Aproximaciones

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Aproximaciones

Cuando escribimos el número 3\sqrt2 queda reflejado con total precisión de qué número estamos hablando. Este número, tan sencillo de expresar con radicales, tiene, sin embargo, una expresión decimal que consta de infinitas cifras (4.2426406871192851464050661726291...). En la práctica, muchas veces es preferida la expresión decimal aproximada, con una cantidad reducida de cifras decimales (4.24), aunque ésta sea imprecisa, porque resulta más fácil captar su valor que expresándolo con radicales.

  • Cuando un número tiene muchas cifras, es difícil recordarlo y operar con él. Por eso lo solemos sustituir por otro más manejable de valor similar, prescindiendo de sus últimas cifras. Ese otro número más sencillo decimos que es una aproximación del número de partida.

  • Cuando aproximamos un número, nos quedamos con sus primeras cifras y completamos con ceros. Esas cifras, con las que nos quedamos, se llaman cifras significativas.
  • Llamamos orden de la aproximación, a la posición hasta la que nos quedamos con cifras significativas.
  • Se puede aproximar por defecto si el número utilizado es menor que el de partida, o por exceso si el número utilizado es mayor que el de partida.

ejercicio

Ejemplo: Aproximaciones


Aproxima por defecto y por exceso los siguientes números e indica el orden de la aproximación:

a) 263825 con 2 cifras significativas.
b) 6035192 con 1 cifra significativa.
c) 60.35 con 3 cifras significativas.

Redondeo

Para redondear un número a un determinado orden de unidades:

  1. Se sustituyen por ceros todas las cifras a la derecha de dicho orden
  2. Si la primera cifra sustituida es mayor o igual que cinco se suma una unidad a la cifra anterior

ejercicio

Ejemplo: Redondeo


Redondea los siguientes números:

a) 27640.342 a la centena.
b) 3857.567 a la décima.
c) 24572.2578 a la unidad de millar.

Truncamiento

Para truncar un número a un determinado orden de unidades se sustituyen por ceros todas las cifras a la derecha de dicho orden.

ejercicio

Ejemplo: Truncamiento


Trunca los siguientes números :

a) 27630.24578 a la milésima.
b) 3851.34 a la unidad.
c) 12345621.2 a la decena de millar.

Errores

Cuando damos una cantidad de forma aproximada, cometemos un error. Distinguiremos los siguientes tipos de errores:

Error absoluto

El error absoluto (E.A.) es la diferencia entre el valor real, Vr , y el aproximado, Va , en valor absoluto, es decir, siempre con signo positivo.

E.A.=  |V_r - V_a|\;

ejercicio

Ejemplo: Error absoluto


Una montaña mide 2475 m. Redondea la altura a las centenas y halla el error absoluto cometido:

Error relativo

El error relativo (E.R.) es el cociente entre el error absoluto y el valor real.

E. R= \cfrac {E.A.}{V_r}

ejercicio

Ejemplo: Error relativo


Una montaña mide 2475 m. Redondea la altura a las centenas y halla el error relativo cometido:

Cota del error

Para que la cantidad aproximada que utilizamos sea fiable, el error cometido debe estar controlado o acotado. Las cotas de error nos darán el máximo error que cometeremos al dar una aproximación de un número.

  • Llamaremos cota del error absoluto a un número k que cumpla que E.A. < k.
  • Llamaremos cota del error relativo a un número que cumpla que E.R. < .

ejercicio

Cotas del error absoluto y relativo


Cuando redondeamos un valor, podemos dar cotas de los errores de la siguiente manera:

  • Cota de error absoluto: k = 5 unidades del orden de la primera cifra no utilizada en el redondeo.
  • Cota del error relativo: = \cfrac{k} {V_r}
Cuando el valor real no es conocido (sólo tenemos un valor aproximado), el cálculo de las cotas del error se hace de la siguiente manera:

  • Cota de error absoluto: k = 5 unidades del orden de la primera cifra no significativa.
  • Cota del error relativo: = \cfrac{k} {V_a - k} \approx \cfrac{k} {V_a}

ejercicio

Ejemplo: Cota del error


a) Una montaña mide 2475 m. Halla la cota de los errores absoluto y relativo cometidos en el redondeo a las centenas.

b) Una montaña (que no se sabe lo que mide realmente) mide, aproximadamente, 2500 m (esta sería la cantidad redondeada). Halla la cota de los errores absoluto y relativo.

ejercicio

Corolario


Cuantas más cifras significativas se utilicen para dar una medida aproximada, menor es el error relativo cometido.

ejercicio

Ejercicio resuelto 1: Cota del error


Qué podemos decir del error absoluto y del error relativo de las siguientes mediciones:

a) La altura de un edificio es de 92 m.
b) La altura a la que vuela un avión es de 9.2 km.
c) La altura a la que está un satélite artificial es de 920 km.

ejercicio

Ejercicio resuelto 2: Cota del error


Comparar el error relativo cometido en estas mediciones:

a) 87 m     b) 5 km     c) 453 km     d) 4.53·1011 km

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