Plantilla:Raiz de 2 no es racional
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| Vamos ha utilizar un tipo de demostración denominado "[[Método de reducción al absurdo |por reducción al absurdo]]". Supondremos que{{sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>\sqrt{2} \,</math>}} es racional y llegaremos a una conclusión sin sentido, lo que demostrará la falsedad de la hipótesis de partida. | Vamos ha utilizar un tipo de demostración denominado "[[Método de reducción al absurdo |por reducción al absurdo]]". Supondremos que{{sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>\sqrt{2} \,</math>}} es racional y llegaremos a una conclusión sin sentido, lo que demostrará la falsedad de la hipótesis de partida. | ||
| - | Por tanto, supongamos que{{sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>\sqrt{2} \,</math>}} es racional, o sea, que existe una fracción de números enteros <math>\cfrac {a}{b}</math> que es igual a{{sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>\sqrt{2} \,</math>}}. Dicha fracción la podemos suponer irreducible, ya que siempre es posible simplificarla. | + | Por tanto, supongamos que{{sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>\sqrt{2} \,</math>}} es racional, o sea, que existe una fracción de números enteros <math>\cfrac {a}{b}</math> que es igual a{{sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>\sqrt{2} \,</math>}}. |
| <center><math>\cfrac {a}{b}=\sqrt{2}</math></center> | <center><math>\cfrac {a}{b}=\sqrt{2}</math></center> | ||
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| Multiplicamos por {{sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>b^2\;\!</math>}} los dos miembros de la igualdad: | Multiplicamos por {{sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>b^2\;\!</math>}} los dos miembros de la igualdad: | ||
| - | <center><math>a^2=2 \cdot b^2</math></center> | + | <center><math>a^2=2 \cdot b^2</math></center> [1] |
| - | Esta expresión nos dice que {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>a^2\;\!</math>}} es par, ya que resulta de multiplicar 2 por otro número. | + | Sabemos que en la descomposición factorial de un cuadrado perfecto, distinto de 1, todos los factores que aparecen lo hacen un número par de veces. |
| - | Pero {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>a^2\;\!</math>}} es un cuadrado perfecto, o sea es un número entero al cuadrado, luego si uno de sus factores es el 2, el 2 tiene que estar como mínimo al cuadrado, o sea dos veces. | + | Como {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>b^2\;\!</math>}} es un cuadrado perfecto, el factor 2 o no aparece o lo hace un número par de veces. Pero entonces, el factor 2 aparecería un número impar de veces en la descomposición del cuadrado perfecto {{sube|porcentaje=+25%|contenido=<math>b^2\;\!</math>}} por [1]. |
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| - | Por tanto como ya hay un 2 en la igualdad delante de {{sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>b^2\;\!</math>}}, el otro 2 tiene que estar en el factor {{sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>b^2\;\!</math>}} | + | |
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| - | Eso quiere decir que {{sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>b^2\;\!</math>}} también tiene que ser par, y por tanto, al estar al cuadrado, contener, al menos, dos veces al 2. | + | |
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| - | Pero entonces {{sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>b\;\!</math>}} contiene un 2, por lo que también es par. | + | |
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| - | Pero si {{sube|porcentaje=+10%|contenido=<math>a\;\!</math>}} es par y {{sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>b\;\!</math>}} también, la fracción no es irreducible, como habíamos supuesto. | + | |
| Ya hemos llegado al absurdo. | Ya hemos llegado al absurdo. | ||
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Revisión de 13:04 7 sep 2016
Proposición
- No existe ningún número racional que elevado al cuadrado dé como resultado 2. Es decir, el número
no es racional.
Demostración:
Vamos ha utilizar un tipo de demostración denominado "por reducción al absurdo". Supondremos que es racional y llegaremos a una conclusión sin sentido, lo que demostrará la falsedad de la hipótesis de partida.
Por tanto, supongamos que es racional, o sea, que existe una fracción de números enteros 
que es igual a.
Elevamos al cuadrado los dos miembros de la igualdad:
Multiplicamos por 
los dos miembros de la igualdad:
Sabemos que en la descomposición factorial de un cuadrado perfecto, distinto de 1, todos los factores que aparecen lo hacen un número par de veces.
Como es un cuadrado perfecto, el factor 2 o no aparece o lo hace un número par de veces. Pero entonces, el factor 2 aparecería un número impar de veces en la descomposición del cuadrado perfecto por [1].
