Continuidad: Idea intuitiva. Tipos de discontinuidades (1ºBach)

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Tabla de contenidos

1 Idea intuitiva de continuidad
2 Discontinuidades
3 Ejercicios propuestos

(Pág. 274)

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Idea intuitiva de continuidad

En este apartado pretendemos hacer una acercamiento al concepto de continuidad de una forma intuitiva, sin profundizar y sin usar el concepto de límite, el cual estudiaremos más adelante.

Una función entenderemos que es continua si podemos dibujar su gráfica de un solo trazo. Si en algún punto "se rompe" diremos que presenta una discontinuidad en dicho punto.

La continuidad en términos geométricos (7'15") Sinopsis:

Introducción al concepto de continuidad de forma intuitiva. Ejemplo gráfico de discontinuidades.

Propiedad

Las funciones definidas por expresiones analíticas elementales son continuas en todos los puntos de su dominio de definición.

Ejemplos:

a) $f(x)=x^2-3x+1 \;\!$ es continua en todos los puntos de su dominio: $D_f=\mathbb{R}$ .

b) $f(x)=\cfrac{x+2}{x+5} \;\!$ es continua en su dominio: $D_f=\mathbb{R}- \lbrace 5 \rbrace$ .

Criterios de continuidad (5'01") Sinopsis:

Video tutorial de matematicasbachiller.com

Ejemplos: Criterios de continuidad

1. Ejemplos (13'02") Sinopsis:

40 ejemplos del estudio de la continuidad de una función.

2. Ejemplos (13'32") Sinopsis:

24 ejemplos del estudio de la continuidad de una función.

3. Ejemplos (10'33") Sinopsis:

17 ejemplos del estudio de la continuidad de una función.

4. Ejemplos (8'45") Sinopsis:

4 ejemplos del estudio de la continuidad de una función.

5. Ejemplos (15'09") Sinopsis:

4 ejemplos del estudio de la continuidad de una función.

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Discontinuidades

Basicamente, nos podemos encontrar los siguientes tipos de discontinuidades en un punto $x=a\;$ :

$Discontinuidad \begin{cases} \begin{matrix} No \ evitable \\ (o \ esencial) \end{matrix} \begin{cases} De \ primera \ especie \begin{cases} De \ salto \ finito \\ De \ salto \ infinito \\ Asint\acute{o}tica \end{cases} \\ De \ segunda \ especie \end{cases} \\ \ \ Evitable \end{cases}$

Tipos de discontinuidades Descripción:

En esta escena podrás ver ejemplos de los distintos tipos de discontinuidades.

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Discontinuidades evitables

Discontinuidad evitable: La función no está definida en el punto $x=a\;$ o bien el punto está desplazado.

Evitable (no definida en un punto, tiene un hueco)

Evitable (punto desplazado que deja un hueco)

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Discontinuidades no evitables de primera especie

Discontinuidad de salto finito: La función da un salto al llegar a $x=a\;$ . Se define el salto como el valor absoluto de la diferencia, $\left| d-c \right|\;$ (ver gráfica adjunta).

Discontinuidad de salto infinito: La curva tiene una "rama infinita" en un solo lado del punto $x=a\;$ .

Discontinuidad asintótica. La curva tiene "ramas infinitas" en el punto $x=a\;$ . Decimos que la curva presenta una asíntota vertical en el punto $x=a\;$ .

Salto finito (Salto= $\left| d-c \right|\;$ )

Salto infinito

Asintótica

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Discontinuidad no evitable de segunda especie

Discontinuidad de segunda especie: La función, al acercarse al punto x=a lo hace, por ejemplo, de forma "oscilante".

Segunda especie

Cuando veamos el concepto de límite formalizaremos estas definiciones que aquí hemos visto de forma intuitiva.

Ejercicio resuelto: Tipos de discontinuidades

Indica qué tipo de discontinuidad presentan las siguientes funciones y en qué punto:

a) $\ y=\cfrac{1}{x}$ b) $y=\cfrac{1}{(x-2)^2}$ c) $y=\cfrac{x^2-2x}{(x-2)}$

d) $y = \begin{cases} x & \mbox{si }x \le 2 \\ 1 & \mbox{si }x>2 \end{cases}$ e) $y = \begin{cases} x & \mbox{si }x \ne 2 \\ 3 & \mbox{si }x=2 \end{cases}$