Plantilla:Ternas pitagóricas

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Se llaman ternas pitagóricas a las ternas de números naturales que verifican el teorema de Pitágoras.
Las ternas cuyos tres números son primos entre sí (m.c.d(a,b,c)=1) reciben el nombre de ternas pitagóricas primitivas.

Ejemplos:

(3,4,5) es una terna pitagórica ( $52 = 3 2 + 4 2$ ).

También son ternas pitagóricas sus múltiplos: (6,8,10), (9,12,15), ... ,(3k,4k,5k) con $k \in \mathbb{N}$ .

Otra terna pitagórica es (6,8,10) y sus múltiplos.

Generando ternas pitagóricas

Proposición

Si $(a,b,c)\;$ es una terna pitagórica entonces también lo es $(ka,kb,kc)\;$ , con $k \in \mathbb{N}$ .

Demostración:

Sea (a,b,c) es una terna pitagórica. Se cumple:

$a^2+b^2=c^2 \,$ [1]

Vamos a comprobar que (ka,kb,kc) también lo es y para ello veremos que también cumple el teorema de Pitágoras:

$(ka)^2+(kb)^2=k^2a^2+k^2b^2=k^2(a^2+b^2)=k^2c^2=(kc)^2\;$

donde en el el penúltimo paso hemos utilizado la igualdad [1].

Por tanto, (ka,kb,kc) cumple el teorema de Pitágoras y es una terna pitagórica.

Proposición

$\{ (a,b,c) \ / \ a=k^2+1 \, ; \ b=2k\, ; \ c=k^2-1 \, , \ k \in \mathbb{N} \}$ son ternas pitagóricas.

$\{ (a,b,c) \ / \ a=p^2-q^2 \, ; \ b=2pq \, ; \ c=p^2+q^2 \,, \ p>q \}$ son ternas pitagóricas.

Generación de ternas pitagóricas Descripción:

En esta escena podrás ver como se generan ternas pitagóricas.

Proposición

Si $x_{n-1}, \, x_n, \, x_{n+1}, \, x_{n+2} \;$ son cuatro términos cualesquiera de la sucesión de Fibonacci, entonces los siguientes números

$a_1 = x_{n-1}x_{n+2}\, ; \ \ a_2= 2x_n x_{n+1}\, ; \ \ a_3=\sqrt{a_1^2 +a_2^2}$

forman una terna pitagórica.

Demostración:

Se demuestra expresando los términos centrales de la subsucesión de Fibonacci, en función de los términos extremos y, luego, aplicando el teorema de Pitágoras para $a_1 \, y \, a_2 \;$ considerándolos como 'catetos'.

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Plantilla:Ternas_pitag%C3%B3ricas"

 ===Generando ternas pitagóricas===
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+|demo=Sea (a,b,c) es una terna pitagórica. Se cumple:
+<center><math>a^2+b^2=c^2 \,</math> {{b4}}[1]</center>
+Vamos a comprobar que (ka,kb,kc) también lo es y para ello veremos que también cumple el teorema de Pitágoras:
+<center><math>(ka)^2+(kb)^2=k^2a^2+k^2b^2=k^2(a^2+b^2)=k^2c^2=(kc)^2\;</math></center>
+donde en el el penúltimo paso hemos utilizado la igualdad [1].
+Por tanto, (ka,kb,kc) cumple el teorema de Pitágoras y es una terna pitagórica.
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