Introducción a la curvatura

 Geometría-Análisis    Taller 4º ESO

Curvatura

Obtenemos información sobre la curvatura de un alambre pasando los dedos sobre él. Pertenece al mundo sensorial la idea de que la curvatura de una circunferencia es constante y la curvatura de una recta es cero. Así mismo diríamos que cuanto menor es el radio de una circunferencia, mayor es su curvatura.

 

 

¿Cómo definir esta sensación? ¿Cómo cuantificarla o medirla?. La siguiente escena nos ayuda a descubrirlo.

 

 

Ya tenemos una magnitud para medir la curvatura de una circunferencia, pero ¿cómo medir la curvatura de  y=f(x) en un punto (x0, f(x0))? LLevemos las curvas al taller para medirla.

Curvatura en el Taller

 

 

 

Por tanto, cuando no sea necesaria mucha precisión, podemos medir la curvatura en un punto. ¿Se conseguirá proceder con más precisión, sin necesidad de construir muchas circunferencias y ver cual se adapta mejor? ¿podrán ayudarnos las matemáticas? Pasemos al laboratorio.

Curvatura en el Laboratorio

 

Es conocido que para hallar la inclinación de una curva en un punto nos aproximamos a la tangente por las secantes. Podemos copiar esta idea y aproximarnos a una circunferencia con contacto triple en el punto donde queramos medir la curvatura. Así es como se procede en la siguiente escena.

 

Escogido un punto (x0, f(x0)) de la curva y=f(x), trazaremos la circunferencia que pasa por los puntos de la curva:

 (x0-h, f(x0-h)) , (x0, f(x0)) y  (x0+h, f(x0+h))  (Tres puntos no alineados determinan una circunferencia)

y calcularemos el límite, r, de su radio cuando h--->0; la curvatura de y=f(x) en el punto (x0, f(x0))  será 1/r

 

 

        Se adjunta una hoja para resolver o completar y entregarla al profesor   -------->

Hoja en word, para facilitar su modificación    Hoja en pdf

 

La curvatura vista por Newton

El método que se describe en las siguientes escenas fue utilizado por Newton en el siglo XVII.

 

Dados dos puntos de una circunferencia, la intersección de sus normales a la circunferencia es su centro (escena del taller). Así pues, para hallar el centro de curvatura de y=f(x) en (x0, f(x0)), se tomará un punto próximo,

  (x0+h, f(x0+h))

Hallaremos las normales a la curva en estos puntos y su intersección .

Cuando h-->0, esta intersección definirá el centro de la circunferencia osculatriz en (x0, f(x0)). (Escena del laboratorio)

 

TALLER DE MATEMÁTICAS

 

 

LABORATORIO DE MATEMÁTICAS

 

 

 

Para ver las fórmulas que determinan el cálculo de la curvatura de una función y=f(x) en un punto x=xo se utiliza el cálculo de derivadas que no se estudia en este curso. Si se quieren ver estas fórmulas y su demostración (basada en el método de Newton), se puede visitar una ampliación de esta página en 

http://descartes.cnice.mecd.es/m_Analisis/curvatura/index.htm

 

Curvatura en la Prensa, aplicaciones de la curvatura

 

La curvatura matemática ha contribuido notablemente al desarrollo de la Física, con importantes aplicaciones en Óptica y en Medicina. Últimamente el estudio de la curvatura del universo ha sido noticia en la prensa. Los siguientes enlaces son tres artículos publicados sobre este tema.

 

Ah, ¿Pero el universo es plano? (http://personales.ya.com/casanchi/ref/lopez1.htm)

Periódico el Mundo (http://www.elmundo.es/papel/hemeroteca/1999/11/27/sociedad/)

Si el espacio está arrugado...  (http://www.unesco.org/courier/2001_05/sp/doss14.htm)

 


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  Consolación Ruiz Gil
 
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