Lugares geométricos (3ºESO Académicas)

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Tabla de contenidos

1 Lugar geométrico
2 Mediatriz de un segmento
3 Bisectriz del ángulo entre dos rectas
4 Circunferencia
5 Arco capaz
6 Ejercicios propuestos

(Pág. 191)

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Lugar geométrico

Se llama lugar geométrico a un conjunto de puntos que cumplen una cierta propiedad.

A continuación vamos a ver algunos ejemplos de lugares geométricos: la mediatriz de un segmento, la bisectriz de un ángulo, la circunferenci o el arco capaz.

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Mediatriz de un segmento

La mediatriz de un segmento es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de sus extremos.

Así, dado el segmento $\overline{AB}$ , su mediatriz está formada por los puntos $P\,$ del siguiente conjunto:

$\big \{P(x,y) \, / \; d(P,A)=d(P,B) \big \}$

Mediatriz de un segmento Descripción:

En esta escena podrás ver como construye la mediatriz de un segmento.

Fig. 1: En rojo, la mediatriz de un segmento AB.

Propiedad

La mediatriz de un segmento es una recta perpendicular al segmento que pasa por su punto medio.

Demostración:

Para hallar la ecuación de la mediatriz AB, siendo $A=(x_a,y_a)\;$ y $B=(x_b,y_b)\;$ tenemos que hallar la ecuación del lugar geométrico

$\big \{P(x,y) \, / \; d(P,A)=d(P,B) \big \}$

Para ello escribiremos la fórmula de la distancia entre dos puntos:

$d(P,A)=d(P,B) \;$

$\sqrt{(x-x_a)^2+(y-y_a)^2}=\sqrt{(x-x_b)^2+(y-y_b)^2}$

Elevando ambos miembros al cuadrado, desarrollando los cuadrados de los binomios y simplificando, comprueba que queda la ecuación:

$2(x_b-x_a)x+2(y_b-y_a)y+(x_a^2+y_a^2-x_b^2-y_b^2)=0$

Por tanto, la ecuación de la mediatriz del segmento AB es la ecuación de una recta.

Faltaría ver que es perpendicular al segmento y que pasa por su punto medio.

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Bisectriz del ángulo entre dos rectas

La bisectriz de un ángulo que forman las rectas es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de sus lados.

Así, la bisectriz del ángulo que forman dos rectas, $r\,$ y $s\,$ , está formada por los puntos $P\,$ del siguiente conjunto:

$\big \{P(x,y) \ / \ d(P,r)=d(P,s)\big \}$

Por como se ha definido la bisectriz, ésta divide al ángulo que forman las rectas en dos ángulos iguales. Además, como dos rectas determinan dos parejas de ángulos iguales, todo par de rectas determinan dos bisectrices.

Bisectriz del ángulo entre dos rectas Descripción:

En esta escena podrás ver las bisectrices de los ángulos entre dos rectas.

Propiedad

Las bisectrices del ángulo entre dos rectas son un par de rectas perpendiculares.

Fig. 2: Las dos rectas de color rojo son las bisectrices de los ángulos que forman rectas r y s. Fíjate como forman un ángulo recto.

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Circunferencia

La circunferencia de centro $O\,$ y radio $r\,$ , es el lugar geométrico de los puntos $P\,$ , del plano, cuya distancia al centro es $r\,$ .

$\big \{P(x,y) \, / \; d(P,O)=r \big \}$

Trazado de la circunferencia Descripción:

En esta escena podrás ver como se dibuja una circunferencia.

Circunferencia de centro O y radio r.

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Arco capaz

Observa los ángulos de la imagen de la derecha. Todos ellos son ángulos inscritos que abarcan un mismo arco de circunferencia. En consecuencia, sabemos que todos ellos son iguales.

Esto nos permite dar la siguiente definición:

El arco capaz de un ángulo $\alpha\,$ para un segmento $\overline{AB}$ es el lugar geométrico de los puntos del plano desde los cuales "se ve" el segmento $\overline{AB}$ bajo un mismo ángulo $\alpha\;$ .