Rectas de regresión (1ºBach)

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Recta de regresión de Y sobre X

Consideremos una variable bidimensional $\;(X,Y)$ y una serie de valores observados $\;(x_i,y_i)$ que representamos en el plano mediante una nube de puntos. Buscamos la recta que mejor se ajuste a la nube. Para ello utilizaremos el método de mínimos cuadrados que consiste en quedarse con aquella recta que cumpla que "la suma de los cuadrados de las distancias de todos los puntos a la recta sea mínima". Así se obtiene:

Recta de regresión de Y sobre X

La recta de regresión de Y sobre X viene dada por la ecuación:

$y = \bar{y} + \frac{\sigma_{xy}}{\sigma_{x}^2}(x - \bar{x})$

Es una recta que pasa por el centro de gravedad de la nube $(\bar{x},\bar{y})$ y cuya pendiente, $m_{xy} = \frac{\sigma_{xy}}{\sigma_{x}^2}$ , recibe el nombre de coeficiente de regresión.

Demostración:

La demostración excede el nivel de este curso.

Nota: El coeficiente de regresión y el de correlación coinciden en signo. No obstante, no existe otra relación entre ambos coeficientes ya que, por ejemplo, la pendiente de la recta puede ser grande pero la correlación entre las variables ser baja.

Rectas de regresión

Tutorial (9'08") Sinopsis:

Rectas de regresión de Y sobre X y de X sobre Y.

Ejercicio 1 (9'43") Sinopsis:

Determina las rectas de regresión de Y sobre X y de X sobre Y para una muestra de tamaño 9.

Ejercicio 2 (8'38") Sinopsis:

Determina las rectas de regresión de Y sobre X y de X sobre Y para una muestra de tamaño 10.

Posición relativa de las rectas de regresión (7'30") Sinopsis:

Posición relativa de las rectas de regresión:

Si r=1, las dos rectas de regresión son coincidentes.
Si r=0, la rectas de regresión son rectas perpendiculares iguales a las medias de las respectivas variables unidimensionales. Es decir:

Recta de regresión de Y sobre X: $y= \overline{y}$

Recta de regresión de X sobre Y: $x=\overline{x}$

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Estimaciones usando la recta de regresión

Llamaremos valor estimado de $y\,$ correspondiente a un valor dado $x=x_0\,$ , al valor de $y\,$ que se obtiene al sustituir en la recta de regresión la $x\,$ por $x_0\,$ . Lo representaremos por $\hat {y}(x_0)\,$
Llamaremos valor estimado de $x\,$ correspondiente a un valor dado $y=y_0\,$ , al valor de $x\,$ que se obtiene al sustituir en la recta de regresión la $y\,$ por $y_0\,$ . Lo representaremos por $\hat {x}(y_0)\,$

Algunas consideraciones:

No olvidemos que éstos son valores estimados, es decir, que tienen una cierta probabilidad de que tomen ese valor.
Estas estimaciones funcionan mejor cuando los valores de $|r| \,$ son próximos a 1 y cuando los valores de $x\,$ o de $y\,$ son próximos o están dentro del intervalo de los puntos de la nube.

Estimación

Ejercicio 1 (6'18") Sinopsis:

Determina la recta de regresión de Y sobre X correspondiente a una muestra 50 empresas en las que se ha observado el número de trabajadores , "X", y la producción, "Y".
Estima la producción de sendas empresas con 45 y 72 trabajadores, respectivamente.

Ejercicio 2 (6'59") Sinopsis:

Determina la recta de regresión de Y sobre X.
Estima el valor de "X" si Y=4 y si Y=11.

Ejercicio 3 (22'05") Sinopsis:

Recta de regresión. Estimación.

Actividad Interactiva: Recta de regresión de distribuciones bidimensionales. Estimación

a) La siguiente escena muestra una nube de puntos y una tabla con las notas obtenidas por 12 alumnos en las asignaturas de Lengua Española (X) y Literatura (Y).

Mueve los puntos de la nube y observa como afecta a la correlación.
Puedes ver la recta de regresión o el centro de gravedad marcando las casillas correspondientes.
También podrás estimar los valores de las variables marcando la casilla correspondiente.

b) Puedes añadir o quitar puntos de la tabla y adaptar la escena para otras variables bidimensionales que quieras:

Por ejemplo, puedes cambiar los valores de las notas para adaptarlo al ejercicio de las notas de Matemáticas y Física de 13 alumnos de una clase visto anteriormente:

(X,Y)=(Matemáticas,Física)={(3,2),(2,2),(5,6),(1,3),(7,6),(6,8),(2,4),(4,4),(8,10),(9,6),(5,7),(10,9),(7,7)}

O al ejemplo del jugador de golf que da 10 golpes desde diferentes distancias, siendo X la distancia en metros e Y el número de hoyos obtenidos:

(X,Y)=(Distancia, Hoyos)={(1,10),(2,10),(4,8),(6,7),(8,6),(10,3),(12,4),(15,3),(18,1),(20,0)}

Actividad:

Click aquí si no se ve bien la escena

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Apéndice

Coeficiente de determinación (para ampliar)

Tutorial (9'50") Sinopsis:

Varianza resisual y varianaza explicada por la regresión.
Coeficiente de determinación.

Ejemplo (usando Excel) (4'19") Sinopsis:

Implementación del cálculo del coeficiente de determinación con Excel.

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Rectas_de_regresi%C3%B3n_%281%C2%BABach%29"

 <center><math>y = \bar{y} + \frac{\sigma_{xy}}{\sigma_{x}^2}(x - \bar{x})</math></center>
-Es una recta que pasa por el centro de gravredad de la nube <math>(\bar{x},\bar{y})</math> y cuya pendiente, <math>m_{xy} = \frac{\sigma_{xy}}{\sigma_{x}^2}</math>, recibe el nombre de '''coeficiente de regresión'''.
+Es una recta que pasa por el centro de gravedad de la nube <math>(\bar{x},\bar{y})</math> y cuya pendiente, <math>m_{xy} = \frac{\sigma_{xy}}{\sigma_{x}^2}</math>, recibe el nombre de '''coeficiente de regresión'''.
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 '''Nota:''' El coeficiente de regresión y el de correlación coinciden en signo. No obstante, no existe otra relación entre ambos coeficientes ya que, por ejemplo,  la pendiente de la recta puede ser grande pero la correlación entre las variables ser baja.
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+*Si r=1, las dos rectas de regresión son coincidentes.
+*Si r=0, la rectas de regresión son rectas perpendiculares iguales a las medias de las respectivas variables unidimensionales. Es decir:
+:Recta de regresión de Y sobre X: <math>y= \overline{y}</math>
+:Recta de regresión de X sobre Y: <math>x=\overline{x}</math>
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+{{p}}
 ==Estimaciones usando la recta de regresión==
 * No olvidemos que éstos son valores estimados, es decir, que tienen una cierta probabilidad de que tomen ese valor.
 * Estas estimaciones funcionan mejor cuando los valores de <math>|r| \,</math> son próximos a 1 y cuando los valores de <math>x\,</math> o de <math>y\,</math> son próximos o están dentro del intervalo de los puntos de la nube.
 {{p}}
-:a) El ejemplo anterior de las notas de Matemáticas y Física.
+{{Videotutoriales|titulo=Estimación|enunciado=
-<center>(X,Y)=(Matemáticas,Física)={(3,2),(2,2),(5,6),(1,3),(7,6),(6,8),(2,4),(4,4),(8,10),(9,6),(5,7),(10,9),(7,7)}</center>
+{{Video_enlace_fonemato
-:b) Un jugador de golf da 10 golpes desde diferentes distancias. Sea X la distancia en metros e Y el número de hoyos obtenidos:
+|titulo1=Ejercicio 1
-<center>(X,Y)=(Distancia, Hoyos)={(1,10),(2,10),(4,8),(6,7),(8,6),(10,3),(12,4),(15,3),(18,1),(20,0)} </center>
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+*Estima la producción de sendas empresas con 45 y 72 trabajadores, respectivamente.
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+*Estima el valor de "X" si Y=4 y si Y=11.
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