Ramas infinitas. Asíntotas (1ºBach)

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Tabla de contenidos

(Pág. 286)

Ramas infinitas

Una función presenta una rama infinita si presenta una asíntota o una rama parabólica.

Pasamos a definir asíntota y rama parabólica.

Asíntota

Una asíntota es una recta hacia la que se acerca la gráfica de una función, tanto como se quiera, a medida que la variable independiernte se aproxima a un punto, a + \infty o a -\infty.

Hay tres tipos:

  • Asíntota vertical (A.V.)
  • Asíntota horizontal (A.H.)
  • Asíntota oblicua (A.O.)

Nota: La función nunca puede cortar una A.V., pero si puede cortar a una A.H. o a una A.O.

Asíntota vertical

Una función f(x)\; presenta en x=a\; una asíntota vertical (A.V.) si ocurre alguna, o ambas, de estas dos cosas:

\lim_{x \to a^+} f(x)=+ \infty \ \ (\acute{o} \ -\infty)
\lim_{x \to a^-} f(x)=+ \infty \ \ (\acute{o} \ -\infty)

Nota: Se pueden dar las dos condiciones o una sola de ellas.

Asíntota vertical: x = 2

Asíntota horizontal

Una función f(x)\; presenta una asíntota horizontal (A.H.) en y=a\; si:

\lim_{x \to +\infty} f(x)= a

o bien,

\lim_{x \to -\infty} f(x)= a

Nota: Se pueden dar las dos condiciones o una sola de ellas.

Asíntota horizontal: y = 1

Asíntota oblicua

Una función f(x)\; presenta una asíntota oblicua (A.O.) en y=mx+n\; si:

\lim_{x \to +\infty} [f(x)-(mx+n)]= 0

o bien,

\lim_{x \to -\infty} [f(x)-(mx+n)]= 0

Nota: Se pueden dar las dos condiciones o una sola de ellas.


Para calcular los coeficientes m\; y n\; de la asíntota, se procederá de la siguiente manera:

m=\lim_{x \to +\infty} \cfrac{f(x)}{x}     (o bien, con x \to -\infty)
n=\lim_{x \to +\infty} [f(x)-mx]     (o bien, con x \to -\infty)

Asíntota oblicua: y = x + 3

Rama parabólica

Una función f(x)\; presenta una rama parabólica si no presenta una asíntota oblicua pero cumple que:

\lim_{x \to +\infty} f(x)= +\infty \ (\acute{o} -\infty)

o bien,

\lim_{x \to -\infty} f(x)= +\infty \ (\acute{o} -\infty)

Ramas parabólicas

Estudio de las asíntotas de una función


Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Ramas infinitas


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Ramas infinitas de las funciones racionales

ejercicio

Proposición


Consideremos la función racional en la variable x, ya simplificada (es decir, si el numerador y el denominador tienen factores comunes, cosa que ocurre si se anulan simultáneamente en algún punto, factorizaremos y simplificaremos dichos factores):

f(x)=\cfrac{P(x)}{Q(x)}=\cfrac{a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+ \cdots + a_1 x + a_0}{b_m x^m+b_{m-1}x^{m-1}+ \cdots + b_1 x + b_0}\;

La función f(x)\; (ya simplificada) tiene las siguientes ramas infinitas, si se da alguno de los siguientes casos:

  • Asíntotas verticales:
    • Si x=c\; es una raíz de Q(x), entonces la recta x=c\; es una asíntota vertical de f(x)\;.

  • Asíntotas horizontales:
    • Si n<m\;, entonces la recta y=0\; es una asíntota horizontal de f(x)\;, tanto por + \infty, como por - \infty.
    • Si n=m\;, entonces la recta y=\cfrac{a_n}{b_n}\; es una asíntota horizontal de f(x)\;, tanto por + \infty, como por - \infty.

  • Asíntotas oblicuas:
    • Si n-m=1\;, f(x)\; tienen una asíntota oblicua, tanto por + \infty, como por - \infty. Dicha asíntota es igual al cociente de la división entre P(x)\; y Q(x)\;.

  • Ramas parabólicas:
    • Si n-m>1\;, entonces f(x)\; tiene una rama parabólica, tanto por + \infty, como por - \infty.

ejercicio

Ejercicios resueltos


Halla todas las ramas infinitas de las siguientes funciones:

a) y=\cfrac{x^2+1}{x^2-2x}        b) y=\cfrac{x^2-5x+7}{x-2}        c) y=\cfrac{x^3-5x^2}{-x+3}

Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Ramas infinitas de las funciones racionales


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Ramas infinitas de las funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas

Funciones trigonométricas

Si recordamos las propiedades de las funciones trigonométricas, tenemos:

ejercicio

Propiedades


  • Las funciones y=sen x\;, y=cos x\; e y=tg x\;, por ser periódicas, no tienen límite cuando x \to +\infty ni cuando x \to -\infty. Por tanto no tienen ramas parabólicas, ni asíntotas horizontales. Las dos primeras tampoco tienen asíntotas verticales por ser su dominio los números reales.
  • La función y=tg x\;, tiene infinitas asíntotas verticales en los puntos
\left \{ x= \pi /2 + k \pi \, , \ k  \in \mathbb{Z} \right \}

Funciones exponenciales

Si recordamos las propiedades de las funciones exponenciales, tenemos:

ejercicio

Propiedades


La función y=a^x\; tiene:

  • Asíntota horizontal:
  • En y=0\; para x \to +\infty si a>1\;
  • En y=0\; para x \to +\infty si 0<a<1\;
  • Rama parabólica:
  • Para x \to +\infty si a>1\;
  • Para x \to -\infty si 0<a<1\;
  • Asíntota vertical: No tiene, pués es continua en toda la recta real.

Funciones logartmicas

Si recordamos las propiedades de las funciones logarítmicas, tenemos:

ejercicio

Propiedades


La función y=log_a \, x\; tiene:

  • Asíntota vertical:
  • En x=0\;, cuando x \to 0^+.
  • Rama parabólica:
  • Para x \to +\infty


Ejercicios propuestos

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Ejercicios propuestos: Ramas infinitas de las funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas


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