Números irracionales: Raíces

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Tabla de contenidos

1 Raíz de un número
- 1.1 Propiedades de las raíces
2 Raíces exactas e inexactas
3 La raíz como potencia de exponente fraccionario
4 Calculadora

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Raíz de un número

Sabemos que $3^2 = 9\;\!$ . Esta igualdad la podemos expresar de forma similar como $\sqrt{9}=3$ y se lee 3 es igual a la raíz cuadrada de 9.

En general:

Se define la raíz cuadrada de un número $a\;\!$ como otro número $b\;\!$ tal que $b^2 =a\;\!$ , que escribimos simbólicamente: $b=\sqrt{a}$ .
Se define la raíz cúbica de un número $a\;\!$ como otro número $b\;\!$ tal que $b^3 =a\;\!$ , que escribimos simbólicamente: $b=\sqrt[3]{a}$ .
Igualmente, se define raíz n-sima $(n \in \mathbb{N},\ n>1)$ de un número $a\;\!$ como otro número $b\;\!$ tal que $b^n =a\;\!$ , que escribimos simbólicamente: $b=\sqrt[n]{a}$ .
El número $a\;\!$ se llama radicando, el número $n\;\!$ índice y $b\;\!$ es la raíz.

Ejemplos

Pulsa el botón "ejemplo" para ver más ejemplos de raíces cuadradas y cúbicas. Anótalos en tu cuaderno:

Click aquí si no se ve bien la escena

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Propiedades de las raíces

$\sqrt[n]{1}=1$ y $\sqrt[n]{0}=0$ , para cualquier valor del índice $n\;\!$ .
Si $a>0\;\!$ , $\sqrt[n]{a}$ existe cualquiera que sea el índice $n\;\!$ .
Si $a<0\;\!$ , $\sqrt[n]{a}$ sólo existe si el índice $n\;\!$ es impar.
Si el índice $n\;\!$ es par y el radicando $a>0\;\!$ , la raíz tiene dos soluciones: una positiva y otra negativa, pero iguales en valor absoluto. Si el índice es impar, siempre tiene una única solución, que tiene el mismo signo que el radicando $a\;\!$ .

Ejemplos

$\sqrt[3]{1}=1$ .
$\sqrt[5]{0}=0$ .
$\sqrt[4]{16}=\pm 2$ porque $(\pm 2)^4=16\;\!$ .
$\sqrt[3]{64}=4$ porque $4^3=64\;\!$ .
$\sqrt[3]{-8}=-2$ porque $(-2)^3=-8\;\!$ .
$\sqrt[4]{-8}= no \ existe$ porque ningún número elevado a 4 puede dar negativo (-8).

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Raíces exactas e inexactas

Se llaman raíces exactas a aquellas que dan como resultado un número racional. En caso contrario diremos que son inexactas y el resultado será un número irracional.

Para que una raíz sea exacta, al descomponer el radicando en factores primos, las potencias de éstos deben ser todas números divisibles por el índice.

Ejemplo: Raíces exactas e inexactas

Calcula las siguientes raíces cuando sean exactas:

$a) \sqrt[3]{216} \quad b) \sqrt[4]{0'0256}\quad c) \sqrt[3]{192}$

Solución:

a) Descomponemos $216=2^3 \cdot 3^3$ .

Como las potencias son divisibles por 3, la raíz es exacta. Para obtenerla, dividimos cada exponente entre el índice:

$\sqrt[3]{216}=\sqrt[3]{2^3 \cdot 3^3}=2^{\frac{3}{3}} \cdot 3^{\frac{3}{3}}=2^1 \cdot 3^1=6$

Luego $\sqrt[3]{216}$ es racional.

b) Descomponemos $\cfrac{256}{10000}=\cfrac {2^8}{10^4}$ .

Como las potencias son divisibles por 4, la raíz es exacta. Para obtenerla, dividimos cada exponente entre el índice:

$\sqrt[4]{0'0256}=\sqrt[4]{\cfrac{256}{10000}}=\sqrt[4]{\cfrac {2^8}{10^4}}=\cfrac {2^{\frac{8}{4}}}{10^{\frac{4}{4}}}=\cfrac{2^2}{10^1}=\cfrac{4}{10}=0'4$