Ángulos

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Ángulo

Un ángulo es la porción del plano comprendido entre dos semirrectas que tienen el mismo origen.

En el dibujo de la derecha puedes ver como dos semirrectas con un origen común determinan siempre dos porciones del plano y por tanto dos ángulos, A y B.

Tipos de ángulos

Clasificación de los ángulos según su amplitud

  • Ángulo nulo es aquel definido por dos semirrectas que coinciden. No abarca ninguna porción del plano.
  • Ángulo llano es aquel definido por dos semirrectas con la misma dirección, aunque sentidos opuestos. Abarca un semiplano, esto es, la mitad del plano.
  • Ángulo convexoes aquel que es menor que un ángulo llano.
  • Ángulo cóncavo es aquel que es mayor que un ángulo llano.
  • Ángulo recto es aquel ángulo convexo definido por dos semirrectas perpendiculares. Abarca la cuarta parte de un plano.
  • Ángulo agudo es aquel que es menor que un ángulo recto.
  • Ángulo obtuso es aquel que es mayor que un ángulo recto y menor que un ángulo llano.
  • Ángulo completo es aquel que abarca todo el plano.

Ángulos complementarios, suplementarios y opuestos por el vértice

  • Ángulos complementarios son aquellos cuya suma es un ángulo recto.

  • Ángulos suplementarios son aquellos cuya suma es un ángulo llano.

  • Ángulos opuestos por el vértice son aquellos que cumplen que los lados de uno son semirrectas opuestas a los lados del otro.

En la imagen de la derecha, a y c son opuestos por el vértice, al igual que b y d.

Ángulos entre dos paralelas cortadas por una transversal

Si una recta transversal corta a dos rectas paralelas:

  • Ángulos alternos internos: son los ángulos que están entre las paralelas a distinto lado de ellas y a distinto lado de la transversal.
  • Ángulos alternos externos: son los ángulos que están en la parte exterior de las paralelas a distinto lado de ellas y a distinto lado de la transversal.
  • Ángulos correspondientes: son los que están del mismo lado de la transversal pero uno es interno y el otro externo a las dos rectas paralelas.
  • Ángulos conjugados internos: son dos ángulos internos a las dos rectas paralelas y del mismo lado de la transversal.
  • Ángulos conjugados internos: son dos ángulos externos a las dos rectas paralelas y del mismo lado de la transversal.
  • Ángulos adyacentes: son dos ángulos que tienen el vértice común, un lado común que los separa y los otros dos lados en línea recta.

ejercicio

Propiedades


  • Ángulos alternos internos son iguales.
  • Ángulos alternos externos son iguales.
  • Ángulos correspondientes son iguales.
  • Ángulos opuestos por el vértice son iguales.

  • Ángulos conjugados internos son suplementarios.
  • Ángulos conjugados externos son suplementarios.
  • Ángulos adyacentes son suplementarios.

Alternos internos: 4=6; 3=5Alternos externos: 1=7; 2=8Correspondientes: 1=5; 2=6; 4=8; 3=7Opuestos por el vértice: 1=3; 2=4; 5=7; 6=8Conjugados internos: 3 y 6; 5 y 4Conjugados externos: 2 y 7; 1 y 8Adyacentes: 1 y 2; 2 y 3; 3 y 4; 4 y 1; 5 y 6; 6 y 7; 7 y 8; 8 y 5
Aumentar
Alternos internos: 4=6; 3=5

Alternos externos: 1=7; 2=8

Correspondientes: 1=5; 2=6; 4=8; 3=7

Opuestos por el vértice: 1=3; 2=4; 5=7; 6=8

Conjugados internos: 3 y 6; 5 y 4

Conjugados externos: 2 y 7; 1 y 8

Adyacentes: 1 y 2; 2 y 3; 3 y 4; 4 y 1; 5 y 6; 6 y 7; 7 y 8; 8 y 5

Medida de ángulos

Sistema sexagesimal

  • Si dividimos el ángulo completo en 360 partes iguales, cada una de ellas decimos que mide un grado sexagesimal. Para indicar que una medida está en grados sexagesimales se acompaña la medida numérica con un superíndice en forma de circulito (º). Así tenemos que:
    • El ángulo completo tiene 360º.
    • El ángulo llano tiene 180º
    • El ángulo recto tiene 90º.
  • Un grado sexagesimal se divide en otras unidades más pequeñas llamadas minutos sexageximales. Un grado equivale a 60 minutos (1º=60').
  • Un minuto sexagesimal, a su vez, también se divide en otras unidades más pequeñas, llamadas segundos sexagesimales. Un minuto equivale a 60 segundos (1'=60").

Calculadora

Calculadora: Pasar ángulos con formato decimal a formato "grados, minutos y segundos" y viceversa


Para pasar ángulos (en sexagesimal) con formato decimal a formato "grados, minutos y segundos", y viceversa, usaremos la tecla Conversor formato ángulo.

Sistema centesimal

  • Si dividimos el ángulo completo en 400 partes iguales, cada una de ellas decimos que mide un grado centesimal. Para indicar que una medida está en grados centesimales se acompaña la medida numérica con la letra g en forma de superíndice. Así tenemos que:
    • El ángulo completo tiene 400g.
    • El ángulo llano tiene 200g.
    • El ángulo recto tiene 100g.
  • Un grado centesimal se divide en otras unidades más pequeñas llamadas minutos centesimales. Un grado centesimal equivale a 100 minutos centesimales (100m o 100c).
  • Un minuto centesimal, a su vez, también se divide en otras unidades más pequeñas, llamadas segundos centesimales. Un minuto centesimal equivale a 100 segundos centesimales (100s o 100cc).

El radián

El radián (simbolizado rad) se define como el ángulo que abarca un arco de circunferencia cuya longitud es igual a la del radio de la propia circunferencia.

En la figura adjunta el ángulo \phi \, mide un radián porque abarca un arco que mide igual que el radio de la circunferencia.

La utilidad de la medida en radianes frente a otras medidas de ángulos, es que ayuda a simplificar muchas fórmulas trigonométricas.

El radian se usa también en Física. Por ejemplo, la velocidad angular se suele medir en radianes por segundo (rad/s).

Imagen:radian.gif

ejercicio

Equivalencia entre radianes y grados sexagesimales


\pi \, rad = 180^\circ

En consecuencia:

1 \, rad=\cfrac{180^\circ}{\pi} \approx 57^\circ 17' 45 '' \qquad \qquad1^\circ = \cfrac {\pi \, rad} {180} \approx 0.0175 \, rad

Utilizando la equivalencia anterior, y mediante una regla de tres, podemos obtener las siguientes equivalencias:

Grados   30° 45° 60° 90° 180° 270° 360°
Radianes 0 π/6 π/4 π/3 π/2 π 3π/2

ejercicio

Medida de ángulos.


Operaciones con ángulos

Suma

La medida del tiempo, igual que los ángulos, se realiza en el sistema sexagesimal. Analicemos el siguiente ejemplo:

ejercicio

Ejemplo: Suma en el sistema sexagesimal


Luis es un corredor de maratón que para entrenarse corrió dos días seguidos una maratón. Obtuvo los siguientes registros: el primer día corrió la maratón en 2 h 48 min 35 s; el segundo día, en 2 h 45 min 30 s. ¿Cuánto tiempo corrió Luis en ambos días?

Los mismos procedimientos hay que realizar para sumar ángulos.

Resta

Para restar tendremos en cuenta las mismas consideraciones que para sumar. Analicemos el siguiente ejemplo:

ejercicio

Ejemplo: Resta en el sistema sexagesimal


En la primera carrera, Luis había tardado 2 h 48 min 35 s y su compañero corrió la maratón en 3 horas exactamente. ¿Cuál es la diferencia de tiempo entre ambos?

Multiplicación por un número natural

Para multiplicar un ángulo por un número natural debemos multiplicar por ese número cada una de las unidades del ángulo (grados, minutos y segundos). Si alguno de los productos de los segundos o minutos es superior a 60, lo transformamos en una unidad de orden inmediatamente superior.

Analicemos el siguiente ejemplo:

ejercicio

Ejemplo: Producto por un número en el sistema sexagesimal


Multiplica 18º 26' 35" por 3.

División por un número natural

Para dividir un ángulo por un número natural dividimos los grados entre ese número. Transformamos el resto de la división en minutos, multiplicándolo por 60, y lo sumamos a los que teníamos. Dividimos los minutos. Transformamos el resto de la división en segundos, multiplicándolo por 60, y lo sumamos a los segundos que teníamos. Dividimos los segundos.

Analicemos el siguiente ejemplo:

ejercicio

Ejemplo: División por un número en el sistema sexagesimal


Divide 66º 45' 36" entre 4.

Ángulos en los polígonos

Ángulos interiores y exteriores

  • Un ángulo interior o ángulo interno es un ángulo formado por dos lados de un polígono que comparten un extremo común y que está contenido dentro del polígono. Un polígono simple tiene exactamente un ángulo interno por cada vértice.
  • Un ángulo exterior o ángulo externo es un ángulo formado por un lado de un polígono y la prolongación de un lado adyacente. En cada vértice de un polígono es posible formar dos ángulos exteriores. Cada ángulo exterior es suplementario del ángulo interior formado en el mismo vértice.

En el dibujo de la derecha, el ángulo \alpha \, es interno y los ángulos \beta \, y \beta' \,son sus correspondientes ángulos externos.

Polígonos cóncavos y convexos

  • Un polígono es convexo si todos sus ángulos interiores miden menos de 180º.
  • Un polígono es cóncavo si alguno de sus ángulos interiores mide más de 180º.

Ángulos en un triángulo

ejercicio

Propiedad


Los tres ángulos interiores de un triángulo suman 180º.

Ángulos en un cuadrilátero

ejercicio

Propiedad


Los cuatro ángulos interiores de un cuadrilátero suman 360º.

Ángulos en un polígono de n lados

ejercicio

Propiedad


  • La suma de los ángulos interiores de un polígono de n\, lados es igual a (n-2) \cdot 180^\circ.
  • Si el polígono de n\, lados es regular, cada ángulo interior mide \cfrac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n}

Ángulos en la circunferencia

Ángulo central

Se llama ángulo central al que tiene su vértice en el centro de la circunferencia y los lados son radios de ella.

En la figura está representado el ángulo \widehat{AOB} y su arco correspondiente AB.

La medida angular del arco AB es la de su ángulo central \widehat{AOB}.

Ángulo inscrito

Se llama ángulo inscrito en una circunferencia al que tiene su vértice sobre la circunferencia y sus lados la cortan.

En la figura está representado el ángulo inscrito \widehat{BAC}.

Propiedades

ejercicio

Propiedades


  1. Dos ángulos inscritos en una circunferencia, que abarcan el mismo arco son iguales.
  2. La medida de un ángulo inscrito en una circunferencia es la mitad del arco que abarca, es decir, la mitad del ángulo central correspondiente.
  3. Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto.

Otros ángulos

Ángulos y puntos cardinales


Ejercicios

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Herramientas personales
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