Potencias de base 10. Notación científica (2º ESO)

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Tabla de contenidos

1 Potencias de base 10
2 Operaciones con potencias de base 10
3 Descomposición polinómica de un número
4 Notación científica
5 Ejercicios propuestos

(Pág. 81)

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Potencias de base 10

Potencias de exponente positivo:

$10^0=1\;$

$10^1=10\;$

$10^2=100\;$

$10^3=1000\;$

$10^4=10\,000\;$

$\cdots$

Potencias de exponente negativo:

$10^{-1}=\cfrac{1}{10^1}=\cfrac{1}{10}=0.1\;$

$10^{-2}=\cfrac{1}{10^2}=\cfrac{1}{100}=0.01\;$

$10^{-3}=\cfrac{1}{10^3}=\cfrac{1}{1000}=0.001\;$

$\cdots$

Más información: Potencias de 10 (Wikipedia)

Potencias de 10

Actividad 1 Descripción:

El exponente de las potencias de base 10:

En la siguiente escena, modifica los valores del exponente y observa qué sucede en los siguientes casos:

Si el exponente es cero
Si el exponente es positivo
Si el exponente es negativo

Anota tus conclusiones en tu cuaderno.

Actividad 2 Descripción:

Paso de forma decimal a potencia de base 10:

Introduce la respuesta adecuada.

Antes de empezar consulta la ayuda que tiene la escena.

Anota en tu cuaderno los ejercicios.

Actividad 3 Descripción:

Paso de potencia de base 10 a forma decimal:

Introduce la respuesta adecuada.

Antes de empezar consulta la ayuda de la escena.

Anota en tu cuaderno los ejercicios.

Potencias de 10

Macro y microcosmos (8'52") Sinopsis:

Universo, macro y microcosmos en potencias de 10.

De lo más pequeño a lo más grande (3'37") Sinopsis:

Universo, macro y microcosmos en potencias de 10.

Secretos del Universo Descripción:

Observa la Vía Lactea desde 10 millones de años luz de distancia a la Tierra. Ve aproximándote a ésta progresivamente, hasta llegar a un árbol que hay en la superficie. Penetra en el mundo microscópico de una de sus hojas hasta llegar al universo subatómico de electrones y protones.

Versión en video (en castellano) (7'19") Sinopsis:

Universo, macro y microcosmos en potencias de 10

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Operaciones con potencias de base 10

Procedimiento

Al multiplicar un número por :
- Si $n \ge 0$ , el número resultante se obtiene desplazando la coma hacia la derecha $n\;$ posiciones.
- Si $n < 0\;$ , el número resultante se obtiene desplazando la coma hacia la izquierda $n\;$ posiciones.

Al dividir un número por :
- Si $n \ge 0$ , el número resultante se obtiene desplazando la coma hacia la izquierda $n\;$ posiciones.
- Si $n < 0\;$ , el número resultante se obtiene desplazando la coma hacia la derecha $n\;$ posiciones.

Nota 1: En todos los casos, al desplazar la coma, se añadirán los ceros que sean necesarios.
Nota 2: Dividir por $10^n\;$ equivale a multiplicar por $10^{-n}\;$ .

Ejemplos

$2.45 \cdot 10^3= 2450$
$2.45 : 10^3= 0.00245\;$
$2.45 \cdot 10^{-3}= 2.45 : 10^3 = 0.00245$
$2.45 : 10^{-3}= 2.45 \cdot 10^3 = 2450$

Productos y cocientes con potencias de 10 (17'59") Sinopsis:

Tutorial que explica a través de ejercicios la multiplicación y división de números decimales por potencias de 10, tanto de exponente positivo como negativo.

Productos y cocientes con potencias de 10 Descripción:

Reglas para multiplicar o dividir un número racional por potencias de 10. Ejemplos.
Ejercicios resueltos.

Multiplicando múltiplos de potencias de 10 (2'29") Sinopsis:

Calcula: $(9 \cdot 10^9) \cdot (-2 \cdot 10^{-3})$

Productos y cocientes de múltiplos de potencias de 10 Descripción:

Productos y cocientes de múltiplos de potencias de 10

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Descomposición polinómica de un número

La descomposición polinómica de un número consiste en expresar dicho número como una suma, en la que cada sumando es cada cifra del número multiplicada por una potencia de 10, cuyo exponente es una unidad menos de la posición que ocupa la cifra que la multiplica.

Ya conoces del curso pasado la descomposición polinómica de un número natural:

Ver: Descomposición polinómica de un número natural

A continuación veremos como se descompone un número decimal:

Procedimiento

Para descomponer polinómicamente un número decimal procederemos de la siguiente manera:

La parte entera del número se descompone como se hace con los números naturales, utilizando potencias de exponente positivo, teniendo en cuenta las equivalencias:

$10^0=1 \, ; \ 10^1=10 \, ; \ 10^2=100 \, ; \ 10^3=1000 \, ; \ \cdots$

La parte decimal del número se descompone de forma análoga pero utilizando potencias de exponente negativo, teniendo en cuenta las siguientes equivalencias:

$10^{-1}=0.1 \, ; \ 10^{-2}=0.01 \, ; \ 10^{-3}=0.001 \, ; \ \cdots$

Ejemplo

Vamos a obtener la descomposición polinómica del número 5034.652:

$5034.652 = 5000 + 30 + 4 + 0.6 + 0.05 + 0.002 =\;$

$= 5 \cdot 10^3 + 3 \cdot 10^1 + 4 \cdot 10^0 + 6 \cdot 10^{-1} + 5 \cdot 10^{-2} + 2 \cdot 10^{-3}$

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Notación científica

Trabajar con números muy grandes o muy pequeños (muy próximos a cero) resulta engorroso. Por eso debemos aprender a escribir estos números de una forma más abreviada y que resulte más cómoda.

Esta forma de escribirlos es lo que llamaremos notación científica. Veamos en qué consiste:

Un número está en notación científica si aparece expresado de la forma:

$a \cdot 10^n$

donde $a \;\!$ es un número con 1 cifra entera distinta de cero y un número cualquiera de decimales.

Ejemplos:

Ejemplo 1:

Los siguientes números están en notación científica:

$1.23 \cdot 10^{3} \, , \ \ 7 \cdot 10^{-2}$

Estos otros no lo están:

$12.3 \cdot 10^{2} \, , \ \ 0.7 \cdot 10^{-1}$

Ejemplo 2:

La distancia media de la Tierra al Sol es de unos 1500 millones de kilómetros. Si tuviésemos que expresarlo en metros, lo podríamos escribir con todas sus cifras, pero sería más razonable escribirlo en notación científica:

$150\,000\,000\,000 \ m=1.5 \cdot 10^{11} \ m$

La masa de un electrón es aproximadamente $9.1 \cdot 10^{-31} \ kg$ . Si lo escribiésemos con todas sus cifras ...

$0.00000000000000000000000000000091 \ kg$

La notación científica

Actividad 1 Descripción:

En la siguiente escena, genera distintos números, pulsando el botón inferior.

Anótalos en tu cuaderno, explicando qué condiciones cumple para que esté en notación científica.

Actividad 2 Descripción:

Consulta la ayuda de la escena y contesta.

Modifica los valores de las cifras y del exponente y observa qué sucede con la coma en los siguientes casos:

Si el exponente es cero
Si el exponente es negativo
Si el exponente es positivo

Anota en tu cuaderno las conclusiones a las que hayas llegado.

Actividad 3 Descripción:

Consulta la ayuda de la escena y contesta.

Debes averiguar qué números son menores que 1 (numeros pequeños) o mayores que 1 (números grandes).

Anota en tu cuaderno los resultados.

Actividad 4 Descripción:

Para comparar números escritos en notación científica debes tener en cuenta las siguientes normas:

Dos números con distinta potencia de 10 : el nº mayor es el de mayor exponente
Dos números con la misma potencia de 10: el nº mayor es el de "mayor cifra" delante de la potencia

Consulta la ayuda y practica con la escena adjunta.

Anota en tu cuaderno los resultados.

Procedimiento

Para pasar un número a notación científica debemos:

Desplazar la coma hasta colocarla detrás de la primera cifra distinta de cero.
Multiplicar por una potencia de 10 adecuada:

Si la desplazamos $n\;$ lugares a la izquierda, estamos dividiendo el número de partida por $10^n\;$ , por lo que deberemos multiplicar por $10^n\;$ para equilibrar.
Si la desplazamos $n\;$ lugares a la derecha, estamos multiplicando el número de partida por $10^n\;$ , por lo que deberemos dividir por $10^n\;$ para equilibrar, esto es, multiplicar por $10^{-n}\;$ .

Ejemplos

Expresa en notación científica los siguientes números:

a) 123 000 b) 0.023

Solución:

a) Para expresar 123 000 en notación científica debemos mover la coma 5 lugares hacia la izquierda para que quede situada entre el 1 y el 2. (Nótese que la coma está detrás del último cero en el número de partida, aunque no se escribe). Esto equivale a dividir el número de partida entre $10^5\;$ , por lo que compensaremos multiplicando por dicha potencia:

$123\,000=\cfrac{123\,000}{10^5} \cdot 10^5 = 1.23 \cdot 10^5$

b) Para expresar 0.023 en notación científica debemos mover la coma 2 lugares hacia la derecha para que quede situada entre el 2 y el 3. Esto equivale a multiplicar el número de partida por $10^2\;$ , por lo que compensaremos dividiendo por dicha potencia: