Sistemas de ecuaciones de primer grado

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Tabla de contenidos

Sistemas de ecuaciones lineales 2x2

  • Un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas o simplemente, sistema 2x2 de ecuaciones lineales, es la agrupación de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas:
\left . \begin{matrix} ax+by=c \\ a'x+b'y=c'\end{matrix} \right \}
  • Se llama solución de un sistema 2x2, a cualquier pareja de valores de x e y que sea solución de ambas ecuaciones a la vez. Las soluciones de este tipo de sistemas son los puntos de corte de las rectas que representan cada una de las ecuaciones del sistema.

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Ejemplo: Solución de un sistema de ecuaciones


Comprueba si las parejas de números (x=1, y=2)\;\!; (x=-1, y=3)\;\! son o no soluciones del sistema:
\left . \begin{matrix} 5x+y=-2 \\ -x+y=4 \end{matrix} \right \}

Sistemas equivalentes

Dos sistemas son equivalentes cuando tienen las mismas soluciones.

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Actividad Interactiva: Sistemas equivalentes


Actividad 1: Obteniendo sistemas equivalentes.

Número de soluciones de un sistema

  • Un sistema es compatible si tiene solución e incompatible si no la tiene.
  • Un sistema es determinado si tiene un número finito de soluciones e indeterminado si tiene infinitas soluciones.
  • Usaremos las siguientes siglas para abreviar:
    • S.C.D. : Sistema Compatible Determinado (un número finito de soluciones)
    • S.C.I. : Sistema Compatible Indeterminado (infinitas soluciones)
    • S.I. : Sistema Incompatible (sin solución)

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Número de soluciones de un sistema 2x2 de ecuaciones lineales


Un sistema 2x2 de ecuaciones lineales puede ser:

  • Compatible determinado (S.C.D.): 1 solución
  • Compatible indeterminado (S.C.I.): Infinitas soluciones.
  • Incompatible (S.I): 0 soluciones.

En la siguiente actividad veremos un ejemplo de cada uno de los tres casos anteriores.

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Actividad Interactiva: Soluciones de un sistema


Actividad 1: Sistema incompatible.
Actividad 2: Sistema compatible indeterminado.
Actividad 3: Sistema compatible determinado.
Actividad 4: Autoevaluación.

Métodos de resolución de sistemas

Vamos a ver tres métodos para resolver un sistema de ecuaciones: sustitución, igualación y reducción.

Método de sustitución

El método de sustitución consiste en despejar una incógnita en una de las ecuaciones y sustituir en la otra. Así, la ecuación sustituida, que se queda con una sola incógnita, se resuelve, lo que permite averiguar esa incógnita. Finalmente, el valor de la otra incógnita se obtiene sustituyendo el valor obtenido.

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Ejemplo: Método de sustitución


Resuelve por el método de sustitución el siguiente sistema:
\left . \begin{matrix} x-y=6 \\ 3x+2y=13 \end{matrix} \right \}

Método de igualación

El método de igualación consiste en despejar la misma incógnita en las dos ecuaciones e igualar las expresiones resultantes. Así, nos queda una ecuación con una sola incógnita. Esta se resuelve y permite averiguar dicha incógnita. Finalmente, el valor de la otra incógnita se obtiene sustituyendo el valor obtenido.

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Ejemplo: Método de igualación


Resuelve por el método de igualación el siguiente sistema:
\left . \begin{matrix} 5x+12y=6 \\ 3x+2y=2 \end{matrix} \right \}

Método de reducción

El método de reducción consiste en obtener ecuaciones equivalentes a las de partida, de manera que al sumarlas, se obtenga una ecuación en la que se ha eliminado una de las incógnitas. Así, nos queda una ecuación con una sola incógnita, que se resuelve, permitiendo averiguar dicha incógnita. Finalmente, el valor de la otra incógnita se obtiene sustituyendo el valor obtenido.

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Ejemplo: Método de reducción


Resuelve por el método de reducción el siguiente sistema:
\left . \begin{matrix} 3x+2y=7 \\ 4x-3y=15 \end{matrix} \right \}

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Actividades Interactivas: Métodos de resolución de sistemas


Actividad 1: Autoevaluación.

Resolución de problemas mediante sistemas

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Actividades Interactivas: Planteamiento y resolución de sistemas


Actividad 1: Al buscar alojamiento en la playa para nuestras vacaciones encontramos un hotel con sesenta habitaciones entre habitaciones dobles e individuales, con un total de ciento diez camas. ¿Cuántas habitaciones hay dobles y cuántas individuales?
Actividad 2: La edad de Belén y de su padre Fernando suman 77 años. ¿Qué edad tiene cada uno, sabiendo que dentro de dos años, la edad del padre será el doble que la de la hija?
Actividad 3: Plantea y resuelve en tu cuaderno los siguientes problemas. Comprueba luego la solución.
Actividad 4: Acertijo frutal.

Ejercicios

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Actividades Interactivas: Ejercicios de autoevaluación


Actividad 1: Resolución de sistemas.
Actividad 2: Conceptos generales.
Herramientas personales
AVISO: Si los applets de Java no te funcionan prueba a bajar a "Media" el nivel de seguridad en: Panel de Control > Java > Seguridad > Nivel de Seguridad
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