Semejanza de triángulos. Teorema de Tales (2º ESO)

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Tabla de contenidos

1 Semejanza de triángulos
2 Teorema de Tales
- 2.1 Ejercicios propuestos
- 2.2 Triángulos en la posición de Tales
3 Criterios de semejanza de triángulos
- 3.1 Ejercicios propuestos
4 Semejanza entre triángulos rectángulos
5 Aplicaciones de la semejanza de triángulos
- 5.1 Ejercicios propuestos

(Pág. 202)

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Semejanza de triángulos

Se dice que dos figuras geométricas, y en particular dos triángulos, son semejantes si tienen la misma forma aunque sus tamaños u orientación sean diferentes.

Matemáticamente, la semejanza de triángulos la podemos expresar de la siguiente manera:

Dos triángulos, $ABC\;$ y $A'B'C'\;$ , son semejantes, y lo notaremos $ABC \sim A'B'C'\;$ , si cumplen las dos condiciones siguientes:

1. Los ángulos correspondientes u homólogos* son iguales:

$\widehat{A}=\widehat{A}'\, ,\ \widehat{B}=\widehat{B}'\, ,\ \widehat{C}=\widehat{C}'$

2. Los lados correspondientes u homólogos son proporcionales:

$\cfrac{c'}{c} = \cfrac {b'}{b} = \cfrac{a'}{a}=r$

Al valor $r\;\!$ se le llama razón de semejanza.

(*) Dos elementos de dos figuras son homólogos si ocupan el mismo lugar en ambas figuras.

Nota: Cuando veamos los criterios de semejanza de triángulos, veremos que para que dos triángulos sean semejantes bastará con que se cumpla una de las dos condiciones: que los lados homólogos sean proporcionales o que los ángulos homólogos sean iguales. En tal caso, la otra condición se cumplirá automáticamente.

Triángulos semejantes

Tutorial (2'13") Sinopsis:

Definición de triángulos semejantes.

Ejemplo (5'09") Sinopsis:

Ejemplo de semejanza de triángulos.

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Teorema de Tales

Primer teorema de Tales

Dos rectas paralelas, AB y A'B', que cortan a dos rectas secantes, d y d', determinan en éstas segmentos proporcionales:

$\frac {\overline{OA}} {\overline{OB}} = \frac {\overline{AA'}} {\overline{BB'}} = \frac {\overline{OA'}} {\overline{OB'}}$

Demostración:

Demostración (13´21") Sinopsis:

Demostración del primer teorema de Tales.

Ejemplos: Teorema de Tales

Ejemplo 1 (1'39") Sinopsis:

Ejemplo de aplicación del teorema de Tales.

Ejemplo 2 (2'25") Sinopsis:

Ejemplo de aplicación del teorema de Tales.

Ejemplo 3 (1'38") Sinopsis:

Ejemplo de aplicación del teorema de Tales.

Ejemplo 4 (3'02") Sinopsis:

Ejemplo de aplicación del teorema de Tales.

Ejemplo 5 (4'00") Sinopsis:

Ejemplo de aplicación del teorema de Tales.

Teorema de Tales Descripción:

En esta escena podrás comprobar el primer teorema de Tales.

Teorema de Tales. Descripción:

Actividades para aprender y practicar el teorema de Tales.

División de un segmento en partes iguales Descripción:

Aplicaciones del teorema de Tales:

División de un segmento en partes iguales.
Dibujar fracciones en la recta real.

Ejercicios resueltos: Aplicaciones del teorema de Tales Descripción:

Ejercicios reaueltos de aplicación del teorema de Tales:

Triángulos en la posición de Tales.
División de un segmento en partes iguales.

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Ejercicios propuestos

Ejercicios propuestos: Teorema de Tales

(Pág. 202)

1, 2

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Triángulos en la posición de Tales

Dos triángulos ABC y A'B'C', con sus lados paralelos y encajados con un vértice común, se dice que están en la posición de Tales

Corolario

Dos triángulos son semejantes si y sólo si están en la posición de Tales.

Teorema de Tales. Triángulos en la posición de Tales

Tutorial 1 (7´18") Sinopsis:

Teorema de Tales. Ejemplos.

Tutorial 2 (23´57") Sinopsis:

Tutorial en el que se explica y trabaja el teorema de Tales y se resuelven algunos ejercicios sencillos en los que se aplican dichas propiedades.

00:00 a 04:15: Repaso teórico de semejanza de triángulos.
04:15 a 06:48: Teorema de Tales (I), triángulos semejantes.
06:48 a 16:52: Ejercicios del Teorema de Tales (I).
16:52 a 18:15: Teorema de Tales (II), segmentos semejantes.
21:30 a Fin: Ejercicios del Teorema de Tales (II).

Ejercicio 1 (3'28") Sinopsis:

División de un segmento en partes proporcionales.

Ejercicio 2 (2'43") Sinopsis:

Dibujo y cálculo del 4º proporcional a tres segmentos dados.

Ejercicio 3 (2'51") Sinopsis:

Cálculo y dibujo del 3º proporcional a dos segmentos dados.

Ejercicio 4 (2´29") Sinopsis:

Ejercicio de aplicación del primer teorema de Tales.

Ejercicio 5 (7´19") Sinopsis:

Ejercicio de aplicación del primer teorema de Thales.

Teorema de Tales (otro forma de enunciarlo)

Tutorial (3´23") Sinopsis:

Otra forma equivalente de enunciar el teorema de Tales utilizando la semejanza de triángulos: Dos triángulos encajados (en la posición de Tales) son semejantes y en consecuencia sus lados son proporcionales.

Ejemplo 1 (1´14") Sinopsis:

Ejemplo de aplicación del teorema de Tales.

Ejemplo 2 (3´30") Sinopsis:

Ejemplo de aplicación del teorema de Tales.

Ejemplo 3 (3´24") Sinopsis:

Ejemplo de aplicación del teorema de Tales.

Ejemplo 4 (3´22") Sinopsis:

Ejemplo de aplicación del teorema de Tales.

Ejemplo 5 (2´10") Sinopsis:

Ejemplo de aplicación del teorema de Tales.

Ejemplo 5 (3´07") Sinopsis:

Ejemplo de aplicación del teorema de Tales.

Triángulos en la posición de Thales

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Criterios de semejanza de triángulos

Los criterios de semejanza de triángulos simplifican el número de condiciones que deben comprobarse para que dos triángulos sean semejantes:

Criterios de semejanza de triángulos

Dos triángulos son semejantes si tienen los lados proporcionales: $\frac {a}{a'} = \frac {b}{b'} = \frac {c}{c'}$
Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos respectivamente iguales: $\widehat{A}=\widehat{A}',\ \widehat{B}=\widehat{B}'$
Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales e igual el ángulo comprendido: $\frac {a}{a'} = \frac {b}{b'} \ , \ \widehat{C}=\widehat{C}'$

Criterios de semejanza de triángulos Descripción:

Actividades para aprender y practicar los criterios de semejanza de triángulos.

Criterios de semejanza de triángulos

Tutorial (32´54") Sinopsis:

Tutorial en el que se explica y trabaja los criterios de semejanza de triángulos y se resuelven algunos ejercicios sencillos en los que se aplican dichas propiedades.

00:00 a 06:08: Criterios de Igualdad (Congruencia) de Triángulos.
06:08 a 08:30: Definición de Triángulos Semejantes.
08:30 a 15:30: 1er criterio de semejanza, lados proporcionales.
- 11:00 - Ejemplo del 1er criterio de semejanza.
15:30 a 21:30: 2º criterio de semejanza, ángulos iguales.
- 17:00 - Ejemplo del 2º criterio de semejanza.
21:30 a 26:30: 3er criterio de semejanza, ángulo igual y sus lados proporcionales.
- 23:05 - Ejemplo del 3er criterio de semejanza.
26:30 a 32:54 : Ejercicio donde se aplica la semejaza de triángulos.

Ejemplos (6'17") Sinopsis:

Ejemplos de aplicación de los criterios de semejanza.

Problema 1 (2'16") Sinopsis:

Los lados de un triángulo miden 3, 4 y 6 cm, y los lados de otro triángulo miden 9,12 y 18 cm. Comprueba si son semejantes.

Problema 2 (3'47") Sinopsis:

Dos ángulos de un triángulo miden 55º y 85º, y dos de los ángulos de otro triángulo miden 55º y 65º. ¿Son semejantes?.

Problema 3 (4'45") Sinopsis:

Cálculo altura inaccesible usando dos triángulos semejantes

Criterios de semejanza de triángulos Descripción:

En esta escena podrás ver los tres criterios de semejanza de triángulos.

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Ejercicios propuestos

Ejercicios propuestos: Semejanza de triángulos

(Pág. 203)

3, 4

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Semejanza entre triángulos rectángulos

Cuando los triángulos son rectángulos, las condiciones para que sean semejantes se reducen.

Proposición

Dos triángulos rectángulos son semejantes si se cumple una de las siguientes condiciones:

Tienen un ángulo agudo igual.
Tienen dos lados proporcionales.

Ejercicios: Semejanza entre triángulos rectángulos

Problema 1 (3´17") Sinopsis:

La sombra que proyecta una madre de 1.70 m de altura, a las 2 de la tarde, es de 2 m. ¿Qué altura tiene el hijo si la sombra que proyecta es de 1.8 m?.

Problema 2 (4´53") Sinopsis:

Un palo de 2 m colocado verticalmente proyecta una sombra de 95 cm. Indica la altura de un edificio que a la misma hora proyecta una sombra de 20 m.

Problema 3 (6'33") Sinopsis:

Dados los triángulos rectángulos del dibujo, halla su razón de semejanza sabiendo que tienen un ángulo agudo igual.

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Ejercicios propuestos

Ejercicios propuestos: Semejanza entre triángulos rectángulos

(Pág. 204)

1, 2, 3, 4

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Teoremas del cateto y de la altura

Teoremas del cateto y de la altura

Tutorial 1 (22´15") Sinopsis:

Tutorial en el que se demuestra tanto el teorema de la altura como del cateto y aplica dichos teorema a la representación en la recta numérica de raíces cuadradas.

00:00 a 10:00: Demostración del Teorema de la Altura y del Cateto mediante la semejanza de triángulos.
10:00 a 10:35: Enunciado del Teorema de la Altura.
10:40 a 11:10: Enunciado del Teorema del Cateto.
11:10 a 15:40: Aplicación del Teorema de Pitágoras para representar raíces cuadradas..
15:50 a 19:45: Aplicación del Teorema de la Altura para representar raíces cuadradas..
19:45 a 22:15: Aplicación del Teorema del Cateto para representar raíces cuadradas.

Tutorial 2 (11´30") Sinopsis:

Teoremas de la altura y del cateto. Ejemplos.

Teorema del cateto

En todo triángulo rectángulo, un cateto, $a\;$ , es media proporcional entre la hipotenusa, $h\;$ , y la proyección, $m\;$ , de dicho cateto sobre la hipotenusa, $c\;$ .

$\frac{a}{m}=\frac{c}{a} \ \rightarrow \ a^2=m \cdot c$

Y análogamente con el otro cateto, $b\;$ , y su proyección, $m\;$ :

$\frac{b}{n}=\frac{c}{b} \ \rightarrow \ b^2=n \cdot c$

Demostración:

Véase cualquiera de los siguientes videotutoriales.

Teorema del cateto

Tutorial 1 (5´31") Sinopsis:

Demostración del teorema del cateto.
Ejemplos.

Tutorial 2 (16´16") Sinopsis:

Demostración del teorema del cateto.
Ejemplo.

Problema 1 (6'17") Sinopsis:

Uno de los catetos de un triángulo rectángulo mide 16.5 cm y su proyección sobre la hipotenusa mide 7.5 cm. Halla el otro cateto, la proyección del otro cateto sobre la hipotenusa y la altura sobre la hipotenusa.

Problema 2 (5'52") Sinopsis:

En un triángulo rectángulo los catetos miden 20 y 21 cm. Calcula el valor de las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa.

Problema 4 (4'01") Sinopsis:

En un triángulo rectángulo las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa miden 2 y 10 cm, respectivamente. Halla a medida de los catetos.

Problema 5 (6'07") Sinopsis:

En un triángulo rectángulo uno de los catetos mide 12 cm, y su proyección sobre la hipotenusa 9 cm. Calcula la hipotenusa y el otro cateto.

Problema 6 (4'05") Sinopsis:

En un triángulo rectángulo las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa miden 25 y 36 m, respectivamente. Halla a medida de la hipotenusa.

Teorema de la altura

En todo triángulo rectángulo, la altura, $h\;$ , sobre la hipotenusa es media proporcional entre los segmentos que determina sobre ésta, $m\;$ y $n\;$ .

$\frac{h}{n}=\frac{m}{h}$

Demostración:

Véase cualquiera de los siguientes videotutoriales:

Teorema de la altura

Tutorial 1 (6´04") Sinopsis:

Demostración del teorema de la altura.
Ejemplos.

Tutorial 2 (13´57") Sinopsis:

Demostración del teorema de la altura.
Ejemplo.

Problema 1 (5'24") Sinopsis:

Las proyecciones de los actetos sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo miden 18 m y 32 m, respectivamente. Halla la medida de los catetos y la de la altura sobre la hipotenusa.

Problema 2 (15'43") Sinopsis:

Problema de aplicación del teorema de la altura

Problema 3 (2'09") Sinopsis:

En un triángulo rectángulo las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa miden 2 y 10 cm, respectivamente. Halla la altura sobre la hipotenusa.

Problema 4 (5'34") Sinopsis:

Una torre eléctrica está sujeta al suelo con dos tensores. La distancia entre los pies de ambos tensores es 50 m. Los cables que sujetan la torre forman un ángulo recto y miden 30 y 40 m, respectivamente. Calcula la altura de la torre.

Problema 5 (6'59") Sinopsis:

En un triángulo rectángulo los catetos miden 20 y 21 cm, respectivamente. Calcula la altura del triángulo que cae sobre la hipotenusa.

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Ejercicios propuestos

Ejercicios propuestos: Teoremas del cateto y de la altura

(Pág. 205)

5, 6

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Aplicaciones de la semejanza de triángulos

Los criterios de semejanza que hemos visto tienen numerosas aplicaciones. Veamos algunas de ellas.

Aplicaciones de los criterios de semejanza Descripción:

Ejercicios de aplicación de los criterios de semejanza de triángulos:

Medición de alturas con sombras.
Medición de alturas con espejos.
¿Cómo pudo medir Tales la altura de una pirámide?

Medición de alturas con espejos Descripción:

En esta escena podrás hallar la altura de una casa utilizando un espejo y una cinta métrica.

Medición de alturas con sombras Descripción:

Cuenta la historia que un sacerdote egipcio le preguntó a Tales de Mileto (s. IV a. C) acerca de la altura de la Pirámide de Keops, cuando ya las pirámides rondaban los 2.000 años de edad, y éste respondió con un método de lo más ingenioso para medir dicha altura..

Aplicaciones de los criterios de semejanza (Ampliación)

Teorema de la bisectriz (8´43") Sinopsis:

El teorema de la bisectriz dice:

"La bisectriz de un ángulo de un triángulo divide al lado opuesto en dos segmentos que son proporcionales a los otros dos lados del triángulo"

$\cfrac{BD}{AB}=\cfrac{DC}{AC}$

Problema (aplicación del teorema de la bisectriz) (5´46") Sinopsis:

Aplicación del teorema de la bisectriz.

Teorema de los puntos medios (7´47") Sinopsis:

Problema:

En un triángulo ABC se traza la mediana CM y desde A se traza el segmento AN que corta a la mediana CM en su punto medio T. Sabiendo que TN = 5 cm, calcula el valor de AT.

Solución:

Véase el video para ver la solución.

El problema anterior requiere la aplicación del teorema de los puntos medios:

Teorema de los puntos medios:

"Si por el punto medio de uno de los lados de un triángulo se traza una recta paralela a un segundo lado, esta recta corta en su punto medio al tercer lado, la longitud del segmento que se determina es igual a la mitad de la longitud del lado al cual es paralela."

Demostración:

Los triángulos ABC y MBN son semejantes por estar en la posición de Tales. Además la razón de semejanza es claramente 2, por lo que lo que se nos pide es bastante inmediato.

Teorema de la mediana relativa a la hipotenusa (8´00") Sinopsis:

Problema:

Halla el valor de "x" en la figura:

Solución:

Véase el video para ver la solución.

El problema anterior requiere la aplicación del teorema de la mediana relativa a la hipotenusa de un triángulo rectángulo:

Teorema de la mediana relativa a la hipotenusa:

"La longitud de la mediana relativa a la hipotenusa de un triángulo rectángulo, es igual a la mitad de la longitud de la hipotenusa."

Demostración:

Por M tracemos una paralela a CA, y sea D su punto de intersección con el cateto BC. Puesto que DM es paralela a CA y CA es perpendicular a BC, entonces DM es también perpendicular a BC. Por el teorema de los puntos medios se tiene que D es punto medio de BC ya que M lo es de AB). Pero entonces DM es mediatriz de BCM. De aquí que BM=CM (pues la mediatriz de un segmento es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de los extremos).