Ángulos

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Ángulo

Un ángulo es la porción del plano comprendido entre dos semirrectas que tienen el mismo origen.

En el dibujo de la derecha puedes ver como dos semirrectas con un origen común determinan siempre dos porciones del plano y por tanto dos ángulos, A y B.

Tipos de ángulos

  • Ángulo nulo

Es el ángulo definido por dos semirrectas que coinciden. No barre ninguna porción del plano.

  • Ángulo llano

Cuando las dos semirrectas que lo definen tienen la misma dirección, aunque sentidos opuestos. Barre un semiplano, esto es, la mitad del plano.

  • Ángulo convexo

Si es menor que un ángulo llano.

  • Ángulo cóncavo

Si es mayor que un ángulo llano.

  • Ángulo recto

Es el ángulo convexo definido por dos semirrectas perpendiculares.

  • Ángulo completo

Es el ángulo que abarca todo el plano.

  • Ángulo agudo

Se llaman ángulos agudos a los que son menores que un ángulo recto.

  • Ángulo obtuso

Se llaman ángulos obtusos a aquellos ángulos convexos (menores que un ángulo llano) que son mayores que un ángulo recto.

ejercicio

Actividad Interactiva: Ángulos


1. Animación que muestra los distintos tipos de ángulos.

Medida de ángulos

Sistema sexagesimal

En este sistema la unidad es el grado sexagesimal y el ángulo completo tiene 360º.

El ángulo llano tiene 180º, porque es la mitad de un ángulo completo y el ángulo recto tiene 90º, porque es la mitad de un ángulo llano. Cuatro ángulos rectos forman un ángulo completo.

ejercicio

Actividad Interactiva: Sistema sexagesimal


1. Representación de ángulos.

Un grado sexagesimal se divide en otras unidades más pequeñas llamadas minutos sexageximales. Un grado equivale a 60 minutos (1º=60').

Un minuto sexagesimal, a su vez, también se divide en otras unidades más pequeñas, llamadas segundos sexagesimales. Un minuto equivale a 60 segundos (1'=60").

Operaciones con ángulos

Suma

La medida del tiempo, igual que los ángulos, se realiza en el sistema sexagesimal. Analicemos el siguiente ejemplo:

ejercicio

Ejemplo: Suma en el sistema sexagesimal


Luis es un corredor de maratón que para entrenarse corrió dos días seguidos una maratón. Obtuvo los siguientes registros: el primer día corrió la maratón en 2 h 48 min 35 s; el segundo día, en 2 h 45 min 30 s. ¿Cuánto tiempo corrió Luis en ambos días?

Los mismos procedimientos hay que realizar para sumar ángulos.

ejercicio

Actividad Interactiva: Suma de ángulos


1. Suma de ángulos en el sistema sexagesimal.

Resta

Para restar tendremos en cuenta las mismas consideraciones que para sumar. Analicemos el siguiente ejemplo:

ejercicio

Ejemplo: Resta en el sistema sexagesimal


En la primera carrera, Luis había tardado 2 h 48 min 35 s y su compañero corrió la maratón en 3 horas exactamente. ¿Cuál es la diferencia de tiempo entre ambos?

ejercicio

Actividad Interactiva: Resta de ángulos


1. Resta de ángulos en el sistema sexagesimal.

Multiplicación por un número natural

Para multiplicar un ángulo por un número natural debemos multiplicar por ese número cada una de las unidades del ángulo (grados, minutos y segundos). Si alguno de los productos de los segundos o minutos es superior a 60, lo transformamos en una unidad de orden inmediatamente superior.

Analicemos el siguiente ejemplo:

ejercicio

Ejemplo: Producto por un número en el sistema sexagesimal


Multiplica 18º 26' 35" por 3.

ejercicio

Actividad Interactiva: Producto por un número en el sistema sexagesimal


1. Producto de ángulos por un número natural en el sistema sexagesimal.

División por un número natural

Para dividir un ángulo por un número natural dividimos los grados entre ese número. Transformamos el resto de la división en minutos, multiplicándolo por 60, y lo sumamos a los que teníamos. Dividimos los minutos. Transformamos el resto de la división en segundos, multiplicándolo por 60, y lo sumamos a los segundos que teníamos. Dividimos los segundos.

Analicemos el siguiente ejemplo:

ejercicio

Ejemplo: División por un número en el sistema sexagesimal


Divide 66º 45' 36" entre 4.

ejercicio

Actividad Interactiva: División por un número en el sistema sexagesimal


1. División de ángulos por un número natural en el sistema sexagesimal.

Relaciones entre ángulos

Ángulos complementarios y suplementarios

  • Dos ángulos son complementarios si suman un ángulo recto.
  • Dos ángulos son suplementarios si suman un ángulo llano).

ejercicio

Actividad Interactiva: Ángulos complementarios y suplementarios


1. Calcula los ángulos complementario y suplementario.

Propiedades

ejercicio

Propiedades: Relaciones entre ángulos


  1. Dos ángulos opuestos por el vértice (vértice común y lados de uno prolongación de los del otro) son iguales.
  2. Los ángulos que forma una recta al cortar a dos rectas paralelas son iguales.
  3. Dos ángulos con lados perpendiculares son:
  • Iguales: si ambos son agudos o ambos obtusos.
  • Suplementarios: si uno es agudo y el otro obtuso.

Ángulos en los polígonos

Ángulos interiores y exteriores

  • Un ángulo interior o ángulo interno es un ángulo formado por dos lados de un polígono que comparten un extremo común y que está contenido dentro del polígono. Un polígono simple tiene exactamente un ángulo interno por cada vértice.
  • Un ángulo exterior o ángulo externo es un ángulo formado por un lado de un polígono y la prolongación de un lado adyacente. En cada vértice de un polígono es posible formar dos ángulos exteriores. Cada ángulo exterior es suplementario del ángulo interior formado en el mismo vértice.

En el dibujo de la derecha, el ángulo \alpha \, es interno y los ángulos \beta \, y \beta' \,son sus correspondientes ángulos externos.

Polígonos cóncavos y convexos

  • Un polígono es convexo si todos sus ángulos interiores miden menos de 180º.
  • Un polígono es cóncavo si alguno de sus ángulos interiores mide más de 180º.

Ángulos en un triángulo

ejercicio

Propiedad


Los tres ángulos de un triángulo suman 180º.

Ángulos en un polígono

ejercicio

Teorema


La suma de los ángulos interiores de un polígono de n\, lados es igual a (n-2) \cdot 180^\circ.

Las siguientes actividades te ayudarán a comprender el porqué de este teorema.

ejercicio

Actividad Interactiva: Ángulos en un polígono


Actividad 1: Ángulos en un cuadrilátero.
Actividad 2: Ángulos en un pentágono
Actividad 3: Ángulos en un hexágono y en un polígono cualquiera.
Herramientas personales
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