Radicales (1ºBach)

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Indice Descartes Manual Casio		WIRIS Geogebra Calculadoras

Raíz n-ésima de un número

(pág. 31)

Se define raíz n-ésima $(n \in \mathbb{N},\ n>1)$ de un número $a \in \mathbb{R}$ como otro número $b \in \mathbb{R}$ tal que $b^n =a\;\!$ y que escribimos simbólicamente $b=\sqrt[n]{a}$ .

$\sqrt[n]{a}=b \iff b^n =a$

El número $a\;\!$ se llama radicando, el número $n\;\!$ índice y $b\;\!$ la raíz.

Propiedades de las raíces

$\sqrt[n]{1}=1$ y $\sqrt[n]{0}=0$ , para cualquier valor del índice $n\;\!$ .
Si $a>0\;\!$ , $\sqrt[n]{a}$ existe cualquiera que sea el índice $n\;\!$ .
Si $a<0\;\!$ , $\sqrt[n]{a}$ sólo existe si el índice $n\;\!$ es impar.
Si el índice $n\;\!$ es par y el radicando $a>0\;\!$ , la raíz tiene dos soluciones: una positiva y otra negativa, pero iguales en valor absoluto.
Si el índice $n\;\!$ es impar, siempre tiene una única solución, que tiene el mismo signo que el radicando $a\;\!$ .

Ejemplos

$\sqrt[3]{1}=1$ .
$\sqrt[5]{0}=0$ .
$\sqrt[4]{16}=\pm 2$ porque $(\pm 2)^4=16\;\!$ .
$\sqrt[3]{64}=4$ porque $4^3=64\;\!$ .
$\sqrt[3]{-8}=-2$ porque $(-2)^3=-8\;\!$ .
$\sqrt[4]{-8}= no \ existe$ porque ningún número elevado a 4 puede dar negativo (-8).

La raíz como potencia de exponente fraccionario

Proposición

Toda raíz se puede expresar como una potencia de la siguiente forma:

$\sqrt[n]{a^m}=a^\frac{m}{n}$

Demostración:

Basta con ver que se cumple la condición de la definición de raíz:

$(a^\frac{m}{n})^n=a^{\frac{m}{n} \cdot n}=a^m$

Propiedades: Las potencias con exponente fraccionario tienen las mismas propiedades que con exponente natural o entero.

Raíces exactas e inexactas

Se llaman raíces exactas a aquellas que dan como resultado un número racional. En caso contrario diremos que son inexactas y el resultado será un número irracional.

Para que una raíz sea exacta, al descomponer el radicando en factores primos, las potencias de éstos deben ser todas números divisibles por el índice.

Ejemplo: Raíces exactas e inexactas

Calcula las siguientes raíces cuando sean exactas:

$a) \sqrt[3]{216} \quad b) \sqrt[4]{0.0256}\quad c) \sqrt[3]{192}$

Solución:

a) Descomponemos $216=2^3 \cdot 3^3$ .

Como las potencias son divisibles por 3, la raíz es exacta. Para obtenerla, dividimos cada exponente entre el índice:

$\sqrt[3]{216}=\sqrt[3]{2^3 \cdot 3^3}=2^{\frac{3}{3}} \cdot 3^{\frac{3}{3}}=2^1 \cdot 3^1=6$

Luego $\sqrt[3]{216}$ es racional.

b) Descomponemos $\cfrac{256}{10000}=\cfrac {2^8}{10^4}$ .

Como las potencias son divisibles por 4, la raíz es exacta. Para obtenerla, dividimos cada exponente entre el índice:

$\sqrt[4]{0.0256}=\sqrt[4]{\cfrac{256}{10000}}=\sqrt[4]{\cfrac {2^8}{10^4}}=\pm \cfrac {2^{\frac{8}{4}}}{10^{\frac{4}{4}}}=\pm \cfrac{2^2}{10^1}=\pm \cfrac{4}{10}=\pm 0'4$

Luego $\sqrt[4]{0.0256}$ es racional.

c) Descomponemos $192=2^6 \cdot 3\;\!$ .

El exponente de 3 es 1, que no es divisible por 3. Por tanto, la raíz no es exacta.

Luego $\sqrt[3]{192}$ es irracional.

Calculadora

Raíz cuadrada

Calculadora: Raíz cuadrada

Para calcular raíces cuadradas usaremos la tecla .

Ejemplo:

Operación: $\sqrt {16}$

Procedimiento: $16\;\!$

Solución: $4\;\!$

Advertencia:

Ten cuidado, si trabajas con números enteros, porque la calculadora sólo da una de las dos soluciones posibles, la positiva.

Raíz cúbica

Calculadora: Raíz cúbica

Para calcular raíces cúbicas usaremos la tecla .

Ejemplo:

Operación: $\sqrt [3] {8}$

Procedimiento: $8\;\!$

Solución: $2\;\!$

Otras raíces

Calculadora: Otras raíces

Para calcular la raíz cuarta, quinta, etc., usaremos la tecla .

Ejemplo:

Operación: $\sqrt [4]{81}$

Procedimiento: $4\;\!$ $81\;\!$

Solución: $3\;\!$

Radicales

Radical

El término radical se usa para referirse a expresiones del tipo $k \cdot \sqrt[n]{a}~,~k \in \mathbb{R}$

Propiedades de las operaciones con radicales

(pág. 31-32)

Propiedades de las operaciones con radicales

1. $\sqrt[np]{a^p}=\sqrt[n]{a}$

2. $\left ( \sqrt[n]{a}\right )^p=\sqrt[n]{a^p}$

3. $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a}$

4. $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a \cdot b}$

5. $\cfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\cfrac{a}{b}}$

Demostración:

Para demostrar estas propiedades basta con expresar el radical como potencia de exponente fraccionario y aplicar sus propiedades.

Ejercicios resueltos: Radicales. Propiedades (pág. 31.)

2. Simplificar: a) $\sqrt[12]{x^9}$ , b) $\left ( \sqrt[3]{a^2} \right )^6$ , c) $\sqrt{\sqrt[3]{a}}$ , d) $\sqrt[3]{\sqrt{a}}$

Solución:

a) $\sqrt[12]{x^9}=\sqrt[4 \cdot 3]{x^{3 \cdot 3}}=\sqrt[4]{x^{3}}$ , usando la propiedad nº 1 de las operaciones con radicales.

b) $\left ( \sqrt[3]{a^2} \right )^6=\sqrt[3]{a^{12}}=a^{\frac{12}{3}}=a^4$ , usando la propiedad nº 2 de las operaciones con radicales y transformando el radical en potencia de exponente fraccionario.

c) $\sqrt{\sqrt[3]{a}}=\sqrt[2 \cdot 3]{a}=\sqrt[6]{a}$ , usando la propiedad nº 3 de las operaciones con radicales.

d) $\sqrt[3]{\sqrt{a}}=\sqrt[3 \cdot 2]{a}=\sqrt[6]{a}$ , usando la propiedad nº 3 de las operaciones con radicales.

Suma y resta de radicales con el mismo índice y radicando

Para sumar y restar radicales, éstos deben tener el mismo radicando y el mismo índice.

Ejemplos:

$3\sqrt{5}-\sqrt{5}+5\sqrt{5}=(3-1+5)\sqrt{5}=7\sqrt{5}$
$3\sqrt{2}-\sqrt{3}=$ (No se puede simplificar)
$3\sqrt[3]{2}+\sqrt{2}=$ (No se puede simplificar)

Extracción e introducción de factores en un radical

El siguiente videotutorial resume lo que se va a a ver en este apartado:

Extracción e introducción de factores en un radical (19'38") Sinopsis:

Tutorial que explica cómo extraer factores de un radical, que se utiliza principalmente para simplificar radicales, y de cómo introducir factores dentro.

Extracción de factores

Procedimiento

Para extraer factores de un radical se divide el exponente (m) del factor entre el índice (n) del radical. A continuación, se saca el factor elevado al cociente (c) de la división, quedando dentro del radical el factor elevado al resto (r).

$\sqrt[n]{a^m}= a^c \cdot \sqrt[n]{a^r}$

Demostración:

Para la demostración transformaremos la expresión radical en potencias y aplicaremos las propiedades de las operaciones con potencias:

$\sqrt[n]{a^m}= a^{\frac{m}{n}} \begin{matrix} ~_{(1)}~ \\ = \\ \, \end{matrix} a^{c+\frac{r}{n}}= a^c \cdot a^{\frac{r}{n}}= a^c \cdot \sqrt[n]{a^r}$

Fíjate que en (1) hemos usado la regla de la divsión:

$m=n \cdot c + r \ \rightarrow \ \cfrac{m}{n}= \cfrac{n \cdot c + r}{n} \ \rightarrow \ \cfrac{m}{n}= \cfrac{n \cdot c}{n} + \cfrac{r}{n} \ \rightarrow \ \cfrac{m}{n}= c + \cfrac{r}{n}$

Para extraer factores de un radical se divide el exponente entre el índice y se saca el factor elevado al cociente de la división quedando ese factor elevado al resto.

Ejemplo: Extracción de factores de un radical

Extrae todo lo que se pueda de este radical: $\sqrt[3]{6000}$

Solución:

$\sqrt[3]{6000}=\sqrt[3]{2^4 \cdot 3 \cdot 5^3}=2 \cdot 5 \sqrt[3]{2 \cdot 3}=10\sqrt[3]{6}$

Extracción de factores de un radical

Tutorial 1 (7'06") Sinopsis:

Extracción de factores de un radical. Ejemplos.

Tutorial 2 (8'02") Sinopsis:

Extracción de factores de un radical utilizando un símil curioso.

Tutorial 3 (5´50") Sinopsis:

Extracción de factores de un radical. Ejemplos

Ejemplos (6'54") Sinopsis:

Extracción de factores de un radical.

Ejercicio 1 (2'59") Sinopsis:

Simplifica:

a) $\sqrt{8}\;$ b) $\sqrt{45}\;$

Ejercicio 2 (1'58") Sinopsis:

Simplifica:

a) $\sqrt{20}\;$ b) $\sqrt{180}\;$

Ejercicio 3 (2'31") Sinopsis:

Simplifica:

a) $\sqrt[3]{16}\;$ b) $\sqrt[3]{72}\;$

Ejercicio 4 (1'52") Sinopsis:

Simplifica:

a) $\sqrt[5]{96}\;$ b) $\sqrt[4]{405}\;$

Ejercicio 5 (26'16") Sinopsis:

Simplifica:

a) $\sqrt{72}\;$ b) $\sqrt[4]{3645}\;$ c) $\sqrt{3240}\;$ c) $5\,\sqrt[3]{384}\;$

Ejercicio 6 (7'53") Sinopsis:

Simplifica:

a) $\sqrt{486}\;$ b) $6\sqrt[3]{1250}\;$ c) $m^3n\sqrt[5]{m^{20}n^{37}}\;$

Ejercicio 7 (3'40") Sinopsis:

Simplifica: $-2\sqrt [3]{16x^5yz^9}$

Ejercicio 8 (4'12") Sinopsis:

Simplifica: $\sqrt [4]{32x^4y^{21}z^{43}}$

Ejercicio 9 (2'54") Sinopsis:

Simplifica: $\sqrt [5]{32x^5y^{-10}z^{-35}}$

Ejercicio 10 (2'03") Sinopsis:

Simplifica: $\sqrt [5]{-243a^{20}}$

Ejercicio 11a (12´16") Sinopsis:

Extrae todos los factores posibles del radicando:

a) $\sqrt{12}\;$ ; b) $\sqrt{45}\;$ ; c) $\sqrt{400}\;$ ;

d) $\sqrt{18}\;$ ; e) $\sqrt{128}\;$

Ejercicio 11b (22´39") Sinopsis:

Extrae todos los factores posibles del radicando:

f) $\sqrt{216}\;$ ; g) $\sqrt{1080}\;$ ; h) $\sqrt[3]{625}\;$

i) $\sqrt[3]{432}\;$ ; j) $\sqrt[3]{-216}\;$ ; k) $\sqrt[3]{243}\;$

l) $\sqrt[4]{1296}\;$ ; m) $\sqrt[4]{20736}\;$ ; n) $\sqrt[5]{-480}\;$

Ejercicio 12 (6´54") Sinopsis:

Simplifica: $7\,\sqrt{117}\;$

Ejercicio 13 (4´20") Sinopsis:

Simplifica: $3\,\sqrt{500x^3}\;$

Ejercicio 14 (7´30") Sinopsis:

Simplifica:

a) $2\,\sqrt{7x} \cdot 3\,\sqrt{14x^2}\;$

b) $\sqrt{2a} \cdot \sqrt{14a^3} \cdot \sqrt{5a}\;$

Ejercicio 15 (4´27") Sinopsis:

Simplifica: $5\,\sqrt[3]{2x^2} \cdot 3\,\sqrt[3]{4x^4}\;$

Ejercicio 16 (2´17") Sinopsis:

Simplifica: $\sqrt[3]{125x^6y^3}$

Ejercicio 17 (2´25") Sinopsis:

Simplifica: $\sqrt[4]{5a^4b^{12}}$

Extracción de factores de un radical

Actividad 1 Descripción:

Pulsa el botón "Ejemplo" para ver los ejemplos. Anota algunos en tu cuaderno.

Actividad 2 Descripción:

Extrae factores fuera del radical.

Autoevaluación 1 Descripción:

Extrae factores fuera del radical.

Autoevaluación 1b Descripción:

Extrae factores fuera del radical (con variables).

Autoevaluación 1c Descripción:

Extrae factores fuera del radical (con variables).

Introducción de factores

Procedimiento

Para introducir un factor dentro de un radical, éste se eleva al índice del radical y el resultado se multiplica por el radicando del radical.

$a \sqrt[n]{b}= \sqrt[n]{a^n \cdot b}$

Demostración:

Para la demostración transformaremos la expresión radical en potencias y aplicaremos las propiedades de las operaciones con potencias:

$a \sqrt[n]{b}=a \cdot b^{\frac{1}{n}}=(a^n)^{\frac{1}{n}} \cdot b^{\frac{1}{n}}= (a^n \cdot b)^{\frac{1}{n}}= \sqrt[n]{a^n \cdot b}$

Ejemplo: Introducción de factores en un radical

Introduce los factores dentro del radical: $10 \sqrt[3]{6}$

Solución:

$10 \sqrt[3]{6}=\sqrt[3]{6 \cdot 10^3}=\sqrt[3]{6000}$

Ejemplos: Introducción de factores de un radical Descripción:

Pulsa el botón "Ejemplo" para ver los ejemplos. Anota algunos en tu cuaderno.

Introducción de factores en un radical

Ejemplo 1 (2'23") Sinopsis:

Introduce dentro del radical: $3 \sqrt{5}$

Para introducir un factor dentro de un radical, éste se eleva al índice del radical y el resultado se multiplica por el radicando del radical. De esta manera, y teniendo en cuenta las propiedades de las operaciones con potencias, para introducir una potencia dentro de un radical multiplicaremos el exponente de la potencia por el índice del radical. La potencia resultante pasará dentro del radical multiplicando al radicando.

Ejemplo 2 (1'42") Sinopsis:

Introduce los factores dentro del radical: $a^3 b^2 \sqrt[4]{c}$

Ejemplo 3 (3'06") Sinopsis:

Introduce los factores dentro del radical: $m^2 n^5 \sqrt[5]{m^3 p^2}$

Ejercicios (4'19") Sinopsis:

Introduce factores dentro del radical:

a) $4 \sqrt[3]{6}$

b) $2^4 \cdot 3^2 \sqrt[6]{2^2 \cdot 3^5}$

b) $a^7 \cdot b^8 \sqrt[5]{b^2}$

Introducción y extracción de factores de un radical Descripción:

Pulsa el botón EJERCICIO y verás el enunciado; hazlo en tu cuaderno e introduce la solución con la escena, luego pulsa el botón SOLUCIÓN para ver si lo has hecho bien.

Autoevaluación: Introducción y extracción de factores de un radical Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre introducción y extracción de factores de un radical.

Suma y resta de radicales con el mismo índice y distinto radicando

Si tienen el mismo índice pero distinto radicando, a veces, podemos extraer factores del radical y dejarlos con el mismo radicando.

Ejemplo: Suma y resta de radicales con el mismo índice y distinto radicando

Resta los siguientes radicales: $\sqrt{48}-\sqrt{75}$

Solución:

$\sqrt{48}-\sqrt{75}=\sqrt{2^4 \cdot 3}-\sqrt{5^2 \cdot 3}= 2^2\sqrt{3}-5\sqrt{3}=-\sqrt{3}$

Ejemplos: Suma y resta de radicales con el mismo índice y distinto radicando Descripción:

Pulsa el botón "Ejemplo" para ver los ejemplos. Anota algunos en tu cuaderno.

Suma y resta de radicales con el mismo índice y distinto radicando

Tutorial 1 (10'09") Sinopsis:

Tutorial que explica cómo sumar y restar radicales. La suma y resta son operaciones que "se llevan muy mal" con el resto de operaciones y hay que tener mucho cuidado a la hora de hacerlo con radicales.

Tutorial 2 (4'58") Sinopsis:

Suma y resta de radicales con el mismo índice. Ejemplos.

Ejercicio 1 (3'38") Sinopsis:

Simplifica: $\sqrt{18}+\sqrt{50}-\sqrt{2}-\sqrt{8}$

Ejercicio 2 (6'11") Sinopsis:

Simplifica: $\sqrt{32}+\sqrt{243}-\sqrt{12}-\sqrt{48}-\sqrt{27}$

Ejercicio 3 (30'30") Sinopsis:

Calcula:

a) $\sqrt{50}+2\sqrt{18}-3\sqrt{32}\;$

b) $-\sqrt{12}+\sqrt{75}-\sqrt{27}\;$

c) $\sqrt{20}+4\sqrt{8}-5\sqrt{50}\;$

d) $\sqrt[3]{48}+\sqrt[3]{1080}-\sqrt[3]{96}\;$

e) $-\sqrt[3]{-27}+2\sqrt[3]{272}-9\sqrt[3]{-81}\;$

Ejercicio 4 (12'36") Sinopsis:

Calcula:

a) $\sqrt[4]{32}+8\sqrt[4]{16}-\sqrt[4]{80}\;$

b) $\sqrt[5]{64}-6\sqrt[5]{32}+5\sqrt[5]{96}\;$

c) $-9\sqrt[6]{64}+\sqrt[6]{192}-\sqrt[6]{960}\;$

Suma y resta de radicales con el mismo índice y distinto radicando

Actividad: Suma y resta de radicales con el mismo índice y distinto radicando

Simplifica $\sqrt[4]{3} - \sqrt[4]{243}$

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

simplify 4th root (3) - 4th root (243)

Autoevaluación: Suma y resta radicales con el mismo índice y distinto radicando Descripción:

Pulsa el botón EJERCICIO y verás el enunciado; hazlo en tu cuaderno e introduce la solución con la escena, luego pulsa el botón SOLUCIÓN para ver si lo has hecho bien.

Click aquí si no se ve bien la escena

Producto y cocientes de radicales con distinto índice

Para multiplicar o dividir radicales con distinto índice, primero se reducen a índice común y luego se multiplican o dividen los radicandos.

Ejemplo: Producto y cocientes de radicales con distinto índice

Reduce a un solo radical $\sqrt[3]{10} \cdot \sqrt[4]{5}:\sqrt{8}$

Solución:

Para reducir los radicales a índice común calculamos el m.c.m de los índices: m.c.m.(3,4,2)=12 y elevamos cada radicando al resultado de dividir el m.c.m. por el índice de cada radical.

$\sqrt[3]{10} \cdot \sqrt[4]{5}:\sqrt{8}=\sqrt[12]{10^4} \cdot \sqrt[12]{5^3}:\sqrt[12]{8^6}$

Luego multiplicamos o dividimos los radicandos, ya que ahora los índices son iguales:

$\sqrt[12]{10^4} \cdot \sqrt[12]{5^3}:\sqrt[12]{8^6}=\sqrt[12]{10^4 \cdot 5^3 : 8^6}$

Finalmente simplificamos:

$\sqrt[12]{10^4 \cdot 5^3 : 8^6}=\sqrt[12]{2^4 \cdot 5^4 \cdot 5^3 : (2^3)^6}=\sqrt[12]{2^{-14} \cdot 5^7}$

Producto y cociente de radicales con distinto índice

Tutorial (7'21") Sinopsis:

Producto y cociente de radicales con el mismo o con distinto índice. Ejemplos.

Ejercicio 1 (4'43") Sinopsis:

Simplifica: $(8\sqrt[3]{a^2b}) \cdot (4\sqrt{ab^3})$

Ejercicio 2 (3'50") Sinopsis:

Simplifica: $\sqrt[3]{27^{-2}} : \sqrt[4]{16}$

Producto y cocientes de radicales

Producto y cociente de radicales con distinto índice Descripción:

Actividades en las que podrás aprender a multiplicar y dividir radicales de distinto índice previa reducción a índice común.

Autoevaluación: Producto de radicales Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre productos de radicales.

Autoevaluación: Cociente de radicales Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre cocientes de radicales.

Potencias de radicales

Potencias de radicales (6'31") Sinopsis:

Potencias de radicales. Ejemplos.

Autoevaluación: Potencias de radicales Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre potencias de radicales.

Radicales dobles (Avanzado)

Radicales dobles

Ejercicio 1 (7'08") Sinopsis:

Convierte los siguientes radicales dobles en sencillos:

a) $\sqrt{11+6 \sqrt{2}}$

b) $\sqrt{7-\sqrt{48}}$

Ejercicio 2 (6'43") Sinopsis:

Convierte los siguientes radicales dobles en sencillos:

a) $\sqrt{7+ \sqrt{24}}$

b) $\sqrt{8-\sqrt{48}}$

Convierte los siguientes radicales sencillos en dobles:

a) $\sqrt{6}+ \sqrt{2}$

b) $\sqrt{5}- \sqrt{2}$

Actividades

Operaciones con radicales

Ejercicio 1 (10'09") Sinopsis:

Simplifica:

a) $\sqrt{8^{20}}:\sqrt{8^{14}}$

b) $\sqrt[6]{\sqrt{8}}$

c) $\sqrt[9]{12} \cdot \sqrt{3}$

Ejercicio 2 (6'06") Sinopsis:

Simplifica: $\cfrac{\sqrt{27}+\sqrt{75}}{\sqrt{48}}$

Ejercicio 3 (4'34") Sinopsis:

Simplifica: $\sqrt [4]{\sqrt{x^3} \cdot 16 \sqrt{x}}$

Ejercicio 4 (2'57") Sinopsis:

Simplifica: $\left(\cfrac{\sqrt [6]{32}}{\sqrt{8}} \right)^3$

Ejercicio 5 (7'27") Sinopsis:

Simplifica (Extracción e introducción de factores en un radical):

a) $\sqrt[3]{5^{17} \cdot 4^6}$

b) $\sqrt[3]{16\, a^4\, b^{21}}$

c) $7^3 \cdot 6^9 \sqrt[11]{y^3}$

Ejercicio 6 (7'27") Sinopsis:

Simplifica:

a) $(2\sqrt{11})(5\sqrt{3})(-\sqrt{2})$

b) $(5\sqrt[3]{4})(2\sqrt[3]{2})$

c) $(7\sqrt{2})(5\sqrt[3]{3})$

Ejercicio 7 (6'00") Sinopsis:

Simplifica:

a) $\cfrac{16\sqrt{10}}{4\sqrt{5}}$

b) $\cfrac{24\sqrt[4]{2}}{4\sqrt[5]{3}}$

Ejercicio 8 (8'52") Sinopsis:

Simplifica:

a) $2\sqrt{12}+11\sqrt{48}-5\sqrt{75}$

b) $13\sqrt{45}-11\sqrt{128}-9\sqrt{80}+4\sqrt{162}$

Ejercicio 9 (6'11") Sinopsis:

Simplifica:

a) $3\sqrt[5]{2}+7\sqrt[5]{2}$

b) $3\sqrt{7}-2\sqrt{3}+9\sqrt{7}-5\sqrt{3}$

c) $3\sqrt[3]{54}-2\sqrt[3]{2}+9\sqrt[3]{16}$

d) $4\sqrt[4]{25}-\sqrt{45}$

e) $\cfrac{1}{2}\sqrt[3]{108}-\cfrac{3}{2}\sqrt[3]{4}$

Ejercicio 10 (19'33") Sinopsis:

Calcula y simplifica:

a) $2\sqrt{25} \cdot 3\sqrt{63}\;$ ; b) $3\sqrt{25} \cdot 2\sqrt{18}\;$ ; c) $3\sqrt{30} \cdot 5\sqrt{6}\;$

d) $-2\sqrt{63}-5\sqrt{35}\;$ ; e) $8\sqrt{70} \cdot (-2)\sqrt{35}\;$ ; f) $3\sqrt{21} \cdot (-7\sqrt{7}) \cdot 4\sqrt{6}\;$

g) $3\sqrt{55} \cdot (-3\sqrt{22}) \cdot (-4)\sqrt{5}\;$ ; f) $-3\sqrt{15} \cdot (-7\sqrt{55}) \cdot \sqrt{3}\;$

Ejercicio 11 (29'15") Sinopsis:

Opera y simplifica:

a) $2\sqrt[3]{18} \cdot 3\sqrt[3]{12}\;$ ; b) $3\sqrt[3]{50} \cdot 2\sqrt[3]{20}\;$ ; c) $3\sqrt[3]{45} \cdot 5\sqrt[3]{75}\;$

d) $-2\sqrt[3]{28} \cdot 5\sqrt[3]{98}\;$ ; e) $8\sqrt[3]{-12} \cdot (-3\sqrt[3]{3}) \cdot \sqrt[3]{-6}\;$ ; f) $3\sqrt[3]{8} \cdot (-7\sqrt[3]{9}) \cdot 4\sqrt[3]{3}\;$

g) $-5\sqrt[3]{27} \cdot (-\sqrt[3]{4}) \cdot 4\sqrt[3]{2}\;$ ; h) $3\sqrt[3]{20} \cdot (-3\sqrt[3]{10}) \cdot (-4\sqrt[3]{5})\;$ ; i) $3\sqrt[6]{324} \cdot 5\sqrt[6]{144}\;$