Sistemas de ecuaciones de primer grado

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Tabla de contenidos

Sistemas de ecuaciones lineales 2x2

  • Un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas o simplemente, sistema 2x2 de ecuaciones lineales, es la agrupación de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas:
\left . \begin{matrix} ax+by=c \\ a'x+b'y=c'\end{matrix} \right \}
  • Se llama solución de un sistema 2x2, a cualquier pareja de valores (x,y)\; que sea solución de ambas ecuaciones a la vez. Las soluciones de este tipo de sistemas son los puntos de corte de las rectas que representan cada una de las ecuaciones del sistema.

ejercicio

Ejemplo: Solución de un sistema de ecuaciones


Comprueba si las parejas de números (1,2) y (-1,3) son o no soluciones del sistema:

\left . \begin{matrix} 5x+y=-2 \\ -x+y=4 \end{matrix} \right \}

Sistemas equivalentes

Dos sistemas son equivalentes cuando tienen las mismas soluciones.

Número de soluciones de un sistema

Discutir un sistema consiste en decir si el sistema tiene o no tiene solución, y caso de tener, si hay un número finito o infinito de soluciones.

  • Un sistema es compatible si tiene solución e incompatible si no la tiene.
  • Un sistema es determinado si tiene un número finito de soluciones e indeterminado si tiene infinitas soluciones.

Al discutir un sistema usaremos las siguientes siglas para abreviar:

  • S.C.D. : Sistema Compatible Determinado (un número finito de soluciones)
  • S.C.I. : Sistema Compatible Indeterminado (infinitas soluciones)
  • S.I. : Sistema Incompatible (sin solución)

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Discusión de sistemas lineales 2x2


Un sistema 2x2 de ecuaciones lineales puede ser:

  • Compatible determinado (S.C.D.): 1 solución
  • Compatible indeterminado (S.C.I.): Infinitas soluciones.
  • Incompatible (S.I): 0 soluciones.

Métodos de resolución de sistemas

Vamos a ver cuatro métodos para resolver un sistema de ecuaciones: Uno gráfico y tres algebraicos (sustitución, igualación y reducción).

Método grafico

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Procedimiento


Para resolver un sistema de ecuaciones lineales, representaremos gráficamente las rectas de las soluciones de cada una de las ecuaciones:

  • Si las rectas se cortan, el punto de corte será la única solución del sistema.
  • Si las rectas son paralelas, el sistema no tendrá solución.
  • Si las rectas son coincidentes, el sistema tendrá infinitas soluciones.

Método de sustitución

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Procedimiento


Para resolver un sistema por el método de sustitución se siguen los siguientes pasos:

  1. Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones (la que resulte más fácil de despejar).
  2. Se sustituye la incógnita despejada en (1) en la otra ecuación, obteniendo una ecuación con una sola incógnita.
  3. Se resuelve la ecuación obtenida en (2), averiguando así una de las incógnitas del sistema.
  4. El valor obtenido en (3) se sustitute en la expresión de la incógnita despejada en (1), averiguando así el valor de la incógnita que faltaba, y, por tanto, resolviendo el sistema.

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Ejemplo: Método de sustitución


Resuelve por el método de sustitución el siguiente sistema:

\left . \begin{matrix} x-y=6 \\ 3x+2y=13 \end{matrix} \right \}

Método de igualación

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Procedimiento


Para resolver un sistema por el método de igualación se siguen los siguientes pasos:

  1. Se despeja la misma incógnita en las dos ecuaciones del sistema.
  2. Se igualan las expresiones obtenidas en (1), con lo que se obtiene una ecuación con una sola incógnita.
  3. Se resuelve la ecuación obtenida en (2), averiguando así una de las incógnitas del sistema.
  4. El valor obtenido en (3) se sustitute en una de las dos expresiones de la incógnita despejada en (1), averiguando así el valor de la incógnita que faltaba, y, por tanto, resolviendo el sistema.

ejercicio

Ejemplo: Método de igualación


Resuelve por el método de igualación el siguiente sistema:

\left . \begin{matrix} 5x+12y=6 \\ 3x+2y=2 \end{matrix} \right \}

Método de reducción

ejercicio

Procedimiento


Para resolver un sistema por el método de reducción se siguen los siguientes pasos:

  1. Se obtiene un sistema equivalente al de partida, multiplicando las dos ecuaciones por números apropiados, de manera que una de las incógnitas quede con coeficentes opuestos en ambas ecuaciones.
  2. Se suman las ecuaciones del nuevo sistema, desapareciendo así la incógnita con coeficientes opuestos.
  3. Se resuelve la ecuación obtenida en (2), averiguando así una de las incógnitas del sistema.
  4. El valor obtenido en (3) se sustitute en una de las dos ecuaciones del sistema de partida, averiguando así el valor de la incógnita que faltaba, y, por tanto, resolviendo el sistema.

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Ejemplo: Método de reducción


Resuelve por el método de reducción el siguiente sistema:

\left . \begin{matrix} 3x+2y=7 \\ 4x-3y=15 \end{matrix} \right \}

Herramientas personales
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