Números irracionales

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Números irracionales

Introducción

El concepto o la idea de número irracional apareció pronto en la geometría. Ya los antiguos griegos observaron que los números racionales no completaban la recta, es decir, que había números que no se podían expresar mediante un número fraccionario.

Se atribuye a Pitágoras de Samos (580- 500a. C.) y a su Escuela, el descubrimiento de la existencia de segmentos de recta inconmensurables con respecto a un segmento que se toma como unidad en un sistema de medición, esto es, segmentos de recta cuya longitud medida en este sistema no es un número fraccionario. Estudiando un triángulo rectángulo con catetos de longitud uno, observaron que la longitud de la hipotenusa de dicho triángulo no podía tener un valor racional. Con esto se demostró la no completitud de los números racionales y se dedujo la existencia de unos números hasta entonces desconocidos.

La Escuela Pitagórica llamó a dichos números "inconmensurables". Al principio, la aparición de estos números extraños desconcertó de forma alarmante a los miembros de la Escuela Pitagórica, pues su existencia ponía en evidencia que muchas suposiciones y demostraciones de la geometría eran falsas o estaban incompletas. La sorpresa y preocupación llegó hasta tal punto que llegaron a plantearse el mantener en secreto estos números que contradecían su doctrina, que entre otras cosas preconizaba “la adoración del número como ente perfecto que gobernaba el universo y todo lo que en él existía”.

Tres siglos después de su descubrimiento, Euclides trata en su obra “Los Elementos” el tema de los números irracionales, y llega a demostrar que la raíz cuadrada de dos no puede ser un número racional.

ejercicio

Proposición


No existe ningún número racional que elevado al cuadrado dé como resultado 2. Es decir, el número\sqrt{2} \, no es racional.

De forma más general:

ejercicio

Proposición


Si p\; es un número primo, entonces el número\sqrt{p} \, no es racional.

A estos números que no son racionales, que los griegos llamaron inconmensurables, los llamaremos números irracionales.

Los matemáticos griegos posteriores estudiaron además de estos irracionales sencillos, otros cada vez más complicados, encontrándose tipos como raíz cuadrada de (raíz cuadrada de a + raíz cuadrada de b) y otros semejantes, pero nunca llegaron a tener la idea general de número irracional. Esta idea aparece ya bien entrado el siglo S. XVI, al considerar la idea de un número decimal aperiódico, esto es, un número decimal cuyas cifras se sucedían de manera indefinida sin obedecer a ley alguna determinada.

Definición

El conjunto de los números irracionales es el formado por aquellos números que no se pueden expresar mediante fracciones y, por tanto, cuya expresión decimal tiene infinitas cifras no periódicas. Lo representaremos con la letra \mathbb{I}.

Números irracionales famosos

El número áureo, Phi:

El número Pi:

El número e:

Propiedades

ejercicio

Propiedades


  • La suma de un racional y un irracional es otro irracional
  • El producto de un racional por un irracional es otro irracional.
  • Existe al menos un irracional entre cualesquiera dos racionales.

Representación gráfica de números irracionales

A continuación vamos a ver algunas actividades interactivas y videos sobre la representación de algunos números irracionales en la recta real.

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