Plantilla:Ternas pitagóricas
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Si <math>x_{n-1}, \, x_n, \, x_{n+1}, \, x_{n+2} \;</math> son cuatro términos cualesquiera de la sucesión de Fibonacci, entonces los siguientes números | Si <math>x_{n-1}, \, x_n, \, x_{n+1}, \, x_{n+2} \;</math> son cuatro términos cualesquiera de la sucesión de Fibonacci, entonces los siguientes números | ||
- | <center><math> a_1 = x_{n-1}x_{n+2}\, ; \ \ a_2= 2x_n x_{n+1}\, ; \ \ a_3=\sqrt{a_1^2 +a_2^2} </math></center> | + | <center><math> a_1 = x_{n-1} \cdot x_{n+2}\, ; \ \ a_2= 2x_n \cdot x_{n+1}\, ; \ \ a_3=\sqrt{a_1^2 +a_2^2} </math></center> |
forman una terna pitagórica. | forman una terna pitagórica. | ||
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Se demuestra expresando los términos centrales de la subsucesión de Fibonacci, en función de los términos extremos y, luego, aplicando el teorema de Pitágoras para <math>a_1 \, y \, a_2 \;</math> considerándolos como 'catetos'.}} | Se demuestra expresando los términos centrales de la subsucesión de Fibonacci, en función de los términos extremos y, luego, aplicando el teorema de Pitágoras para <math>a_1 \, y \, a_2 \;</math> considerándolos como 'catetos'.}} |
Revisión de 18:50 26 nov 2016
- Se llaman ternas pitagóricas a las ternas de números naturales que verifican el teorema de Pitágoras.
- Las ternas cuyos tres números son primos entre sí (m.c.d(a,b,c)=1) reciben el nombre de ternas pitagóricas primitivas.
- (3,4,5) es una terna pitagórica (52 = 32 + 42).
- También son ternas pitagóricas sus múltiplos: (6,8,10), (9,12,15), ... ,(3k,4k,5k) con .
- Otra terna pitagórica es (6,8,10) y sus múltiplos.
Generando ternas pitagóricas
Proposición
Si es una terna pitagórica entonces también lo es , con .
Demostración:
Sea (a,b,c) es una terna pitagórica. Se cumple:
[1]
Vamos a comprobar que (ka,kb,kc) también lo es y para ello veremos que también cumple el teorema de Pitágoras:
donde en el el penúltimo paso hemos utilizado la igualdad [1].
Por tanto, (ka,kb,kc) cumple el teorema de Pitágoras y es una terna pitagórica. Generación de ternas pitagóricas Descripción:
En esta escena podrás ver como se generan ternas pitagóricas.
Proposición
Si son cuatro términos cualesquiera de la sucesión de Fibonacci, entonces los siguientes números
forman una terna pitagórica.
Demostración:
Se demuestra expresando los términos centrales de la subsucesión de Fibonacci, en función de los términos extremos y, luego, aplicando el teorema de Pitágoras para considerándolos como 'catetos'.