Ángulos

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Tabla de contenidos

Ángulo

  • Llamamos ángulo a cada una de las dos regiones en que queda dividido el plano al trazar dos semirrectas con el mismo origen.
  • Las semirrectas se llaman lados y el origen común de ambas, vértice.
  • Llamaremos amplitud del ángulo al tamaño de cada una de las regiones.

En el dibujo de la derecha puedes ver como dos semirrectas con un origen común determinan siempre dos porciones del plano y por tanto dos ángulos, A y B.

Tipos de ángulos

Por su amplitud, distinguimos los siguientes tipos de ángulos:

  • Ángulo nulo es aquel definido por dos semirrectas que coinciden. No abarca ninguna porción del plano.
  • Ángulo llano es aquel definido por dos semirrectas con la misma dirección, aunque sentidos opuestos. Abarca un semiplano, esto es, la mitad del plano.
  • Ángulo convexo es aquel que es menor que un ángulo llano.
  • Ángulo cóncavo es aquel que es mayor que un ángulo llano.
  • Ángulo recto es aquel ángulo convexo definido por dos semirrectas perpendiculares. Abarca la cuarta parte de un plano.
  • Ángulo agudo es aquel que es menor que un ángulo recto.
  • Ángulo obtuso es aquel que es mayor que un ángulo recto y menor que un ángulo llano.
  • Ángulo completo es aquel que abarca todo el plano.

Relaciones entre ángulos

  • Dos ángulos son iguales si tienen la misma amplitud.
  • Ángulos complementarios son aquellos cuya suma es un ángulo recto.
  • Ángulos suplementarios son aquellos cuya suma es un ángulo llano.
  • Ángulos conjugados son aquellos cuya suma es un ángulo completo.
  • Dos ángulos son consecutivos si tienen el vértice y un lado en común.
  • Dos ángulos son adyacentes si tienen el vértice y un lado en común, al tiempo que sus otros dos lados son semirrectas opuestas. Por tanto son consecutivos y suplementarios simultáneamente.
  • Ángulos opuestos por el vértice son aquellos que cumplen que los lados de uno son semirrectas opuestas a los lados del otro.


Ángulos complementarios


Ángulos suplementarios


Ángulos consecutivos


a y c son opuestos por el vértice,

al igual que b y d

Ángulos de lados paralelos o perpendiculares

ejercicio

Proposición


  • Dos ángulos cuyos lados son paralelos o son iguales o son suplementarios.
  • Dos ángulos cuyos lados son perpendiculares o son iguales o son suplementarios.

Ángulos entre dos paralelas cortadas por una transversal

Si una recta transversal corta a dos rectas paralelas:

  • Ángulos alternos internos: son los ángulos que están entre las paralelas y a distinto lado de la transversal.
  • Ángulos alternos externos: son los ángulos que están en la parte exterior de las paralelas y a distinto lado de la transversal.
  • Ángulos correspondientes: son los que están del mismo lado de la transversal y en la misma posición respecto de cada paralela, pero uno es interno y el otro externo a las paralelas.
  • Ángulos conjugados internos: son dos ángulos internos a las dos rectas paralelas y del mismo lado de la transversal.
  • Ángulos conjugados externos: son dos ángulos externos a las dos rectas paralelas y del mismo lado de la transversal.
  • Ángulos adyacentes: son dos ángulos que tienen el vértice común, un lado común que los separa y los otros dos lados en línea recta.

ejercicio

Propiedades


  • Ángulos alternos internos son iguales.
  • Ángulos alternos externos son iguales.
  • Ángulos correspondientes son iguales.
  • Ángulos opuestos por el vértice son iguales.

  • Ángulos conjugados internos son suplementarios.
  • Ángulos conjugados externos son suplementarios.
  • Ángulos adyacentes son suplementarios.

Alternos internos: 4=6; 3=5Alternos externos: 1=7; 2=8Correspondientes: 1=5; 2=6; 4=8; 3=7Opuestos por el vértice: 1=3; 2=4; 5=7; 6=8Conjugados internos: 3 y 6; 5 y 4Conjugados externos: 2 y 7; 1 y 8Adyacentes: 1 y 2; 2 y 3; 3 y 4; 4 y 1; 5 y 6; 6 y 7; 7 y 8; 8 y 5
Aumentar
Alternos internos: 4=6; 3=5

Alternos externos: 1=7; 2=8

Correspondientes: 1=5; 2=6; 4=8; 3=7

Opuestos por el vértice: 1=3; 2=4; 5=7; 6=8

Conjugados internos: 3 y 6; 5 y 4

Conjugados externos: 2 y 7; 1 y 8

Adyacentes: 1 y 2; 2 y 3; 3 y 4; 4 y 1; 5 y 6; 6 y 7; 7 y 8; 8 y 5

Medida de ángulos

La siguiente tanda de videotutoriales condensa todo lo que se va a ver en este apartado:

Sistema sexagesimal

  • Si dividimos el ángulo completo en 360 partes iguales, cada una de ellas decimos que mide un grado sexagesimal. Para indicar que una medida está en grados sexagesimales se acompaña la medida numérica con un superíndice en forma de circulito (º). Así tenemos que:
    • El ángulo completo tiene 360º.
    • El ángulo llano tiene 180º
    • El ángulo recto tiene 90º.
  • Un grado sexagesimal se divide en otras unidades más pequeñas llamadas minutos sexageximales. Un grado equivale a 60 minutos (1º=60').
  • Un minuto sexagesimal, a su vez, también se divide en otras unidades más pequeñas, llamadas segundos sexagesimales. Un minuto equivale a 60 segundos (1'=60").

Calculadora

Calculadora: Pasar ángulos con formato decimal a formato "grados, minutos y segundos" y viceversa


Para pasar ángulos (en sexagesimal) con formato decimal a formato "grados, minutos y segundos", y viceversa, usaremos la tecla Conversor formato ángulo.

Sistema centesimal

  • Si dividimos el ángulo completo en 400 partes iguales, cada una de ellas decimos que mide un grado centesimal. Para indicar que una medida está en grados centesimales se acompaña la medida numérica con la letra g en forma de superíndice. Así tenemos que:
    • El ángulo completo tiene 400g.
    • El ángulo llano tiene 200g.
    • El ángulo recto tiene 100g.
  • Un grado centesimal se divide en otras unidades más pequeñas llamadas minutos centesimales. Un grado centesimal equivale a 100 minutos centesimales (100m o 100c).
  • Un minuto centesimal, a su vez, también se divide en otras unidades más pequeñas, llamadas segundos centesimales. Un minuto centesimal equivale a 100 segundos centesimales (100s o 100cc).

El radián

El radián (simbolizado rad) se define como el ángulo que abarca un arco de circunferencia cuya longitud es igual a la del radio de la propia circunferencia.

En la figura adjunta el ángulo \phi \, mide un radián porque abarca un arco que mide igual que el radio de la circunferencia.

La utilidad de la medida en radianes frente a otras medidas de ángulos, es que ayuda a simplificar muchas fórmulas trigonométricas.

El radian se usa también en Física. Por ejemplo, la velocidad angular se suele medir en radianes por segundo (rad/s).

Imagen:radian.gif

ejercicio

Equivalencia entre radianes y grados sexagesimales


\pi \, rad = 180^\circ

En consecuencia:

1 \, rad=\cfrac{180^\circ}{\pi} \approx 57^\circ 17' 45 '' \qquad \qquad1^\circ = \cfrac {\pi \, rad} {180} \approx 0.0175 \, rad

Utilizando la equivalencia anterior, y mediante una regla de tres, podemos obtener las siguientes equivalencias:

Grados   30° 45° 60° 90° 180° 270° 360°
Radianes 0 π/6 π/4 π/3 π/2 π 3π/2

Operaciones con ángulos

Suma

Dos o más ángulos pueden sumarse para formar otro. La operación suma de ángulos se realiza tanto gráficamente como analíticamente:

  • La suma gráfica se realiza colocando los ángulos en posición de consecutivos, es decir, compartiendo el vértice y un lado, para dar lugar a otro ángulo que comprende a ambos.
  • La suma analítica se realiza sumando las amplitudes de los ángulos para obtener la amplitud del ángulo resultante.

ejercicio

Procedimiento


Para sumar analíticamente un ángulos en sexagesimal, en forma compleja:

  1. Sumamos cada una de las unidades del ángulo (grados, minutos y segundos).
  2. Si la suma de los segundos es superior a 60, la transformamos en minutos, y se la añadimos a los minutos.
  3. Si la suma de los minutos es superior a 60, la transformamos en grados, y se la añadimos a los grados.

ejercicio

Ejemplo: Suma de ángulos


Calcula la siguiente suma de ángulo en sexagesimal en forma compleja:

22^\circ \, 48' \, 35'' + 56^\circ \, 45' \, 30''

Resta

La resta o diferencia de ángulos puede hacerse, igual que la suma, de dos formas: gráfica y analítica.

  • La resta gráfica, consiste en colocar los dos ángulos de manera que compartan el vértice y un lado. Así, el ángulo mayor comprende al menor, y el exceso es la diferencia entre ambos.
  • La resta analítica se realiza restando la amplitud del ángulo menor de la del mayor.

ejercicio

Procedimiento


Para restar analíticamente ángulos en sexagesimal, en forma compleja:

  1. Restamos cada una de las unidades del ángulo (grados, minutos y segundos).
  2. Si al restar los segundos, el minuendo es menor que el sustraendo, transformaremos un minuto en 60" y se lo sumaremos a los segundos.
  3. Si al restar los minutos, el minuendo es menor que el sustraendo, transformaremos un grado en 60' y se lo sumaremos a los minutos.
  4. Terminaremos restando los grados normalmente.

Veamos un ejemplo:

ejercicio

Ejemplo: Resta de ángulos


Calcula la siguiente resta de ángulo en sexagesimal en forma compleja :

62^\circ - 56^\circ \, 48' \, 35''


Multiplicación por un número natural

Multiplicar un ángulo por un número natural equivale a sumar el ángulo consigo mismo tantas veces como indique el número.

  • La multiplicación gráfica de un ángulo por un número natural se hace colocando el ángulo en posición de consecutivo consigo mismo tantas veces como indique el número.
  • La multiplicación analítica se realiza multiplicando el número por la amplitud del ángulo.

ejercicio

Procedimiento


Para multiplicar analíticamente un ángulo en sexagesimal, en forma compleja, por un número natural:

  1. Multiplicamos por ese número cada una de las unidades del ángulo (grados, minutos y segundos).
  2. Si los segundos resultantes son superiores a 60, los transformamos en minutos, y se lo añadimos a los minutos.
  3. Si los minutos resultantes son superiores a 60, los transformamos en grados, y se lo añadimos a los grados.


Veamos un ejemplo:

ejercicio

Ejemplo: Multiplicación de un ángulo por un número


Calcula la siguiente multiplicación de un ángulo en sexagesimal en forma compleja por un número natural:

3 \cdot (18^\circ \, 26' \, 35'')

División por un número natural

La división de un ángulo por un número natural es una operación que consiste en separar el ángulo en tantas partes iguales como nos indique el número.

  • La división se realiza de forma analítica dividiendo la amplitud del ángulo entre el número natural correspondiente.
  • La división gráfica resulta más compleja ya que no siempre se puede hacer con regla y compás.

Por ejemplo, la división de un ángulo en tres partes iguales (el famoso problema de la trisección del ángulo), es imposible para la mayor parte de los ángulos. En cambio, siempre es posible calcular la división de un ángulo en dos partes iguales gráficamente, mediante el trazado de la bisectriz del ángulo.

ejercicio

Procedimiento


Para dividir analíticamente un ángulo en sexagesimal, en forma compleja, entre un número natural:

  1. Dividimos los grados entre ese número.
  2. Transformamos el resto de la división en minutos, multiplicándolo por 60, y lo sumamos a los que teníamos.
  3. Dividimos los minutos.
  4. Transformamos el resto de la división en segundos, multiplicándolo por 60, y lo sumamos a los segundos que teníamos. #Dividimos los segundos.

Veamos un ejemplo:

ejercicio

Ejemplo: División por un número en forma compleja


Calcula la siguiente división de un ángulo en sexagesimal en forma compleja entre un número natural:

(66^\circ \, 45' \, 36''):4


Actividades

Ángulos en los polígonos

Ángulos interiores y exteriores

  • Un ángulo interior o ángulo interno es un ángulo formado por dos lados de un polígono que comparten un extremo común y que está contenido dentro del polígono. Un polígono simple tiene exactamente un ángulo interno por cada vértice.
  • Un ángulo exterior o ángulo externo es un ángulo formado por un lado de un polígono y la prolongación de un lado adyacente. En cada vértice de un polígono es posible formar dos ángulos exteriores. Cada ángulo exterior es suplementario del ángulo interior formado en el mismo vértice.

En el dibujo de la derecha, el ángulo \alpha \, es interno y los ángulos \beta \, y \beta' \,son sus correspondientes ángulos externos.

Polígonos cóncavos y convexos

  • Un polígono es convexo si todos sus ángulos interiores miden menos de 180º.
  • Un polígono es cóncavo si alguno de sus ángulos interiores mide más de 180º.

Ángulos en un triángulo

ejercicio

Propiedad


Los tres ángulos interiores de un triángulo suman 180º.

Ángulos en un cuadrilátero

ejercicio

Propiedad


Los cuatro ángulos interiores de un cuadrilátero suman 360º.

Ángulos en un polígono de n lados

ejercicio

Propiedades


  • La suma de los ángulos interiores de un polígono de n\, lados es igual a (n-2) \cdot 180^\circ.
  • Si el polígono de n\, lados es regular:
    • Cada ángulo interior mide \cfrac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n}.
    • Cada ángulo exterior mide \cfrac{360^\circ}{n}.

Actividades

Ángulos en la circunferencia

Ángulo central

Se llama ángulo central al que tiene su vértice en el centro de la circunferencia y los lados son radios de ella.

En la figura está representado el ángulo \widehat{AOB} y su arco correspondiente AB.

La medida angular del arco AB es la de su ángulo central \widehat{AOB}.

Ángulo inscrito

Se llama ángulo inscrito en una circunferencia al que tiene su vértice sobre la circunferencia y sus lados la cortan.

En la figura está representado el ángulo inscrito \widehat{BAC}.

Propiedades

ejercicio

Propiedades


  1. Dos ángulos inscritos en una circunferencia, que abarcan el mismo arco son iguales.
  2. La medida de un ángulo inscrito en una circunferencia es la mitad del arco que abarca, es decir, la mitad del ángulo central correspondiente.
  3. Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto.

Actividades y videotutoriales


Ángulos horizontales

Angulos horizontales son los ángulos que se encuentran contenidos en el plano horizontal. Su medida se realiza con respecto al meridiano terrestre en el cual nos encontremos situados.

Puntos cardinales

Los puntos cardinales son los cuatro sentidos que conforman un sistema de referencia cartesiano para representar la orientación en un mapa o en la propia superficie terrestre. Son los siguientes: Este (E), Oeste (O), Norte (N) y Sur (S).

  • El Este, que viene señalado por el lugar aproximado donde sale el Sol cada día.
  • El Oeste, el punto indicado por la puesta del Sol en su movimiento aparente.
  • La línea Este–Oeste se la considera como el eje de las abscisas en un sistema de coordenadas geográficas.
  • El eje de las ordenadas estaría descrito por la línea Norte–Sur, que se corresponde con el eje de rotación terrestre.

Esta composición genera cuatro ángulos de noventa grados que a su vez se dividen por las bisectrices, generando Noroeste (NE), Suroeste (SE), Noreste (NE) y Sureste (SE).

Si seguimos subdividiendo, obtenemos 8 direcciones terciarias: Nor-noroeste (NNO); Nor-noroeste (NNO); Sur-sureste (SSE); Sur-suroeste (SSO); Este-noreste (ENE); Este-sureste (ESE); Oeste-noroeste (ONO) y Oeste-suroeste (OSO), obteniendose la rosa de los vientos que es usada en navegación desde siglos ancestrales, y que tienes representada en la imagen de la derecha.

Rosa de los vientos

La palabra cardinal se deriva del nombre latino «cardo», que identificaba, en las ciudades romanas, la calle trazada de norte a sur y que pasaba por el centro de la ciudad. Esto significa que el único punto verdaderamente cardinal, al menos desde el punto de vista etimológico, debería ser el Norte, y, en menor grado, el Sur.

Por eso se usa la expresión «de una importancia cardinal» cuando se quiere resaltar esa importancia. De los puntos cardinales, es el Norte el que identifica la dirección de la orientación, por lo que suele decirse en sentido figurado que una persona ha perdido su Norte cuando se encuentra desorientada o ha perdido su rumbo.

Rumbo

El rumbo es la dirección en la que nos movemos o navegamos, o en la cual nos dirigimos o miramos. Hay dos tipos:

  • Rumbo cuadrantal (rumbo): si lo expresamos como el ángulo agudo que forma el eje Norte-Sur con la dirección del avance.
  • Rumbo circular (azimut): si lo expresamos como el ángulo entre el eje Norte y la dirección del avance, medido de 0º a 360º.

En navegación, anteriormente, el rumbo se expresaba en "cuadrantal", por referencia a un cuadrante de la rosa náutica, pero actualmente se utiliza el rumbo "circular".

Ejemplos de rumbos cuadrantales

Ejercicios

Herramientas personales
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