Plantilla:Término general de una progresión aritmética

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Término general de una progresión aritmética

El término general, $a_n\;\!$ , de una progresión aritmética de diferencia $d\;\!$ es:

$a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d \;\!$

Demostración:

En efecto, de forma intuitiva:

$a_1 = a_1 + 0 \cdot d \;\!$

$a_2 = a_1 + d = a_1 + 1 \cdot d \;\!$

$a_3 = a_2 + d = a_1 + d + d = a_1 + 2 \cdot d \;\!$

$a_4 = a_3 + d = a_1 +2d + d = a_1 + 3 \cdot d \;\!$

........................

$a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d \;\!$

Demostración por el método de inducción completa:

Para ello hay que comprobar primero que la fórmula se cumple para n=1. A continuación, suponiendo que la fórmula es cierta para el valor n, deberemos comprobar que también se cumple para el valor n+1. Con ésto, la fórmula será cierta para todo valor n natural.

Veamos que se cumple para n=1. Sustituimos n por 1 en el lado derecho de la fórmula:

$a_1+(1-1) \cdot d = a_1 + 0 \cdot d = a_1$

con lo que queda comprobada para n=1.

Supongamos que la fórmula es cierta para el valor n:

$a_n=a_1+(n-1) \cdot d$ . [1]

Por ser una progresión aritmética cada término se obtiene sumando d al anterior término:

$a_{n+1}= a_n+ d \;$ [2]

Debemos comprobar que se cumple para el valor n+1:

$a_{n+1}\begin{matrix} ~_{[2]}~ \\ = \\ ~ \end{matrix}a_n+ d \begin{matrix} ~_{[1]}~ \\ = \\ ~ \end{matrix} a_1 + (n-1) \cdot d + d =a_1 + ((n+1)-1) \cdot d$

Verificando así que la fórmula se cumple para el valor n+1 y terminando la demostración por inducción.

Autoevaluación: Término general de una progresión aritmética Descripción:

Encuentra el término general de una progresión aritmética dada.

Progresión aritmética (10´21") Sinopsis:

Definición de progresión aritmética.
Ejemplos
Término general

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