Números irracionales: Raíces

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Tabla de contenidos

Raíz de un número

Sabemos que 3^2 = 9\;\!. Esta igualdad la podemos expresar de forma similar como \sqrt{9}=3 y se lee 3 es igual a la raíz cuadrada de 9.

En general:

  • Se define la raíz cuadrada de un número a\;\! como otro número b\;\! tal que b^2 =a\;\!, que escribimos simbólicamente: b=\sqrt{a}.
  • Se define la raíz cúbica de un número a\;\! como otro número b\;\! tal que b^3 =a\;\!, que escribimos simbólicamente: b=\sqrt[3]{a}.
  • Igualmente, se define raíz n-sima (n \in \mathbb{N},\ n>1)de un número a\;\! como otro número b\;\! tal que b^n =a\;\!, que escribimos simbólicamente: b=\sqrt[n]{a}.
  • El número a\;\! se llama radicando, el número n\;\! índice y b\;\! es la raíz.

Propiedades de las raíces

  • \sqrt[n]{1}=1 y \sqrt[n]{0}=0, para cualquier valor del índice n\;\!.
  • Si a>0\;\!, \sqrt[n]{a} existe cualquiera que sea el índice n\;\!.
  • Si a<0\;\!, \sqrt[n]{a} sólo existe si el índice n\;\! es impar.
  • Si el índice n\;\! es par y el radicando a>0\;\!, la raíz tiene dos soluciones: una positiva y otra negativa, pero iguales en valor absoluto. Si el índice es impar, siempre tiene una única solución, que tiene el mismo signo que el radicando a\;\!.

Raíces exactas e inexactas

Se llaman raíces exactas a aquellas que dan como resultado un número racional. En caso contrario diremos que son inexactas y el resultado será un número irracional.

Para que una raíz sea exacta, al descomponer el radicando en factores primos, las potencias de éstos deben ser todas números divisibles por el índice.

ejercicio

Ejemplo: Raíces exactas e inexactas


Calcula las siguientes raíces cuando sean exactas:

a) \sqrt[3]{216} \quad b) \sqrt[4]{0'0256}\quad c) \sqrt[3]{192}

wolfram

Actividad: Raíces exactas


Calcula:
a)\ \sqrt {16}, \quad b)\ \sqrt[3]{-27}, \quad c)\ \sqrt[4]{16}

La raíz como potencia de exponente fraccionario

ejercicio

Proposición


Toda raíz se puede expresar como una potencia de la siguiente forma:

\sqrt[n]{a^m}=a^\frac{m}{n}

ejercicio

Ejemplo: La raíz como potencia de exponente fraccionario


Escribe las siguientes potencias de exponente fraccionario en forma de raíces y calcula su valor:
a)\ 16^\frac{3}{4}\quad b)\ 27^\frac{2}{3}\quad c)\ 125^\frac{4}{3}\quad d)\ 100^{-\frac{3}{2}}\quad e)\ 8^{-\frac{2}{3}}

Propiedades: Las potencias con exponente fraccionario tienen las mismas propiedades que con exponente natural o entero.

wolfram

Actividad: Raíces como potencias de exponente fraccionario


Calcula las siguientes raíces como potencias de exponente fraccionario:
a)\ \sqrt {16}, \quad b)\ \sqrt[3]{-27}, \quad c)\ \sqrt[4]{16}

Calculadora

Raíz cuadrada

Calculadora

Calculadora: Raíz cuadrada


Para calcular raíces cuadradas usaremos la tecla Raíz cuadrada.

Raíz cúbica

Calculadora

Calculadora: Raíz cúbica


Para calcular raíces cúbicas usaremos la tecla Raíz cúbica.

Otras raíces

Calculadora

Calculadora: Otras raíces


Para calcular la raíz cuarta, quinta, etc., usaremos la tecla Raíz de índice x.

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