Aproximaciones y errores (3ºESO Académicas)
De Wikipedia
Tabla de contenidos[esconder] |
(Pág. 42)
Aproximaciones
En la vida real suelen presentarse situaciones en las que no se puede, o no interesa realizar cálculos con valores exactos, bien porque éstos no se conocen, bien por que la información que ofrece el resultado exacto es irrelevante. En estas situaciones se recurre al cálculo con aproximaciones.
Así, cuando un número tiene muchas cifras, es difícil recordarlo y operar con él. Entonces, lo solemos sustituir por otro más manejable de valor similar, prescindiendo de sus últimas cifras. Por ejemplo, al escribir el número 
queda reflejado con total precisión de qué número estamos hablando. Este número, tan sencillo de expresar con radicales, tiene, sin embargo, una expresión decimal que consta de infinitas cifras (4.2426406871192851464050661726291...). En la práctica, muchas veces es preferida la expresión decimal aproximada, con una cantidad reducida de cifras decimales (4.24), aunque ésta sea imprecisa, porque resulta más fácil captar su valor que expresándolo con radicales.
Otras veces, cuando hacemos una medición, el aparato de medida tiene limitaciones en cuanto a la precisión, por lo que la medida real no es posible averiguarla con exactitud y es sustituida por otra aproximada, más sencilla.
- Una aproximación de un número es una representación inexacta de dicho número que, sin embargo, es suficientemente fiel como para ser útil.
- Cuando aproximamos un número, nos quedamos con sus primeras cifras y completamos con ceros. Esas cifras, con las que nos quedamos, se llaman cifras significativas. A veces modificamos la última cifra con la que nos quedamos, dependiendo del tipo de aproximación que hagamos.
- Llamamos orden de la aproximación, a la posición hasta la que nos quedamos con cifras significativas.
- Se puede aproximar por defecto si el número utilizado es menor que el de partida, o por exceso si el número utilizado es mayor que el de partida.
Ejemplo: Aproximaciones
Aproxima por defecto y por exceso los siguientes números e indica el orden de la aproximación:
- a) 263825 con 2 cifras significativas.
- b) 6035192 con 1 cifra significativa.
- c) 60.35 con 3 cifras significativas.
Redondeo
El redondeo es una forma de aproximar números. Para redondear un número a un determinado orden de unidades hay que:
- Sustituir por ceros todas las cifras a la derecha de dicho orden.
- Si la primera cifra sustituida es mayor o igual que cinco se suma una unidad a la cifra anterior.
Ejemplo: Redondeo
Redondea los siguientes números:
- a) 27640.342 a la centena.
- b) 3857.567 a la décima.
- c) 24572.2578 a la unidad de millar.
Truncamiento
El truncamiento es una forma de aproximar números. Para truncar un número a un determinado orden de unidades se sustituyen por ceros todas las cifras a la derecha de dicho orden.
Ejemplo: Truncamiento
Trunca los siguientes números :
- a) 27630.24578 a la milésima.
- b) 3851.34 a la unidad.
- c) 12345621.2 a la decena de millar.
Medida de errores
Cuando damos una cantidad de forma aproximada, cometemos un error. Distinguiremos los siguientes tipos de errores:
Error absoluto
El error absoluto (E.A.) es la diferencia entre el valor real, Vr , y el aproximado, Va , en valor absoluto, es decir, siempre con signo positivo.
Ejemplo: Error absoluto
Una montaña mide 2475 m. Redondea la altura a las centenas y halla el error absoluto cometido:
Error relativo
El error relativo (E.R.) es el cociente entre el error absoluto y el valor real.
Ejemplo: Error relativo
Una montaña mide 2475 m. Redondea la altura a las centenas y halla el error relativo cometido:
Cota del error
Para que la cantidad aproximada que utilizamos sea fiable, el error cometido debe estar controlado o acotado. Las cotas de error nos darán el máximo error que cometeremos al dar una aproximación de un número.
- Llamaremos cota del error absoluto a un número k que cumpla que E.A. < k.
- Llamaremos cota del error relativo a un número k´ que cumpla que E.R. < k´.
Cotas del error absoluto y relativo
Cuando redondeamos un valor, podemos dar cotas de los errores de la siguiente manera:
- Cota de error absoluto: k = 5 unidades del orden de la primera cifra no utilizada en el redondeo.
- Cota del error relativo: k´ =
- Cota de error absoluto: k = 5 unidades del orden de la primera cifra no significativa.
- Cota del error relativo: k´ =
Ejemplo: Cota del error
a) Una montaña mide 2475 m. Halla la cota de los errores absoluto y relativo cometidos en el redondeo a las centenas.
b) Una montaña (que no se sabe lo que mide realmente) mide, aproximadamente, 2500 m (esta sería la cantidad redondeada). Halla la cota de los errores absoluto y relativo.
Corolario
Cuantas más cifras significativas se utilicen para dar una medida aproximada, menor es el error relativo cometido.
Ejercicio resuelto 1: Cota del error
Qué podemos decir del error absoluto y del error relativo de las siguientes mediciones:
- a) La altura de un edificio es de 92 m.
- b) La altura a la que vuela un avión es de 9.2 km.
- c) La altura a la que está un satélite artificial es de 920 km.
Ejercicio resuelto 2: Cota del error
Comparar el error relativo cometido en estas mediciones:
- a) 87 m b) 5 km c) 453 km d) 4.53·1011 km
Ejercicios
Ejercicios propuestos
 Ejercicios propuestos: Aproximaciones (Pág. 43) |
