Ángulos

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Ángulo

Un ángulo es la porción del plano comprendido entre dos semirrectas que tienen el mismo origen.

En el dibujo de la derecha puedes ver como dos semirrectas con un origen común determinan siempre dos porciones del plano y por tanto dos ángulos, A y B.

Tipos de ángulos

Clasificación de los ángulos según su amplitud

  • Ángulo nulo es aquel definido por dos semirrectas que coinciden. No abarca ninguna porción del plano.
  • Ángulo llano es aquel definido por dos semirrectas con la misma dirección, aunque sentidos opuestos. Abarca un semiplano, esto es, la mitad del plano.
  • Ángulo convexoes aquel que es menor que un ángulo llano.
  • Ángulo cóncavo es aquel que es mayor que un ángulo llano.
  • Ángulo recto es aquel ángulo convexo definido por dos semirrectas perpendiculares. Abarca la cuarta parte de un plano.
  • Ángulo agudo es aquel que es menor que un ángulo recto.
  • Ángulo obtuso es aquel que es mayor que un ángulo recto y menor que un ángulo llano.
  • Ángulo completo es aquel que abarca todo el plano.

Ángulos complementarios, suplementarios y opuestos por el vértice

  • Ángulos complementarios son aquellos cuya suma es un ángulo recto.

  • Ángulos suplementarios son aquellos cuya suma es un ángulo llano.

  • Ángulos opuestos por el vértice son aquellos que cumplen que los lados de uno son semirrectas opuestas a los lados del otro.

En la imagen de la derecha, a y c son opuestos por el vértice, al igual que b y d.

Ángulos entre dos paralelas cortadas por una transversal

Si una recta transversal corta a dos rectas paralelas:

  • Ángulos alternos internos: son los ángulos que están entre las paralelas a distinto lado de ellas y a distinto lado de la transversal.
  • Ángulos alternos externos: son los ángulos que están en la parte exterior de las paralelas a distinto lado de ellas y a distinto lado de la transversal.
  • Ángulos correspondientes: son los que están del mismo lado de la transversal pero uno es interno y el otro externo a las dos rectas paralelas.
  • Ángulos conjugados internos: son dos ángulos internos a las dos rectas paralelas y del mismo lado de la transversal.
  • Ángulos conjugados internos: son dos ángulos externos a las dos rectas paralelas y del mismo lado de la transversal.
  • Ángulos adyacentes: son dos ángulos que tienen el vértice común, un lado común que los separa y los otros dos lados en línea recta.

ejercicio

Propiedades


  • Ángulos alternos internos son iguales.
  • Ángulos alternos externos son iguales.
  • Ángulos correspondientes son iguales.
  • Ángulos opuestos por el vértice son iguales.

  • Ángulos conjugados internos son suplementarios.
  • Ángulos conjugados externos son suplementarios.
  • Ángulos adyacentes son suplementarios.
Alternos internos: 4=6; 3=5Alternos externos: 1=7; 2=8Correspondientes: 1=5; 2=6; 4=8; 3=7Opuestos por el vértice: 1=3; 2=4; 5=7; 6=8Conjugados internos: 3 y 6; 5 y 4Conjugados externos: 2 y 7; 1 y 8Adyacentes: 1 y 2; 2 y 3; 3 y 4; 4 y 1; 5 y 6; 6 y 7; 7 y 8; 8 y 5
Aumentar
Alternos internos: 4=6; 3=5

Alternos externos: 1=7; 2=8

Correspondientes: 1=5; 2=6; 4=8; 3=7

Opuestos por el vértice: 1=3; 2=4; 5=7; 6=8

Conjugados internos: 3 y 6; 5 y 4

Conjugados externos: 2 y 7; 1 y 8

Adyacentes: 1 y 2; 2 y 3; 3 y 4; 4 y 1; 5 y 6; 6 y 7; 7 y 8; 8 y 5

Medida de ángulos

Sistema sexagesimal

En este sistema la unidad es el grado sexagesimal y el ángulo completo tiene 360º.

El ángulo llano tiene 180º, porque es la mitad de un ángulo completo y el ángulo recto tiene 90º, porque es la mitad de un ángulo llano. Cuatro ángulos rectos forman un ángulo completo.

ejercicio

Actividad Interactiva: Sistema sexagesimal


1. Representación de ángulos.

Un grado sexagesimal se divide en otras unidades más pequeñas llamadas minutos sexageximales. Un grado equivale a 60 minutos (1º=60').

Un minuto sexagesimal, a su vez, también se divide en otras unidades más pequeñas, llamadas segundos sexagesimales. Un minuto equivale a 60 segundos (1'=60").

Operaciones con ángulos

Suma

La medida del tiempo, igual que los ángulos, se realiza en el sistema sexagesimal. Analicemos el siguiente ejemplo:

ejercicio

Ejemplo: Suma en el sistema sexagesimal


Luis es un corredor de maratón que para entrenarse corrió dos días seguidos una maratón. Obtuvo los siguientes registros: el primer día corrió la maratón en 2 h 48 min 35 s; el segundo día, en 2 h 45 min 30 s. ¿Cuánto tiempo corrió Luis en ambos días?

Los mismos procedimientos hay que realizar para sumar ángulos.

ejercicio

Actividad Interactiva: Suma de ángulos


1. Suma de ángulos en el sistema sexagesimal.

Resta

Para restar tendremos en cuenta las mismas consideraciones que para sumar. Analicemos el siguiente ejemplo:

ejercicio

Ejemplo: Resta en el sistema sexagesimal


En la primera carrera, Luis había tardado 2 h 48 min 35 s y su compañero corrió la maratón en 3 horas exactamente. ¿Cuál es la diferencia de tiempo entre ambos?

ejercicio

Actividad Interactiva: Resta de ángulos


1. Resta de ángulos en el sistema sexagesimal.

Multiplicación por un número natural

Para multiplicar un ángulo por un número natural debemos multiplicar por ese número cada una de las unidades del ángulo (grados, minutos y segundos). Si alguno de los productos de los segundos o minutos es superior a 60, lo transformamos en una unidad de orden inmediatamente superior.

Analicemos el siguiente ejemplo:

ejercicio

Ejemplo: Producto por un número en el sistema sexagesimal


Multiplica 18º 26' 35" por 3.

ejercicio

Actividad Interactiva: Producto por un número en el sistema sexagesimal


1. Producto de ángulos por un número natural en el sistema sexagesimal.

División por un número natural

Para dividir un ángulo por un número natural dividimos los grados entre ese número. Transformamos el resto de la división en minutos, multiplicándolo por 60, y lo sumamos a los que teníamos. Dividimos los minutos. Transformamos el resto de la división en segundos, multiplicándolo por 60, y lo sumamos a los segundos que teníamos. Dividimos los segundos.

Analicemos el siguiente ejemplo:

ejercicio

Ejemplo: División por un número en el sistema sexagesimal


Divide 66º 45' 36" entre 4.

ejercicio

Actividad Interactiva: División por un número en el sistema sexagesimal


1. División de ángulos por un número natural en el sistema sexagesimal.

Relaciones entre ángulos

Ángulos complementarios y suplementarios

  • Dos ángulos son complementarios si suman un ángulo recto.
  • Dos ángulos son suplementarios si suman un ángulo llano).

ejercicio

Actividad Interactiva: Ángulos complementarios y suplementarios


1. Calcula los ángulos complementario y suplementario.

Propiedades

ejercicio

Propiedades: Relaciones entre ángulos


  1. Dos ángulos opuestos por el vértice (vértice común y lados de uno prolongación de los del otro) son iguales.
  2. Los ángulos que forma una recta al cortar a dos rectas paralelas son iguales.
  3. Dos ángulos con lados perpendiculares son:
  • Iguales: si ambos son agudos o ambos obtusos.
  • Suplementarios: si uno es agudo y el otro obtuso.

Ángulos en los polígonos

Ángulos interiores y exteriores

  • Un ángulo interior o ángulo interno es un ángulo formado por dos lados de un polígono que comparten un extremo común y que está contenido dentro del polígono. Un polígono simple tiene exactamente un ángulo interno por cada vértice.
  • Un ángulo exterior o ángulo externo es un ángulo formado por un lado de un polígono y la prolongación de un lado adyacente. En cada vértice de un polígono es posible formar dos ángulos exteriores. Cada ángulo exterior es suplementario del ángulo interior formado en el mismo vértice.

En el dibujo de la derecha, el ángulo \alpha \, es interno y los ángulos \beta \, y \beta' \,son sus correspondientes ángulos externos.

Polígonos cóncavos y convexos

  • Un polígono es convexo si todos sus ángulos interiores miden menos de 180º.
  • Un polígono es cóncavo si alguno de sus ángulos interiores mide más de 180º.

Ángulos en un triángulo

ejercicio

Propiedad


Los tres ángulos interiores de un triángulo suman 180º.

Ángulos en un cuadrilátero

ejercicio

Propiedad


Los cuatro ángulos interiores de un cuadrilátero suman 360º.

Ángulos en un polígono de n lados

ejercicio

Propiedad


  • La suma de los ángulos interiores de un polígono de n\, lados es igual a (n-2) \cdot 180^\circ.
  • Si el polígono de n\, lados es regular, cada ángulo interior mide \cfrac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n}

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