Inecuaciones

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Tabla de contenidos

1 Orden en el conjunto de los números reales
2 Inecuaciones
3 Inecuaciones con una incógnita
4 Inecuaciones con dos incógnitas

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Orden en el conjunto de los números reales

En el conjunto de los números reales existe un orden que queda constatado al representarlos gráficamente en la recta numérica.

Un número es mayor que otro si está situado más a la derecha en la recta numérica y es menor si está situado más a la izquierda.

Relación de orden

Dados dos números, $a\;$ y $b\;$ , se dará uno de los siguientes casos:

El primero es menor que el segundo: $a<b\;$ (Se lee "a es menor que b").
El primero es igual que el segundo: $a=b\;$ (Se lee "a es igual que b").
El primero es mayor que el segundo: $a>b\;$ (Se lee "a es mayor que b").

Notación:

Al comparar números, además de los símbolos anteriores, podemos utilizar también los siguientes:

Menor o igual que ( $\le\;$ )
Mayor o igual que ( $\ge\;$ )
Distinto ( $\ne\;$ )

Propiedades

Todo número negativo es menor que cero y todo número positivo es mayor que cero.
Si dos números son positivos, el mayor es el que tiene mayor valor absoluto.
Si dos números son negativos, el mayor es el que tiene menor valor absoluto.
Si $a > b\;$ , entonces $-b > -a \;$

Ejemplos

$15 > 3\,$

$-12 > -15\,$

$15 > 0 > -15\,$

$5 > 3 \Rightarrow -3 > -5,$

Relación de orden

Tutorial 1 (3'32") Sinopsis:

Relación de orden en el conjunto de los números reales.

Tutorial 2 (5'09") Sinopsis:

Desigualdades.

Ejemplo 1 (7'10") Sinopsis:

Representando desigualdades sencillas en la recta numérica.

Ejemplo 2 (4'49") Sinopsis:

Problemas verbales de desigualdades.

Ejercicio (1'37") Sinopsis:

Representa en la recta numérica los valores de x que cumplen que x < 4.

Relación de orden

Actividad 1 Descripción:

Representación gráfica de desigualdades en la recta numérica.

Autoevaluación 1 Descripción:

Escribir desigualdades numéricas.

Autoevaluación 2 Descripción:

Problemas verbales de desigualdades.

Autoevaluación 3 Descripción:

Representación gráfica de desigualdades en la recta numérica.

Autoevaluación 4 Descripción:

Autoevaluación sobre inecuaciones.

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Inecuaciones

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Inecuación

Una inecuación es una desigualdad entre expresiones algebraicas.
Para las desigualdades utilizaremos los símbolos: $<\;$ (menor que); $>\;$ (mayor que); $\le\;$ (menor o igual que) y $\ge\;$ (mayor o igual que).
Las inecuaciones que usan los dos primeros símbolos se llaman inecuaciones estrictas y las que utilizan los dos últimos, inecuaciones no estrictas.
Si las expresiones algebraicas son polinomios de grado 1, las inecuaciones se llaman lineales y si son de grado 2, cuadráticas.
Una solución de una inecuación es un conjunto de valores de las variables (uno de cada una) que hace que se cumpla la desigualdad.
Resolver una inecuación consiste en hallar todas sus soluciones.

Ejemplos

$5x+3y<1\;$ es una inecuación lineal estricta con dos incógnitas.

$x^2+3x \le 1\;$ es una inecuación cuadrática no estricta con una incógnita.

$\sqrt{x+3}>3\;$ es una inecuación estricta con una incógnita.

Inecuaciones

Tutorial 1 (5'28") Sinopsis:

Qué son las inecuaciones.

Tutorial 2 (24'17") Sinopsis:

Inecuaciones. Representación de sus soluciones en intervalos o gráficamente. Ejemplos.

Ejercicio (4'52") Sinopsis:

Comprueba si los valores x=0, x=1, x=2 y x=5 son o no son soluciones de las inecuaciones siguientes:

a) $x+2 \le 2x\;$

b) $3x+4>5x\;$

Autoevaluación Descripción:

Verificar soluciones de inecuaciones.

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Sistemas de inecuaciones

Un sistema de inecuaciones es una agrupación de dos o más inecuaciones.
Una solución de un sistema de inecuaciones es un conjunto de valores de las variables (uno de cada una) que hace que se cumplan todas las desigualdades del sistema.
Resolver un sistema de inecuaciones consiste en hallar todas sus soluciones. Para ello se hará la intersección de los conjuntos solución de las inecuaciones del sistema.

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Reglas para trabajar con inecuaciones

Reglas para trabajar con desigualdades

Sean $x, y, z \in \mathbb{R}$ , se cumplen las siguientes propiedades:

1. $x<y \Rightarrow x+z<y+z$

2. $x<y~;~ z>0 \Rightarrow x \cdot z<y \cdot z$

3. $x<y~;~ z<0 \Rightarrow x \cdot z>y \cdot z$

4. $x<y \, ; \ x,y \ne 0 \Rightarrow \cfrac{1}{x} > \cfrac{1}{y}$

Como consecuencia, en una inecuación:

Lo que está sumando en un lado de la desigualdad, pasa restando al otro miembro sin afectar a la desigualdad. Y viceversa.
Lo que está multiplicando a todo un miembro, pasa dividiendo al otro miembro. Y viceversa. En este caso la desigualdad sólo cambia de sentido si el número que pasa multiplicando o dividiendo es negativo.

¿Cuándo debe cambiar de sentido una desigualdad? (10'00") Sinopsis:

¿Cuándo debe cambiar de sentido una desigualdad?. Ejemplos.

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Inecuaciones con una incógnita

Una inecuación con una incógnita es una desigualdad entre expresiones matemáticas con una sola variable o incógnita.
Una solución de una inecuación con una incógnita, $x\;$ , es un valor de la variable $x\;$ que hace que se cumpla la desigualdad.
Resolver una inecuación consiste en hallar todas sus soluciones. Habitualmente son infinitas y se expresan mediante intervalos de la recta real, aunque tambien puede ser finitas o no existir.

Ejemplos

$x^2+3x \le 1\;$ es una inecuación cuadrática no estricta con una incógnita.
$x = -1\;$ es una solución de la inecuación anterior porque $(-1)^2+3(-1)=-2 \le 1$

Resolución de inecuaciones con una incógnita

Para resolver las inecuaciones con una incógnita podemos utilizar dos métodos:

El método algebraico que consiste en despejar la incógnita usando las reglas para trabajar con desigualdades antes mencionadas. Se podrá aplicar a las inecuaciones lineales, pero no a las cuadráticas ni a las de grado superior.

El método gráfico que se apoya en el estudio del signo de una función polinómica. En este método, primero se pasan todos los términos al lado izquierdo de la inecuación, dejando el lado derecho cero. A continuación, se estudia el signo del polinomio que queda en el lado izquierdo. Se podrá aplicar a las tanto a las inecuaciones lineales como a las cuadráticas y de grado superior.

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Inecuaciones y sistemas de inecuaciones lineales con una incógnita

Una inecuación lineal con una incógnita es una inecuación, en la que las expresiones matemáticas que intervienen en la desigualdad, son polinomios de primer grado en una sola variable. En consecuencia, puede ponerse, mediante transformaciones, de alguna de estas formas:

$ax+b<0 \ , \quad ax+b \le 0 \ , \quad ax+b>0 \ , \quad ax+b \ge 0 \qquad (a \ne 0)$

donde $a,b \in \mathbb{R}$ son los coeficientes y $x \;$ es la variable.

Ejemplos

Son inecuaciones lineales con una incógnita:

$5x+3<1\;$

$2x-1 \ge 2-x\;$

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Resolución de una inecuación lineal con una incógnita

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Método algebraico de resolución

El método algebraico aplica las anteriores transformaciones para conseguir dejar despejada la incógnita.

Ejemplo: Inecuaciones lineales con una incógnita (método algebraico)

Resuelve la siguiente inecuación:

$-3x+2<5\;$

Solución:

$-3x+2<5 \ \rightarrow \ -3x<5-2 \ \rightarrow \ -3x<3 \ \rightarrow \ x>\cfrac{~3}{-3} \ \rightarrow \ x>-1$

Solución: $x \in (-1,+ \infty)$

Inecuaciones lineales con una incógnita

Tutorial 1 (9'33") Sinopsis:

Inecuaciones de primer grado con una incógnita. Ejemplos.

Tutorial 2 (32'41") Sinopsis:

Todo lo que necesitas saber para resolver inecuaciones de primer grado. Tutorial que explica de forma completa la resolución de inecuaciones de primer grado, empezando con algunos conceptos teóricos y resolviendo muchos ejericios desde muy sencillos, para entender mejor las propiedades de la regla de la suma y del producto.

00:00 a 09:00: Conceptos básicos. Definiciones. Desigualdades.
9:00 a 15:43: Reglas de la Suma y del Producto.
15:43 a 20:45: Ejemplos donde se aplica la regla del producto.
20:45 a 22:50: Algoritmo de resolución de inecuaciones de 1er grado.
22:50 a 32:41: Aplicación del algoritmo. Ejemplos resueltos.

Tutorial 3 (16'17") Sinopsis:

Inecuaciones de primer grado con una incógnita. Ejemplos.

Tutorial 4a (8'26") Sinopsis:

Inecuaciones de primer grado con una incógnita. Ejemplos.

Tutorial 4b (6'25") Sinopsis:

Inecuaciones de primer grado con una incógnita. Ejemplos.

Tutorial 4c (8'38") Sinopsis:

Inecuaciones de primer grado con una incógnita. Ejemplos.

Ejercicio 1 (6'35") Sinopsis:

Resuelve:

a) $x-2>1\;$

b) $x+1<-2\;$

c) $x+3 \ge 1\;$

Ejercicio 2 (5'49") Sinopsis:

Resuelve:

a) $x-1<1\;$

b) $x+3 \le 0\;$

c) $x-9 \ge -5\;$

Ejercicio 3 (5'23") Sinopsis:

Resuelve:

a) $3x>12\;$

b) $-2x<4\;$

c) $x-9 \ge -5\;$

Ejercicio 4 (3'47") Sinopsis:

Resuelve:

a) $\cfrac{x}{2}<3\;$

b) $\cfrac{~x}{-3} \le 1\;$

c) $x-9 \ge -5\;$

Ejercicio 5 (4'55") Sinopsis:

Resuelve: $7x-4<2x+1\;$

Ejercicio 6 (5'06") Sinopsis:

Resuelve: $1+x \ge 3-2x\;$

Ejercicio 7 (4'24") Sinopsis:

Resuelve: $2x-1 > 4x+5\;$

Ejercicio 8 (6'13") Sinopsis:

Resuelve: $1-4x \le 2x+4\;$

Ejercicio 9 (5'16") Sinopsis:

Resuelve: $\cfrac{2x-3}{2} \le 5-3x\;$

Ejercicio 10 (4'23") Sinopsis:

Resuelve: $\cfrac{5x+1}{-3} \le 2-x\;$

Ejercicio 11 (6'04") Sinopsis:

Resuelve: $\cfrac{2x-1}{4} +1 \le x+3\;$

Ejercicio 12 (3'25") Sinopsis:

Resuelve: $\cfrac{1+x}{2} > \cfrac{3+2x}{5}\;$

Ejercicio 13 (4'38") Sinopsis:

Resuelve: $\cfrac{2-4x}{3} \ge \cfrac{1-2x}{2}\;$

Ejercicio 14 (7'05") Sinopsis:

Resuelve: $\cfrac{1}{3}x+\cfrac{1}{2} < \cfrac{2}{5}x - \cfrac{3}{4}\;$

Ejercicio 15 (6'23") Sinopsis:

Resuelve: $\cfrac{x}{2}-\cfrac{1}{4} \ge \cfrac{2x}{5} + \cfrac{1}{3}\;$

Ejercicio 16 (4'30") Sinopsis:

Resuelve: $(2x-3)(5+x) \le (1+x)(2x+3)\;$

Ejercicio 17 (5'16") Sinopsis:

Resuelve: $(x+2)^2 > (x+3)(x+2)\;$

Ejercicio 18 (2'43") Sinopsis:

Resuelve: $3(2x-1) > 4+5(x-1)\;$

Ejercicio 19 (8'20") Sinopsis:

Resuelve: $\cfrac{4-x}{3}-\cfrac{2}{5} \le \cfrac{-2x-3}{-3}\;$

Ejercicio 20 (11'55") Sinopsis:

Resuelve:

a) $3x+6 \le 0\;$

b) $2(x+8) \le 3x+1\;$

c) $2x^2-x+11 \le 3\;$

Ejercicio 21 (3'57") Sinopsis:

Resuelve: $7x-2 > 3x-14\;$

Ejercicio 22 (4'33") Sinopsis:

Resuelve: $\cfrac{x}{3}+10 < 2x-\cfrac{5}{3}\;$

Ejercicio 23 (3'54") Sinopsis:

Resuelve: $4(x-3)-8 \le 5-x\;$

Ejercicio 24 (3'22") Sinopsis:

Resuelve: $\cfrac{5x-1}{3} > 3\;$

Ejercicio 25 (5'51") Sinopsis:

Resuelve: $(4x+1)(2x-2) \ge 8x(x+5)\;$

Ejercicio 26 (6'39") Sinopsis:

Resuelve: $\cfrac{1}{3}+\cfrac{1}{2}x \le \cfrac{5}{6}x-\cfrac{10}{3}\;$

Ejercicio 27 (5'37") Sinopsis:

Resuelve: $-3-\cfrac{x+4}{2} \ge 10-3x\;$

Ejercicio 28 (12'47") Sinopsis:

Resuelve y representa gráficamente las soluciones:

a) $-0.5x \le 7.5\;$

b) $75x \ge 125\;$

c) $\cfrac{x}{-3} > -\cfrac{10}{9}\;$

d) $\cfrac{x}{-15} < 8\;$

Ejercicio 29 (2'57") Sinopsis:

Resuelve y representa gráficamente las soluciones:

$-5c \le 15\;$

Ejercicio 30 (4'39") Sinopsis:

Resuelve y representa gráficamente las soluciones:

$\cfrac{2}{3}>-4y -8 \begin{matrix} \frac{1}{3} \end{matrix}\;$

Ejercicio 31 (6'28") Sinopsis:

Resuelve y representa gráficamente las soluciones:

$-3p-7<p+9\;$

Ejercicio 32 (4'25") Sinopsis:

Resuelve y representa gráficamente las soluciones:

$5x+7>3(x+1)\;$

Ejercicio 33 (9'48") Sinopsis:

Resuelve y representa gráficamente las soluciones:

a) $4x+3<-1\;$

b) $5x>8x+27\;$

c) $8-5(4x+1) \ge -1+2(4x-3)\;$

Ejercicio 34 (4'02") Sinopsis:

Resuelve y representa gráficamente las soluciones:

$\cfrac{3x-1}{2}-\cfrac{x-1}{3}<2x-1\;$

Problema 1 (2'11") Sinopsis:

Un contratista está comprando baldosas de piedra para un patio. Cada baldosa cuesta $3, y quiere gastar menos de $1000. El tamaño de cada baldosa es de 1 pie cuadrado. Escribe una desigualdad que represente el número de baldosas que puede comprar y averigua cómo de grande puede ser el patio.

Problema 2 (2'42") Sinopsis:

Una popular banda de blues regresó recientemente de una exitosa gira por tres ciudades donde tocaron para al menos 120 000 personas. Si tenían una audiencia de 45 000 en Ciudad de México y otras 33 000 en Guadalajara, ¿Qué puedes decir de las personas que asistieron en Acapulco?

Problema 3 (6'41") Sinopsis:

En los últimos años, Granja Arce ha cosechado alrededor de 1000 manzanas más que su principal rival de la región, Huerto Rio Grande. Debido al clima frio de este año, la cosecha bajó en un tercio. Sin embargo, ambas granjas compensaron parte de ese déficit mediante la compra de cantidades iguales de manzanas de las granjas de estados vecinos.

a) ¿Qué se puede decir del número de manzanas en cada granja?

b) ¿Tiene una granja mayor cantidad de manzanas que la otra o tienen la misma cantidad? ¿Cómo lo sabes?

Inecuaciones lineales

Autoevaluación 1a Descripción:

Autoevaluación sobre inecuaciones lineales de un paso.

Autoevaluación 1b Descripción:

Autoevaluación sobre inecuaciones lineales de dos pasos.

Autoevaluación 1c Descripción:

Autoevaluación sobre problemas de inecuaciones lineales de varios pasos.

Autoevaluación 1d Descripción:

Autoevaluación sobre problemas de inecuaciones lineales.

Autoevaluación 2 Descripción:

Autoevaluación sobre inecuaciones lineales.

Autoevaluación 3 Descripción:

Autoevaluación sobre inecuaciones lineales.

Autoevaluación 4 Descripción:

Autoevaluación sobre inecuaciones lineales sencillas.

Autoevaluación 5 Descripción:

Autoevaluación sobre inecuaciones lineales más complejas.

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Método gráfico de resolución

Inecuaciones lineales con una incógnita (método gráfico)

Las soluciones de una inecuación lineal con una incógnita son los puntos de la semirrecta que se encuentra a uno de los dos lados del punto de corte de la recta $y=ax+b \;$ con el eje de abscisas, es decir del punto $x=-\cfrac{b}{a}$ .

En una de las semirrectas con origen ese punto se cumple la condición $ax+b > 0\;$ y en la otra, la condición $ax-b < 0\;$ .

Así, para determinar la semirrecta solución, basta con fijarse en los valores de la variable x para los que la recta $y=ax+b \;$ está por encima o por debajo del eje de abscisas.

Si la inecuación no es estricta, el punto del extremo de la semirrecta, $x=-\cfrac{b}{a}$ , es también solución, ya que para él se verifica la igualdad.

Inecuaciones lineales con una incógnita (método gráfico) Descripción:

En la escena resolveremos la siguiente inecuación por el método gráfico:

$2x-3 \le 0 \;$

Para ello representamos la recta $y=2x-3\;$ y nos fijamos para que valores de x, la gráfica está por debajo del eje X (es negativa) o vale cero.

Inecuaciones lineales con una incógnita

Actividad: Inecuaciones lineales con una incógnita

Resuelve:

$-2x+1<7\,$

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

-2x+1<7

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Resolución de inecuaciones lineales dobles con una incógnita

Inecuaciones lineales dobles

Ejercicio 1 (3'22") Sinopsis:

Resuelve: $-3 < 2x+1 < 5\;$

Ejercicio 2 (2'49") Sinopsis:

Resuelve: $-3 \le 6x-3 < 9\;$

Ejercicio 3 (3'44") Sinopsis:

Resuelve: $0 \le 3x+1 \le 7\;$

Ejercicio 4 (3'53") Sinopsis:

Resuelve: $-2 < \cfrac{2x-1}{3} \le 1\;$

Ejercicio 5 (4'32") Sinopsis:

Resuelve: $1 < \cfrac{6-2x}{4} \le 4\;$

Ejercicio 6 (8'28") Sinopsis:

Resuelve: $\cfrac{2}{3} > \cfrac{1}{2}x+\cfrac{1}{3} \ge -\cfrac{1}{5}\;$

Ejercicio 7 (7'07") Sinopsis:

Resuelve: $1-x < 2x+3 \le 5x-2\;$

Ejercicio 8 (5'02") Sinopsis:

Resuelve: $3x-1 \le 2x+5 < 1-x\;$

Ejercicio 9 (4'32") Sinopsis:

Resuelve: $x-1 \le 4x+2 \le 3x+4\;$

Ejercicio 10 (5'00") Sinopsis:

Resuelve: $3+5x < 7x-1 \le 6x-1\;$

Ejercicio 11 (5'07") Sinopsis:

Resuelve: $-2 < 7x-13 \le 15\;$

Ejercicio 12 (7'48") Sinopsis:

Resuelve: $4x+1 < 3-5x > 10-7x\;$

Ejercicio 13 (6'52") Sinopsis:

Resuelve: $4+3x \le 5x+2 < 7x+1\;$

Ejercicio 14 (3'51") Sinopsis:

Resuelve: $-7<4x+1<13\;$

Ejercicio 15 (6'54") Sinopsis:

Resuelve: $8-x \le 5x+32<x+36\;$

Ejercicio 16 (6'54") Sinopsis:

Resuelve: $\cfrac{1}{3} \ge \cfrac{x-1}{5} > \cfrac{1}{9}\;$

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Resolución de sistemas de inecuaciones lineales con una incógnita

Para resolver un sistema de inecuaciones con una incógnita, hay que resolver cada inecuación por separado y finalmente seleccionar la solución común a ambas (intersección de los conjuntos solución de ambas).

Resolución de sistemas de inecuaciones con una incógnita

Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones:

$\begin{cases} 2x-6 & < 0 \\ \; \, x+2 & \ge 0 \end{cases}$

Solución:

Resolvemos cada inecuación por separado:

$2x-6 < 0 \ \rightarrow \ 2x<6 \ \rightarrow \ x<3 \ \rightarrow \ x \in (- \infty, 3)$

$x+2 \ge 0 \ \rightarrow \ x \ge -2 \ \rightarrow \ x \in [-2, +\infty)$

La solución común es la intersección de los conjuntos solución de ambas inecuaciones: $x \in [-2, +\infty) \cap (- \infty, 3) \ \rightarrow \ x \in [-2,3)$

Solución: $x \in [-2,3)$

Sistemas de inecuaciones lineales con una incógnita

Tutorial 1 (5'09") Sinopsis:

Sistemas de inecuaciones de primer grado con una incógnita. Ejemplos.

Tutorial 2 (28'11") Sinopsis:

Todo lo que necesitas saber para resolver sistemas de inecuaciones (lineales o cuadráticas) de una variable. Tutorial que explica de forma completa la resolución de estos sistemas, resolviendo varios ejericios donde se aplica el algoritmo.

- 00:00 a 3:50: Definiciones y algoritmo de resolución.

- 3:50 a 28:11: Aplicación del algoritmo. Ejemplos resueltos.

Tutorial 3 (5'09") Sinopsis:

Sistemas de inecuaciones de primer grado con una incógnita. Ejemplos.

Ejercicio 1 (5'14") Sinopsis:

Resuelve:

$\left . \begin{matrix} 5z+7 < 27 \\ 3x \le 18 \end{matrix} \right \}$

Ejercicio 2 (6'12") Sinopsis:

Resuelve:

$\left . \begin{matrix} 3y+7 < 2y \\ 4y+8 > -48 \end{matrix} \right \}$

Ejercicio 3 (3'11") Sinopsis:

Resuelve:

$\left . \begin{matrix} 5x-3 < 12 \\ 4x+1 > 25 \end{matrix} \right \}$

Ejercicio 4 (5'07") Sinopsis:

Resuelve:

$-16x \le 3x+5 \le 20\;$

Ejercicio 5 (13'12") Sinopsis:

Resuelve:

a) $-5 \le x-4 \le 13\;$

b) $-12 \le 2-5x \le 7\;$

c) $4x-1 \ge 7\;$ ó $\cfrac{9x}{2} < 3\;$

Ejercicio 6 (5'49") Sinopsis:

Resuelve:

$\left . \begin{matrix} y \le 2-x \\ y \le x+2 \end{matrix} \right \}$

Ejercicio 7 (27'24") Sinopsis:

Resuelve:

a) $\left . \begin{matrix} x^2-11x+24 < 0 \\ x^2-8x+15 < 0 \end{matrix} \right \}$

b) $2x(x-3) \ge x(x-4)-1\;$

Problema (Programación lineal) (22'43") Sinopsis:

1 ejercicio.

Sistemas de inecuaciones lineales con una incógnita

Autoevaluación 1 Descripción:

Autoevaluación sobre desigualdades compuestas.

Autoevaluación 2 Descripción:

Autoevaluación sobre sistemas de inecuaciones lineales con una incógnita.

Sistemas de inecuaciones con una incógnita

Actividad: Sistemas de inecuaciones con una incógnita

Resuelve:

a) $\begin{cases} 3x-9<0 \\ 2x+4 \ge 0 \end{cases}$

b) $\begin{cases} x^2-3x-4 \ge 0 \\ 2x-7>5 \end{cases}$

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) 3x-9<0 ; 2x+4>=0 o bien solve 3x-9<0 ; 2x+4>=0

b) x^2-3x-4>=0, 2x-7>5

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Inecuaciones cuadráticas con una incógnita

Una inecuación cuadrática con una incógnita es una inecuación en la que las expresiones matemáticas que intervienen en la desigualdad, son polinomios de segundo grado en una sola variable. En consecuencia, puede ponerse, mediante transformaciones, de alguna de estas formas:

$ax^2+bx+c<0 \ , \quad ax^2+bx+c \le 0 \ , \quad ax^2+bx+c>0 \ , \quad ax^2+bx+c \ge 0 \qquad (a \ne 0)$

Ejemplos

Son inecuaciones cuadráticas con una incógnita:

$3x^2+5x-2>0\;$

$2x^2-1 \le 2-x\;$

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Resolución de inecuaciones cuadráticas con una incógnita

Para resolver estas inecuaciones usaremos el método gráfico. Este método requiere que el miembro de la derecha de la inecuación sea cero, lo cual siempre se puede conseguir mediante transformaciones.

Inecuaciones cuadráticas

Tutorial (6'28") Sinopsis:

Inecuaciones de segundo grado con una incógnita. Ejemplos.

Tutorial 2a (21'11") Sinopsis:

Inecuaciones de segundo grado con una incógnita. Ejemplos.

Tutorial 2b (16'10") Sinopsis:

Inecuaciones de segundo grado con una incógnita. Ejemplos.

Método: por intervalos (tabla de signos):

Ejercicio 1 (13'06") Sinopsis:

Resuelve:

a) $x^2-9 \ge 0\;$

b) $x^2+9 \ge 0\;$

c) $-x^2-9 \ge 0\;$

d) $-x^2+9 \ge 0\;$

Ejercicio 2 (4'36") Sinopsis:

Resuelve: $9-x^2 > 0\;$

Ejercicio 3 (5'17") Sinopsis:

Resuelve: $x^2-x \ge 20\;$

Ejercicio 4 (5'15") Sinopsis:

Resuelve: $5x-x^2 < 0\;$

Ejercicio 5 (6'26") Sinopsis:

Resuelve: $x^2-3x+6 \le 2x+2\;$

Ejercicio 6 (9'54") Sinopsis:

Resuelve: $6x^2-7x-3 \le 0\;$

Ejercicio 7 (8'31") Sinopsis:

Resuelve: $2x^2-5x-3 > 0\;$

Ejercicio 8 (5'47") Sinopsis:

Resuelve: $x(x-2) \ge 3\;$

Ejercicio 9 (11'49") Sinopsis:

Resuelve: $x(3x+2) > (x+2)^2\;$

Ejercicio 10 (8'22") Sinopsis:

Resuelve: $(x-5)(x-4) \le 6\;$

Ejercicio 11 (8'23") Sinopsis:

Resuelve: $5x(x-2) \ge 3x+6\;$

Método: analizando el signo de los factores / por intervalos:

Ejercicio 1a (9'32") Sinopsis:

Resuelve: $(x+2)(x-1)>0\;$ analizando el signo de los factores.

Ejercicio 1b (6'52") Sinopsis:

Resuelve: $(x+2)(x-1)>0\;$ analizando el signo por intervalos.

Ejercicio 2a (6'52") Sinopsis:

Resuelve: $x^2+5x+4<0\;$ analizando el signo de los factores.

Ejercicio 2b (7'07") Sinopsis:

Resuelve: $x^2+5x+4<0\;$ analizando el signo por intervalos.

Ejercicio 3a (8'45") Sinopsis:

Resuelve: $x^2+2x \ge x+6\;$ analizando el signo de los factores.

Ejercicio 3b (7'50") Sinopsis:

Resuelve: $x^2+2x \ge x+6\;$ analizando el signo por intervalos.

Ejercicio 4a (7'10") Sinopsis:

Resuelve: $x^2+5x-2 \le x-2\;$ analizando el signo de los factores.

Ejercicio 4b (7'18") Sinopsis:

Resuelve: $x^2+5x-2 \le x-2\;$ analizando el signo por intervalos.

Ejercicio 5a (7'44") Sinopsis:

Resuelve: $x^2 < 9\;$ analizando el signo de los factores.

Ejercicio 5b (7'22") Sinopsis:

Resuelve: $x^2 < 9\;$ analizando el signo por intervalos.

Ejercicio 6a (8'53") Sinopsis:

Resuelve: $25 \ge 4x^2\;$ analizando el signo de los factores.

Ejercicio 6b (8'28") Sinopsis:

Resuelve: $25 \ge 4x^2\;$ analizando el signo por intervalos.

Inecuaciones cuadráticas

Actividad Descripción:

En la escena vamos a resolver la siguiente inecuación:

$x^2-5x+4<0\;$

Representamos la parábola $y=x^2-5x+4\;$ y nos fijamos para que valores de x, la gráfica está por debajo del eje X (es negativa).

En realidad basta hallar los puntos de corte con el eje X y determinar la dirección de las ramas a partir del signo del coeficiente de $x^2\;$ .

En este caso, los puntos de corte son $x_1=1\;$ y $x_2=4\;$ , soluciones de la ecuación de segundo grado

$x^2-5x+4=0\;$

y las ramas va hacia arriba porque el coeficiente de $x^2\;$ es positivo. Por tanto, las soluciones de la inecuación es: $x \in (1,4)\;$ .

Puedes cambiar los valores A, B y C para resolver gráficamente otras inecuaciones de segundo grado.

Autoevaluación Descripción:

Autoevaluación sobre inecuaciones cuadráticas.

Inecuaciones cuadráticas con una incógnita

Actividad: Inecuaciones cuadráticas con una incógnita

Resuelve:

a) $x^2-5x+4 \le 0$

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) x^2-5x+4 <= 0

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Inecuaciones con fracciones algebraicas con una incógnita

Inecuaciones con fracciones algebraicas

Tutorial 1 (20'29") Sinopsis:

Todo lo que necesitas saber para resolver inecuaciones con quebrados algebraicos. Tutorial que explica de forma completa la resolución de estas inecuaciones, empezando por comprender el estudio del signo de un quebrado, viendo su representación gráfica, y resolviendo varios ejercicios donde se aplica.

- 00:00 a 04:25: [Q(x) = (x+1)/(x-1)] Primer ejemplo estudiando el signo dando su gráfica.

- 4:25 a 10:10: [Q(x) = (x^2-2x)/(x+4)]

- 10:10 a 13:30: [Q(x) = (x^2+2x+1)/(x^2-9)]

- 13:30 a 14:10: [Q(x) = (x^2+2x+1)/(x^2-9)]

- 14:10 a 20:29: [Q(x) = (x-2)/5 - 2/(x+1)]

Tutorial 2a (14'08") Sinopsis:

Inecuaciones racionales. Ejemplos.

Tutorial 2b (9'34") Sinopsis:

Inecuaciones racionales. Ejemplos.

Tutorial 2c (14'30") Sinopsis:

Inecuaciones racionales. Ejemplos.

Ejercicio 1 (6'10") Sinopsis:

Resuelve: $\cfrac{x-3}{x+1}>0\;$

Ejercicio 2 (6'40") Sinopsis:

Resuelve: $\cfrac{x+2}{x-4} \le 0\;$

Ejercicio 3 (4'30") Sinopsis:

Resuelve: $\cfrac{3}{x-4} > 0\;$

Ejercicio 4 (5'15") Sinopsis:

Resuelve:

$\cfrac{2x}{x-2} > 3\;$

Ejercicio 5a (5'27") Sinopsis:

Resuelve:

$\cfrac{x+4}{x-2} \ge 3\;$

Ejercicio 5b (4'59") Sinopsis:

Resuelve:

$\cfrac{x+4}{x-2} \ge 3\;$

Ejercicio 6 (16'56") Sinopsis:

Resuelve:

$1+\cfrac{2}{x+1} -\cfrac{2}{x} \le 0\;$

Ejercicio 7 (13'10") Sinopsis:

Resuelve:

$\cfrac{x+1}{x-6} < 7\;$

Ejercicio 8 (13'39") Sinopsis:

Resuelve:

$\cfrac{1}{x+2} \ge \cfrac{1}{3-x}\;$

Ejercicio 9 (8'28") Sinopsis:

Resuelve:

$\cfrac{5}{4x-3} > 2\;$

Ejercicio 10 (3'05") Sinopsis:

Resuelve:

$\cfrac{3}{2x-5} \le 0\;$

Ejercicio 11 (6'14") Sinopsis:

Resuelve:

$\cfrac{x-2}{2x-5} < 0\;$

Ejercicio 12 (10'10") Sinopsis:

Resuelve:

$\cfrac{3}{x+1} \ge \cfrac{2}{x-2}\;$

Ejercicio 13 (5'17") Sinopsis:

Resuelve:

$\cfrac{3x-1}{2x+5} \le 0\;$

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Otras inecuaciones con una incógnita

Inecuaciones polinómicas

Tutorial 1 (38'35") Sinopsis:

Todo lo que necesitas saber para resolver inecuaciones polinómicas de cualquier grado. Tutorial que explica de forma completa la resolución de estas inecuaciones, empezando por comprender el estudio del signo de un polinomio y resolviendo varios ejericios donde se aplica.

- 00:00 a 01:30: Introducción.

- 1:30 a 10:10: Estudio del Signo de un Polinomio dada su gráfica.

- 10:10 a 17:45: Ejemplo de introducción al algoritmo.

- 17:45a 19:30: Algoritmo de resolución de inecuaciones polinómicas.

- 19:30 a 38:35: Aplicación del algoritmo. Ejemplos resueltos.

Tutorial 2a (12'20") Sinopsis:

Inecuaciones polinómicas. Ejemplos.

Tutorial 2b (12'34") Sinopsis:

Inecuaciones polinómicas. Ejemplos.

Inecuaciones con valor absoluto

Tutorial 1a (10'39") Sinopsis:

Inecuaciones con valor absoluto. Ejemplos.

Tutorial 1b (12'54") Sinopsis:

Inecuaciones con valor absoluto. Ejemplos.

Ejercicio 1 (6'36") Sinopsis:

Resuelve:

a) $|x| \le 2\;$

b) $|x-1| > 3\;$

Ejercicio 2 (4'43") Sinopsis:

Resuelve: $|3x-2| < 5\;$

Ejercicio 3 (5'02") Sinopsis:

Resuelve: $\left| \cfrac{x-10}{7} \right| \le 5\;$

Ejercicio 4 (5'45") Sinopsis:

Resuelve: $| 8x+1| >3\;$

Ejercicio 5 (4') Sinopsis:

Resuelve: $| x+6| \ge 1;$

Ejercicio 6 (5'21") Sinopsis:

Resuelve: $|3x-2| < 5\;$

Ejercicio 7 (9'44") Sinopsis:

Resuelve:

a) $|3x-2| < 4\;$

b) $|-2x+1| < 5\;$

Ejercicio 8 (4'35") Sinopsis:

Resuelve: $|5x-3| \le 12\;$

Ejercicio 9 (5'18") Sinopsis:

Resuelve: $|8-2x| > 2\;$

Ejercicio 10 (7'50") Sinopsis:

Resuelve: $|3x-4| \ge |x+4|\;$

Ejercicio 11 (5'56") Sinopsis:

Resuelve: $\left| \cfrac{x+1}{x-2} \right| < 1\;$

Inecuación con radicales (8'36") Sinopsis:

1 ejemplo.

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Inecuaciones con dos incógnitas

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Inecuaciones lineales con dos incógnitas

Una inecuación lineal con dos incógnitas es una inecuación, en la que las expresiones matemáticas que intervienen en la desigualdad, son polinomios de primer grado con dos variables. En consecuencia, puede ponerse, mediante transformaciones, de alguna de estas formas generales:

$ax+by+c<0 \ , \quad ax+by+c \le 0 \ , \quad ax+by+c>0 \ , \quad ax+by+c \ge 0 \qquad (a \ne 0)$

donde $a,b,c \in \mathbb{R}$ son los coeficientes y $x \;$ e $y \;$ son las dos variables.

Una solución de una inecuación lineal con dos incógnitas, $x\;$ e $y\;$ , es una pareja de valores de las variables, $(x,y)\;$ , que hace que se cumpla la desigualdad.

Inecuaciones lineales con dos incógnitas

Tutorial (6´55") Sinopsis:

Definición de inecuación.
Ejemplos de inecuaciones lineales con dos incógnitas.

Ejercicio 1 (6´07") Sinopsis:

Determina si las parejas (3,5) y (1,-7) son soluciones de la inecuación $5x-3y \ge 25\;$

Problema 1 (3´08") Sinopsis:

Fabiano quiere lograr al menos 6.5 puntos en un importante torneo de ajedrez. El logra 1 punto por cada partida ganada y 0.5 por cada una empatada. Si llamamos W al número de partidas ganadas y D al número de partidas empatadas, escribe la inecuación que relaciona estas variables con los puntos necesarios para conseguir su objetivo.

Problema 2 (4´45") Sinopsis:

Ezra disfruta de la jardinería. Cada girasol que el riega requiere 0.7 litros de agua y cada azucena requiere 0.5 litros. Ezra tiene un total de 11 litros de agua para estas plantas. En la siguiente desigualdad S representa el número de girasoles y L el número de azucenas que Ezra puede regar:

$0.7S+0.5L \le 11$

Si Ezra riega 10 azucenas, ¿cuántos girasoles podrá regar como máximo con el agua que le sobra?

Problema 3 (5´20") Sinopsis:

Goku quiere tener más de 9000 comentarios en sus videos de YouTube. Él recibe el mismo número de comentarios por cada video de gatos que sube y también el mismo número de comentarios por cada video de perros que sube (aunque el número de comentarios por los videos de perros es distinto que por los de gatos). En la siguiente inecuación, que representa las condiciones para que Goku consiga su meta, C representa el número de videos de gatos y D el de perros:

$750 C+450 D > 9000\;$

Contesta:

a) ¿Cuántos comentarios recibe cada video de gatos? ¿Y cada video de perros?

b) ¿Puede Goku lograr su meta si sube 8 videos de gatos y 7 de perros?

Inecuaciones lineales con dos incógnitas

Autoevaluación 1 Descripción:

Soluciones de inecuaciones lineales con 2 incógnitas.

Autoevaluación 2 Descripción:

Problemas verbales sobre inecuaciones lineales con 2 incógnitas.

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Resolución de una inecuación lineal con dos incógnitas

Para resolver estas inecuaciones recurriremos a un método gráfico.

Resolución de las inecuaciones lineales con dos incógnitas

Las soluciones de una inecuación lineal con dos incógnitas dada en forma general (alguna de las dadas en la definición) son los puntos de uno de los dos semiplanos que se encuentran a cada lado de la recta $ax+by+c=0 \;$ .

Los puntos de uno de los semiplanos cumplen la condición $ax+by+c>0 \;$ y los del otro, la condición $ax+by+c<0 \;$ .

Así, para determinar el semiplano solución, se elige un punto de cualquiera de ellos, y se comprueba si cumple la inecuación. Si la cumple, el semiplano que contiene al punto elegido es la solución, y si no, lo es el otro.

Si la inecuación no es estricta, los puntos de la recta también son solución, ya que para ellos se verifica la igualdad.

Ejercicio resuelto: Inecuaciones lineales con dos incógnitas

1. Resuelve la siguiente inecuación:

$x+y \le 6\;$

Solución:

Solución 1 Descripción:

En esta escena de Geogebra podrás ver como se representa gráficamente las soluciones de la inecuación $x+y \le 6\;$ .

Resolución de inecuaciones lineales con dos incógnitas

Tutorial 1 (6´13") Sinopsis:

Inecuaciones lineales con dos incógnitas. Ejemplos.

Tutorial 2a (7'30") Sinopsis:

Resolución de inecuaciones lineales con dos incógnitas. Ejemplos.

Tutorial 2b (7'25") Sinopsis:

Resolución de inecuaciones lineales con dos incógnitas. Ejemplos.

Tutorial 2c (14'03") Sinopsis:

Resolución de inecuaciones lineales con dos incógnitas. Ejemplos.

Ejercicio 1 (7´14") Sinopsis:

Resuelve gráficamente la inecuación: $2y-x > 6 \;$

Ejercicio 2 (8´05") Sinopsis:

Resuelve gráficamente las inecuaciones:

a) $y \le 4x+3 \;$

b) $y>-\cfrac{x}{2}- 6 \;$

Ejercicio 3 (3´04") Sinopsis:

Resuelve gráficamente la inecuación: $y < 3x+5 \;$

Ejercicio 4 (3´21") Sinopsis:

Encuentra la inecuación que tenga como solución la dada en la gráfica que se muestra en el video.

Problema 1 (7´44") Sinopsis:

Problema de resolución de inecuaciones con dos variables a partir de una gráfica dada.

Resolución de inecuaciones lineales con dos incógnitas

Autoevaluación 1a Descripción:

Soluciones de inecuaciones lineales con 2 incógnitas.

Autoevaluación 1b Descripción:

Resolución de inecuaciones lineales con 2 incógnitas.

Autoevaluación 1c Descripción:

Obtención de inecuaciones lineales con 2 incógnitas a partir de una gráfica.

Autoevaluación 2 Descripción:

Autoevaluación sobre inecuaciones lineales con 2 incógnitas.

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Sistemas de inecuaciones lineales con dos incógnitas

Un sistema de inecuaciones lineales con dos incógnitas es un conjunto de inecuaciones lineales con una incógnita.
Una solución de este tipo de sistemas es un punto del plano que satisface todas las inecuaciones simultaneamente.

Sistemas de inecuaciones lineales

Ejercicio 1 (1´19") Sinopsis:

Determina si el punto (2,5) es solución del sistema

$\begin{cases}y \ge 2x+1 \\ x>1\end{cases}$

Problema 1 (4´58") Sinopsis:

Un pastelito requiere 35 gramos de azúcar y 50 gramos de harina, mientras que un panquecito requiere 30 gramos de azúcar y 65 gramos de harina. Susana necesita usar al menos 460 gramos de azúcar para hacer pastelitos y panquecitos, y no quiere usar más de 970 gramos de harina.

Sea C el número de pastelitos y M el de panquecitos que hace. Escribe un sistema de inecuaciones que represente las condiciones de Susana. Ten e cuenta que la primera inecuación debe representar la condición basada en el número de gramos de azúcar y la segunda debe representar la condición basada en el número de gramos de harina.

Problema 2 (5´21") Sinopsis:

Flor quiere hacer mesas y sillas. Cada mesa está hecha con el mismo número de tablas de madera y clavos. Lo mismo ocurre con cada silla, aunque los número varían con respecto a los de la mesa. Ella tiene un total de 150 tablas y 330 clavos.

Representemos por T a el número de mesas y por C al de sillas.

La siguiente inecuación relaciona el número de tablas de madera utilizado y las tablas disponibles:

$17 T+ 6 C \le 150$

y la siguiente inecuación relaciona el número de clavos utilizado y los clavos disponibles:

$34 T+ 27 C \le 330$

¿Tiene Flor suficientes tablas y clavos para hacer 3 mesas y 9 sillas?

Sistemas de inecuaciones lineales

Autoevaluación 1 Descripción:

Soluciones de sistemas de inecuaciones lineales con 2 incógnitas.

Autoevaluación 2 Descripción:

Problemas sobre soluciones de sistemas de inecuaciones lineales con 2 incógnitas.

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Resolución de un sistema de inecuaciones lineales con dos incógnitas

Para averiguar las soluciones de un sistema de este tipo recurriremos al método gráfico, igual que se hace con una sola inecuación.

Resolución de las inecuaciones lineales con dos incógnitas

La solución de un sistema de inecuaciones lineales es la intersección de los semiplanos solución de cada una de las inecuaciones que forman el sistema.

Ejercicio resuelto: Sistemas de inecuaciones lineales con dos incógnitas

1. Resuelve el siguiente sistema:

$\left\{\begin{matrix}~x+~y \le 6 \\ 3x-2y > 6 \end{matrix} \right.$

Solución:

Solución 1 Descripción:

En esta escena de Geogebra podrás ver como se representa gráficamente las soluciones del sistema $\left\{\begin{matrix}~x+~y \le 6 \\ 3x-2y \ge 6 \end{matrix} \right.$ .

Resolución de sistemas de inecuaciones lineales con 2 incógnitas

Tutorial (5´51") Sinopsis:

Resolución de sistemas de inecuaciones lineales con 2 incógnitas. Ejemplos.

Tutorial 2a (8'46") Sinopsis:

Resolución de sistemas de inecuaciones lineales con 2 incógnitas. Ejemplos.

Tutorial 2b (12'55") Sinopsis:

Resolución de sistemas de inecuaciones lineales con 2 incógnitas. Ejemplos.

Ejercicio 1 (9´30") Sinopsis:

Resuelve gráficamente el siguiente sistema de inecuaciones:

$\begin{cases}x+2y \ge 4 \\ 2x+y \ge 5 \end{cases}$

Ejercicios 2 (12´49") Sinopsis:

Representa gráficamente las siguientes inecuaciones:

$\begin{cases}2x+3y<12 \\3x-5y>-15 \end{cases}$

Ejercicios 3 (12´31") Sinopsis:

Representa gráficamente los siguientes conjuntos:

$\left\{ (x,y) \, / \, x+y<3 \ \and \ x>0 \right\}$
$\left\{ (x,y) \, / \, x+y>4 \ \and \ y>0 \right\}$
$\left\{ (x,y) \, / \, x+2y \le 4 \ \and \ y \ge 0 \ \and \ x \ge 0\right\}$
$\left\{ (x,y) \, / \, x+2y \ge 6 \ \and \ y \ge 0 \ \and \ x \ge 0 \right\}$

Ejercicios 4 (4´59") Sinopsis:

Representa gráficamente los siguientes conjuntos:

$\left\{ (x,y) \, / \, x+2y \ge 4 \ \and \ x+y \ge 3 \ \and \ y \ge 0 \ \and \ x \ge 0 \right\}$
$\left\{ (x,y) \, / \, x+2y \le 4 \ \and \ x+y \le 3 \ \and \ y \ge 0 \ \and \ x \ge 0 \right\}$

Ejercicio 5 (5´40") Sinopsis:

Resuelve gráficamente el siguiente sistema de inecuaciones:

$\begin{cases}y>x-8 \\ y< 5-x \end{cases}$

Ejercicio 6 (3´26") Sinopsis:

Resuelve gráficamente el siguiente sistema de inecuaciones:

$\begin{cases}y>2x+1 \\ y< 2x-5 \\ x>1 \end{cases}$

Ejercicio 7 (6´04") Sinopsis:

Resuelve gráficamente el siguiente sistema de inecuaciones:

$\begin{cases}x+y \le 1 \\ x-y< 3 \end{cases}$

Problema 1 (8´24") Sinopsis:

Luis recibió una tarjeta de regalo por valor de $25 de una tienda online dedicada a la venta de música digital y juegos. Cada canción cuesta $1, y cada juego $2. Si él quiere comprar al menos 15 artículos con su tarjeta de regalo, escribe un sistema de inecuaciones que represente el problema e identifica el rango de posibles compras utilizando una gráfica.

Problema 2 (4´25") Sinopsis:

Resuelve un problema de sistemas de inecuaciones a partir de la gráfica dada en el video.

Resolución de sistemas de inecuaciones lineales con 2 incógnitas

Autoevaluación 1 Descripción:

Resolución de sistemas de inecuaciones lineales con dos incógnitas.

Autoevaluación 2 Descripción:

Autoevaluación sobre sistemas de inecuaciones lineales con dos incógnitas.

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Ejercicios

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Con una incógnita

Ejercicios 1: Inecuaciones con una incógnita Descripción:

Ejercicios resueltos sobre inecuaciones con una incógnita.

Ejercicios 2: Inecuaciones con una incógnita de 2º y 4º grado Descripción:

Ejercicios resueltos sobre inecuaciones con una incógnita de 2º y 4º grado.

Ejercicios 3: Inecuaciones racionales con una incógnita Descripción:

Ejercicios resueltos sobre inecuaciones racionales con una incógnita.

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Con dos incógnitas

Ejercicios 1: Inecuaciones con una o dos incógnitas Descripción:

Ejercicios resueltos sobre inecuaciones con una o dos incógnitas.

Ejercicios 2: Inecuaciones de primer grado con una o dos incógnitas Descripción:

Ejercicios resueltos sobre inecuaciones de primer grado con una o dos incógnitas.

Ejercicios 3: Sistemas de inecuaciones de primer grado con una o dos incógnitas Descripción:

Ejercicios resueltos sobre sistemas de inecuaciones de primer grado con una o dos incógnitas.

Autoevaluación: Comparando expresiones Descripción:

Elige la inecuación que mejor se adecúe a la situación planteada.

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Inecuaciones"

Categorías: Matemáticas | Álgebra

Inecuaciones

De Wikipedia

Tabla de contenidos

Orden en el conjunto de los números reales

Inecuaciones

Inecuación

Sistemas de inecuaciones

Reglas para trabajar con inecuaciones

Inecuaciones con una incógnita

Inecuaciones y sistemas de inecuaciones lineales con una incógnita

Resolución de una inecuación lineal con una incógnita

Método algebraico de resolución

Método gráfico de resolución

Resolución de inecuaciones lineales dobles con una incógnita

Resolución de sistemas de inecuaciones lineales con una incógnita

Inecuaciones cuadráticas con una incógnita

Resolución de inecuaciones cuadráticas con una incógnita

Inecuaciones con fracciones algebraicas con una incógnita

Otras inecuaciones con una incógnita

Inecuaciones con dos incógnitas

Inecuaciones lineales con dos incógnitas

Resolución de una inecuación lineal con dos incógnitas

Sistemas de inecuaciones lineales con dos incógnitas

Resolución de un sistema de inecuaciones lineales con dos incógnitas

Ejercicios

Con una incógnita

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