Problemas clásicos (3ºESO Académicas)

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Tabla de contenidos

1 Repartos proporcionales
2 Mezclas
3 Móviles
4 Grifos
5 Cronometría
6 Combinatoria

(Pág. 47)

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Repartos proporcionales

En los repartos proporcionales tenemos que partir una cantidad en varias partes, de manera que cada parte sea proporcional, directa o inversamente, a unos ciertos números dados.

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Repartos directamente proporcionales

Procedimiento

Para repartir una cantidad, $C\;$ , en partes directamente proporcionales a $a, b, c, ...\;$ , tenemos que:

Calcular la suma $S=a+b+c+...\;$ y la razón $p=\cfrac{C}{S}$ .
Multiplicar $a, b, c, ...\;$ por $p\;$ para obtener las partes buscadas: $a \cdot p, \ b \cdot p, \ c \cdot p, ...$

Ejemplo: Repartos directamente proporcionales

Tres grifos aportan 2 l/s, 5 l/s y 7 l/s, respectivamente. Se abren los tres simultáneamente para llenar una balsa de 17080 l. Cuando la balsa está llena, ¿qué volumen de agua habrá manado de cada grifo?

Solución:

Los tres grifos aportan $2+5+7=14 \ l/s$ , de manera que:

El primero aporta $\cfrac{2}{14}\;$ del total $\rightarrow \cfrac{2}{14} \cdot 17080 = 2440 \ l$

El segundo aporta $\cfrac{5}{14}\;$ del total $\rightarrow \cfrac{5}{14} \cdot 17080 = 6100 \ l$

El tercero aporta $\cfrac{7}{14}\;$ del total $\rightarrow \cfrac{7}{14} \cdot 17080 = 8540 \ l$

Repartos directamente proporcionales

Tutorial (4'10") Sinopsis:

Tutorial que explica los problemas de reparto proporcional.

Problema 1 (17'03") Sinopsis:

Tutorial que explica un problema concreto de proporcionalidad directa que es el de un reparto, viendo distintos métodos de resolución: por proporciones/porcentajes, reducción a la unidad, proporcionalidad y regla de tres:

Problema: Tres amigos, Ana, Berta y Carlos, decidieron echar una quiniela de futbol poniendo cada uno de ellos, 6, 15 y 9 €, respectivamente. Después del fin de semana se enteraron que habían tenido 12 aciertos y que les había tocado un premio total de 1200 €. ¿Cuánto dinero le corresponderá a cada uno de ellos?

Problemas 2 (6'50") Sinopsis:

Reparto proporcional directo:

La comunidad de una urbanización encarga su pintado a tres empresas. La empresa A pinta 50 pisos, la B, 39, y la C, 51. El coste del pintado asciende a 70000€. ¿Cuánto ha cobrado cada empresa?

Tres amigos deciden formar una peña de apuestas deportivas. Pedro aporta 45 €, Laura 31 € y Agustín 44 €. En una apuesta ganan 55000 € y deciden repartirlo. ¿Cuánto le corresponde a cada uno?

Problema 3 (3'43") Sinopsis:

Reparto proporcional directo:

Tres amigos compran lotería por valor de 20$. El primero pone 6$, el segundo 9$ y el tercero 5$. Si ganan un premiode 4000$, ¿cuánto le corresponde a cada uno?

Problemas 4 (4'47") Sinopsis:

2 ejemplos de problemas de repartos proporcionales.

Repartos directamente proporcionales

Repartos directamente proporcionales Descripción:

Practica los repartos directamente proporcionales.

Autoevaluación 1 Descripción:

Problemas de autoevaluación sobre repartos directamente proporcionales.

Autoevaluación 2 Descripción:

Problemas de autoevaluación sobre repartos directamente proporcionales.

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Repartos inversamente proporcionales

Procedimiento

Repartir una cantidad, $C\;$ , en partes inversamente proporcionales a $a, b, c, ...\;$ , equivale a repartir dicha cantidad en partes directamente proporcionales a sus inversos, $\cfrac{1}{a}, \ \cfrac{1}{b}, \cfrac{1}{c}, ...$

Ejemplo: Repartos inversamente proporcionales

Un jefe decide repartir 700 € de gratificación entre sus tres empleados, Juan, Luis y Guillermo, de manera que cada uno reciba una cantidad que sea inversamente proporcional al número de veces que han llegado tarde. Si Juan ha llegado 1 día tarde, Luis, 2 días, y Guillermo, 4 días, cuánto le corresponderá a cada uno?

Solución:

hay que hacer un reparto directamente proporcional a 1, 1/2 y 1/4:

Calculamos $S=1+\cfrac{1}{2}+\cfrac{1}{4}=\cfrac{7}{4}$ y $p=\cfrac{C}{S}=700:\cfrac{7}{4}=400$

Juan recibirá $1 \cdot 400=400$ €.

Luis recibirá $\cfrac{1}{2} \cdot 400=200$ €.

Guillermo recibirá $\cfrac{1}{4} \cdot 400=100$ €.

Repartos inversamente proporcionales

Tutorial (5'32") Sinopsis:

Tutorial que explica los problemas de repartos inversamente proporcionales.

Problema 1 (9'15") Sinopsis:

Tutorial que explica un problema concreto de reparto proporcional inverso.

Problema: Tres amigos, Ana, Berta y Carlos, decidieron echar una carrera, en la cual tardaron 2, 3 y 4 minutos, respectivamente. Antes de la misma, acordaron repartirse 390 cromos de una colección en función del tiempo empleado en la carrera. ¿Cuántos cromos le corresponden a cada uno de ellos?

Problema 2 (5'46") Sinopsis:

Reparto proporcional inverso:

Se va a repartir una gratificación por puntualidad consistente en 38$, entre 3 empleados de una oficina. Sabiendo que han tenido 2, 4 y 5 retrasos, respectivamente, ¿cuánto dinero recibe cada uno?

Problemas 3 (6'35") Sinopsis:

Problemas de repartos inversamente proporcionales.

Repartos inversamente proporcionales Descripción:

Practica los repartos inversamente proporcionales.

Autoevaluación 1 Descripción:

Problemas de autoevaluación sobre repartos inversamente proporcionales.

Autoevaluación: Repartos inversamente proporcionales Descripción:

Problemas de autoevaluación sobre repartos inversamente proporcionales.

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Actividades

Problemas de repartos proporcionales directos e inversos Descripción:

Practica con problemas de repartos proporcionales directos e inversos.

Problemas resueltos: Repartos proporcionales directos e inversos Descripción:

Problemas resueltos sobre repartos proporcionales.

Ejercicios propuestos: Repartos proporcionales

(Pág. 47)

1, 2

3, 4

(Pág. 48)

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Mezclas

Ejercicio resuelto: Mezclas

Se muelen conjuntamente 50 kg de café de 8.80 €/kg y 30 kg de otro café de inferior calidad, de 6.40 €/kg. ¿A cómo resulta el kilo de la mezcla obtenida?

Solución:

Para resolverlo haremos uso de la siguiente tabla:

	CANTIDAD (kg)	PRECIO (€/kg)	COSTE (€)
CAFÉ SUPERIOR	50 kg	8.80 €/kg	$50 \cdot 8.80=440$ €
CAFÉ INFERIOR	30 kg	6.40 €/kg	$30 \cdot 6.40=192$ €
MEZCLA	80 kg	x	$440+192=632\;$ €

$80 \cdot x = 632\;$

$x = \cfrac{632}{80} = 7.90\;$ €/kg

Problemas de mezclas

Problema 1 (11'08") Sinopsis:

Problema de mezclas con sales de baño.

Problema 2 (9'18") Sinopsis:

Se dispone de dos clase de café: uno de 1.05$ y otro de 1.25$ la libra. ¿Qué cantidad se utiliza de cada uno para obtener café de 1.20$ la libra, si de la clase más cara se utilizan 20 libras más que de la barata?

Problema 3 (4'52") Sinopsis:

¿Cuántos litros de una solución de alcohol al 30% deben mezclarse con 90 litros de otra solución al 70% para obtener una solución al 60%?

Problema 4 (6'46") Sinopsis:

Si tienes 50 onzas de una solución salina al 25% (mezcla de agua con sal), ¿Cuántas onzas de solución salina al 10% debes agregar para obtener una nueva solución salina al 15%?

Problema 5 (4'10") Sinopsis:

Un biólogo realiza una investigación sobre el impacto de tres diferentes bebidas azucaradas a base de agua en la habilidad de las abejas de producir miel. Coge 2 litros de la bebida A, que contiene 40% de azúcar, y agrega 1.2 litros de bebida B. Comprobó que las abejas preferían esta nueva solución, que llamaremos bebida C, la cual medimos que contiene 25% de azúcar. ¿Cuál es el porcentaje de azúcar de la bebida B?

Ejercicios propuestos: Mezclas

(Pág. 48)

7, 8

5, 6

(Pág. 49)

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Móviles

A tener en cuenta ...

Dos móviles que van uno al encuentro del otro, se aproximan con una velocidad relativa igual a la suma de las velocidades absolutas de cada móvil.
Dos móviles que van uno en persecusión del otro, se aproximan con una velocidad relativa igual a la diferencia de las velocidades absolutas de cada móvil.

Ejercicios resueltos: Móviles

1. Un ciclista profesional, entrenándose, avanza por una carretera a una velocidad de 38 km/h. Más adelante, a 22 km, un cicloturista avanza en el mismo sentido a 14 km/h. ¿Cuánto tarda el ciclista profesional en alcanzar al cicloturista?

2. Un motorista y un coche avanzan por una carretera, dirigiéndose el uno hacia el otro, a unas velocidades de 50 km/h y 100 km/h, respectivamente. Si los separa una distancia de 10 km, ¿cuánto tiempo tardarán en encontrarse?

Solución:

Solución 1: Los ciclistas se aproximan a una velocidad de 38 - 14 = 24 km/h.

Calculamos el tiempo hasta que se encuentran, sabiendo que les separan 22 km:

$t=\cfrac{e}{v}=\cfrac{22}{24} \ \mbox{h} = 55 \; \mbox{min}$

Solución 2:

Los dos se aproximan a una velocidad de 50 + 100 = 150 km/h.

Calculamos el tiempo hasta que se encuentran, sabiendo que les separan 10 km:

$t=\cfrac{e}{v}=\cfrac{10}{150} \ \mbox{h} = 4 \; \mbox{min}$

Problemas de móviles

Problemas 1 (8'40") Sinopsis:

Problemas de móviles:

Dos ciudades A y B distan 90 km. Un coche sale de A hacia B a las 9 de la mañana a 70 km/h. Al mismo tiempo, un camión sale de B hacia A a 50 km/h. ¿A qué distancia de A se cruzan? ¿A qué hora?
Dos ciudades A y B distan 250 km. Un coche sale de A hacia B a las 9 de la mañana a 70 km/h. Una hora más tarde, un camión sale de B hacia A a 50 km/h. ¿A qué distancia de A se cruzan? ¿A qué hora?

Problema 2 (4'23") Sinopsis:

Problema de móviles:

Un camión sale de una ciudad A a las 9 de la mañana a 50 km/h. Una hora más tarde sale un coche en su persecución a 70 km/h. ¿A qué distancia de A se encuentran? ¿A qué hora?

Problemas 3 (7´52") Sinopsis:

Problemas de móviles.

Problemas 4 (6´56") Sinopsis:

Problemas de móviles.

Problemas 5 (7´38") Sinopsis:

Problemas de móviles.

Problemas 6 (19´43") Sinopsis:

Problemas de móviles.

Problemas 7 (5´46") Sinopsis:

Problemas de móviles.

Problemas 8 (8´27") Sinopsis:

Problemas de móviles.

Problemas 9 (14´58") Sinopsis:

Problemas de móviles.

Ejercicios propuestos: Móviles

(Pág. 49)

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Grifos

Problema 1 (5´07") Sinopsis:

Un grifo tarda 4h en llenar un recipiente y a otro le cuesta 12h. ¿Cuánto tardaremos si abrimos los dos grifos a la vez?

Problema 2 (6´18") Sinopsis:

Tres grifos tardan 2h y 40min en llenar una piscina. Sabiendo que uno de ellos lo hace en solo 6h y el otro en 8h, ¿cuánto tardará el tercero?

Problema 3 (6'24") Sinopsis:

Problema de grifos.

Problema 4 (8'19") Sinopsis:

Problemas de grifos.

Problema 5 (7'43") Sinopsis:

Problemas de grifos.

Problema 6 (12´08") Sinopsis:

Un caño llena un tanque en 4 horas y un desagüe lo vacía en 6 horas. ¿En cuánto tiempo se llenará el tanque si la llave del desagüe empieza a funcionar una hora después de abierto el caño?

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Cronometría

Problemas de cronometría

Problemas 1 (13´27") Sinopsis:

Problemas de cronometría

Problemas 2 (12´40") Sinopsis:

Problemas de cronometría

Problemas 3 (22´37") Sinopsis:

Problemas de cronometría

Problemas 4 (13´44") Sinopsis:

Problemas de cronometría

Problemas 5 (42´45") Sinopsis:

Problemas de cronometría

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Combinatoria

Problemas de combinatoria (diagramas de árbol)

Problema 1 (3´01") Sinopsis:

Problema de combinatoria usando diagramas de árbol.

Problema 2 (3´49") Sinopsis:

Problema de combinatoria usando diagramas de árbol.

Problema 3 (3´33") Sinopsis:

Problema de combinatoria usando diagramas de árbol.

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Categorías: Matemáticas | Aritmética

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