Razones y proporciones (2º ESO)

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Tabla de contenidos

1 Introducción
2 Razón y proporción
- 2.1 Cálculo del cuarto proporcional
- 2.2 Actividades y videotutoriales
3 Ejercicios propuestos

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Introducción

Un toque divertido para empezar el tema:

Las aventuras de Troncho y Poncho: Proporcionalidad (9'04") Sinopsis:

La aventura más Manga de Troncho y Poncho (a lo japonés). Es como si los Pokemon explicasen las magnitudes directa e inversamente proporcionales.

Puedes encontrar ejercicios sobre este vídeo y material similar en: http://www.angelitoons.com/

Veamos a continuación algunos ejemplos de aplicación de las proporciones:

Para empezar Descripción:

Distintos ejemplos de proporciones.

(Pág. 90)

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Razón y proporción

Razones y proporciones numéricas (14'16") Sinopsis:

Tutorial en el que se explica y trabaja la proporción numérica, la razón de proporción, y cuando cuatro números guardan proporción.

00:00 a 02:40: Introducción (ejemplos).
02:40 a 03:15: Definición de razón (de proporción) entre dos cantidades (números).
03:15 a 05:24: Ejemplos 1-2-3 de razón (de proporción) entre dos números.
05:24 a 08:15: Ejemplo 4 de aplicación de razón.
08:15 a 09:40: Definición de cuándo cuatro números guardan proporción. Producto de medios y producto de extremos.
09:40 a 12:20: Ejemplos 5-6-7 de razón de proporción entre dos números. - 12:20 a Fin: Ejemplo 8 de aplicación de razón.

Estamos acostumbrados a dar información sobre situaciones de la vida cotidiana usando números. Hay ocasiones en las que un solo número no es suficiente y debemos compararlo con otra cantidad para poder comprender mejor la situación. Cuando comparamos dos cantidades formamos una razón.

Razón es el cociente entre dos números, $a\;$ y $b\;$ . Se escribe $\frac{a}{b}$ y se lee " $a\;$ es a $b\;$ ".

Advertencia:

Toda fracción puede ser considerada como una razón, pero no toda razón es una fracción, ya que una fracción es el cociente de dos números enteros, pero en una razón los números no tienen que ser necesariamente enteros.
Cuando digamos "razón de a y b" nos referiremos habitualmente al cociente a/b, pero según el contexto, podremos considerar a/b o b/a, indistintamente.
Podemos expresar una razón como número decimal o, cuando sea posible, como fracción.
Una razón no tiene unidades y sirve para comparar, ya que indica el nº de veces que una cantidad es mayor que otra.

Razones

Tutorial 1 (7'17") Sinopsis:

Concepto de razón.

Tutorial 2 (3'57") Sinopsis:

Explicación de qué es una razón y presentación de algunos ejemplos en los que se aplican las razones

Tutorial 3 (5'29") Sinopsis:

Aprenderemos qué es una razón (ratio), es decir, el cociente de dos magnitudes y qué significa.

Tutorial 4a (4'01") Sinopsis:

Una razón es una comparación de dos cantidades. Aprende a encontrar la relación entre dos cosas, por ejemplo, entre el número de manzanas y el de naranjas.

Aviso: A veces, se tiende a confundir el término "razón" con el de "proporción". Por ejemplo, en este video se habla de "proporción de manzanas en relación con naranjas". En realidad debe decirse "razón entre manzanas y naranjas". El significado del término "proporción" lo veremos posteriormente.

Tutorial 4b (2'58") Sinopsis:

En este video utilizamos razones parte:todo para encontrar la relación entre el número frutas de un tipo (la parte) con el número total de ellas (el todo).

Aviso: A veces, se tiende a confundir el término "razón" con el de "proporción". Por ejemplo, en este video se habla de "proporción del número de manzanas en relación con el número de frutas". En realidad debe decirse "razón entre el número de manzanas y el de frutas". El significado del término "proporción" lo veremos posteriormente.

Tutorial 4c (5'32") Sinopsis:

Una tasa es una razón. En este video presentamos las tasas por medio de ejemplos como 60 km por hora o 200 calorías por porción.

Razones

Actividad 1 Descripción:

En una primera escena te presentamos varios ejemplos de razón entre dos números para entender qué nos indica.
En otra actividad te proponemos que halles la razón en tres casos concretos.

Actividad 2 Descripción:

Razón ente dos números.

Autoevaluación Descripción:

Razón ente dos números.

Una proporción es una igualdad entre dos razones: $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ . En tal caso, se dice que ambas razones son equivalentes.

Para entender la definición anterior fíjate en el siguiente ejemplo.

Ejemplo

Quieres hacer una copia ampliada de una foto carné. Quieres que esa foto sea exactamente igual que la que ya tienes, pero más grande, es decir, que se respete la forma, pero no el tamaño. Lógicamente si duplicas el largo de la foto, estás obligado a duplicar el alto, ya que de lo contrario no se respetaría la forma original (saldría estirada o achatada). Matemáticamente, para que la nueva foto sea proporcional, la razón entre el largo de la ampliación y el largo de la original tiene que ser igual a la razón entre el ancho de la ampliación y el ancho de la original. Y eso es lo que dice la definición, una proporción es una igualdad de razones.

Con proporción

Sin proporción

Proporciones

Tutorial 1 (6'02") Sinopsis:

Explicación de qué es una proporción y presentación de algunos ejemplos en los que se aplican las proporciones.

Tutorial 2 (6'02") Sinopsis:

Conceptos de proporción.

Proporciones

Actividad Descripción:

En una primera escena te presentamos varios ejemplos de proporciones.
En otra actividad te proponemos que compruebes si dos razones dadas forman o no una proporción.

Autoevaluación Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre proporciones.

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Cálculo del cuarto proporcional

Se llama cuarto proporcional al término que desconocemos en una proporción.

Dado que si dos fracciones son equivalentes "el producto de medios es igual al de extremos", podemos calcular cualquier término de una proporción conociendo los otros tres.

Procedimiento

Para calcular el cuarto proporcional igualaremos el producto de extremos al producto de medios y despejaremos la incógnita:

$\cfrac{a}{b}=\cfrac{c}{x} \quad\Leftrightarrow\quad a \cdot x=b \cdot c \quad\Leftrightarrow\quad x=\cfrac{b \cdot c}{a}$

Ejercicio (9'08") Sinopsis:

Halla el valor de "n" en la proporción $\cfrac{8}{36}=\cfrac{10}{n}$ .

Cálculo del cuarto proporcional

Actividad 1 Descripción:

Actividades para aprender y practicar el cálculo del cuarto proporcional.

Actividad 2 Descripción:

Actividades para aprender y practicar el cálculo del cuarto proporcional.

Actividad 3 Descripción:

Actividades para aprender y practicar el cálculo del cuarto proporcional.

Autoevaluación 1 Descripción:

Resolver proporciones.

Autoevaluación 2 Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre cuartos proporcionales.

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Actividades y videotutoriales

Razones y proporciones

Problema 1 (7'47") Sinopsis:

Completa la tabla sabiendo que la razones entre los elementos de las columnas son equivalentes.

Problema 2 (1'49") Sinopsis:

En una clase de idiomas, la razón de niñas a niños es 5 a 8. Si hay 65 estudiantes, ¿cuántas niñas hay?

Problema 3 (2'26") Sinopsis:

Majo tarda 3 horas en repartir 189 periódicos en su ruta. ¿Cuál es la razón por hora en la que entrega periódicos?

Problema 4 (2'01") Sinopsis:

El servicio de limpieza Miranda cobra $2800 por limpiar 8 oficinas. ¿Cuál es el precio que cobra la compañía por limpiar una oficina?

Problema 5 (3'39") Sinopsis:

Problema de comparación de tasas a partir de un tabla.

Razones y proporciones

Actividad 1 Descripción:

Distintos ejemplos de razón y proporcionalidad.

Actividad 2 Descripción:

Aprende a completar tablas de razones equivalentes.

Autoevaluación 1 Descripción:

Problemas verbales de razones equivalentes (proporciones).

Autoevaluación 2 Descripción:

Comprender razones equivalentes (proporciones).

Autoevaluación 3 Descripción:

Razones equivalentes a partir de diagramas de barras.

Autoevaluación 4 Descripción:

Razones equivalentes y unidades de medida.

Autoevaluación 5 Descripción:

Razones parte:todo a partir de diagramas de barras.

Autoevaluación 6 Descripción:

Ejercicios:

Calcula la razón de cada par de números y expresa el resultado como un número decimal.
De las siguientes parejas de números, escoge aquellas que tengan razón 3/5.
Calcula el término desconocido para cada proporción.

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