
 +:<math> \; \iff \; BB'=-AA' \; \iff \; BB'+AA'=0 \; \iff \; (-B,A) \cdot (-B',A')= 0 </math>
-*Dos rectas son perpendiculares si sus pendientes <math>m\,</math> y {{sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>m'\,</math>}} cumplen que: {{sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>m'=\cfrac{1}{m}</math>}}.+Ahora, dos vectores son ortogonales si y sólo si su producto escalar vale cero. Por tanto ésto equivale a que los vectores directores de ambas rectas son perpendiculares.
}} }}
{{p}} {{p}}

Revisión de 08:29 23 mar 2009

Paralelismo

He aquí dos criterios para determinar si dos rectas son paralelas:

Dos rectas son paralelas si tienen la misma dirección y ésto ocurre cuando sus vectores de dirección son iguales o proporcionales.

ejercicio

Proposición


Dos rectas son paralelas si y sólo si sus pendientes coinciden: m=m'\,.

Perpendicularidad

He aquí dos criterios para determinar si dos rectas son perpendiculares:

Dos rectas son perpendiculares si sus vectores de dirección son ortogonales, o lo que es lo mismo, si el producto escalar de sus vectores de dirección es cero. Traduciendo ésto a coordenadas: Dos rectas con vectores de dirección (d_1, d_2)\, y (-d_2,d_1)\, son perpendiculares.

ejercicio

Proposición


Dos rectas son perpendiculares si y sólo si sus pendientes m\, y m'\, cumplen que: m'=-\cfrac{1}{m}.

ejercicio

Actividad interactiva: Paralelismo y perpendicularidad


Actividad 1: En la siguiente escena nos dan las ecuacionés paramétricas de tres rectas que son paralelas o perpendiculares entre sí.

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