Sucesiones (3ºESO Académicas)

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Tabla de contenidos

1 Sucesión de números reales
- 1.1 Ejercicios propuestos
2 Término general de una sucesión
- 2.1 Ejercicios propuestos
3 La sucesión de Fibonacci y el número áureo

(Pág. 64)

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Sucesión de números reales

Una sucesión de números reales es una función, $f \;$ , que a cada número natural, $n \;$ , le asocia un único número real, $a_n \;$

$\begin{matrix}f: & \mathbb{N} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ \ & n & \longrightarrow & a_n \end{matrix}$

Esto genera el conjunto ordenado

$\{ a_n \} = \{ a_1,\ a_2,\ a_3,\ \cdots \ \}$

de los términos de la sucesión.

Observación:

Se suele identificar a la sucesión con sus términos. Normalmente hablaremos de la sucesión de términos $\{ a_1,\ a_2,\ a_3,\ \cdots \ \}$ en lugar de la sucesión $f \;$ .

Ejemplos:

Los términos de una sucesión pueden seguir un cierto criterio:

$\{ 1, \, 3, \, 5, \, 7, \, 9, \, 11, \cdots \}$ . Sus términos son los números impares.

$\{ 2, \, 5, \, 8, \, 11, \, 14, \, 17, \cdots \}$ . Sus términos se obtienen sumando 3 al anterior.

$\{ 1, \, 2, \, 4, \, 8, \, 16, \, 32, \cdots \}$ . Sus términos son las potencias de 2.

$\{ 1, \, -1, \, 2, \, -2, \, 3, \, -3, \cdots \}$ . Sus términos van ascendiendo y alternando el signo.

$\{ 2, \, 3, \, 5, \, 8, \, 13, \, 21, \cdots \}$ . Sus términos, a partir del tercero, se obtienen sumando los dos anteriores.

o no seguir ninguno:

$\{ 3, \, 3, \, 4, \, 6, \, 5, \, 4, \cdots \}$

Las sucesiones numéricas (21´07") Sinopsis:

Tutorial en el que se introducen los conceptos básicos de las sucesiones numéricas.
(05:20): Definiciones básicas (sucesión, términos e índices) y ejemplo inicial.

Sucesión de números reales Descripción:

Actividades en las que aprenderás a obtener los términos de una sucesión a partir de una regla de formación dada.

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Ejercicios propuestos

Ejercicios propuestos: Sucesiones

(Pág. 64)

2, 3, 4

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Término general de una sucesión

Se llama término general de una sucesión, y se simboliza por $a_n\;$ , a la expresión que representa a uno cualquiera de sus términos. La sucesión correspondiente se representa de forma abreviada por $\{ a_n\} \;$

Hay veces que el término general se puede expresar mediante una fórmula: $a_n=f(n)\;$ . Dándole a $n\;$ un valor, se obtiene el término correspondiente.

Otras veces, cada término de la sucesión se obtiene a partir de operaciones con otros términos anteriores. A estas sucesiones se les llama recurrentes. En ellas, para hallar un término, tenemos que hallar todos los anteriores. En estos casos se suele dar una ley de recurrencia, una regla que relaciona cada término con sus anteriores.

Ejemplo:

La sucesión, $\left \{ 1, \, 3, \, 5, \, 7, \cdots \right \}$ , de los números impares, tiene como término general:

$a_n=2n-1\;$

En efecto, dándole valores a n, se obtienen sus términos:

$n=1 \ \rightarrow \ a_1=2 \cdot 1 - 1= 1$

$n=2 \ \rightarrow \ a_2=2 \cdot 2 - 1= 3$

$n=3 \ \rightarrow \ a_3=2 \cdot 3 - 1= 5$

$n=4 \ \rightarrow \ a_4=2 \cdot 4 - 1= 7$

etc.

Esta misma sucesión también se podría definir mediante la siguiente ley de recurrencia:

$a_1=1; \ a_n=a_{n-1} + 2, \ \forall n \ge 2$

En efecto, dándole valores a n, se obtienen sus términos:

$n=1 \ \rightarrow \ a_1=1\;$

$n=2 \ \rightarrow \ a_2=a_1 + 2= 1+2 = 3$

$n=3 \ \rightarrow \ a_3=a_2 + 2 = 3+2= 5$

$n=4 \ \rightarrow \ a_4=a_3 + 2 = 5+2= 7$

etc.

Término general y ley de recurrencia

Sucesiones con término general:

Tutorial 1 (6´25") Sinopsis:

Sucesión.
Término general de una sucesión.
Cálculo de una sucesión a partir de sus término general.
Ejemplos.

Tutorial 2 (22'00") Sinopsis:

Tutorial en el que se explica y trabajan los términos generales en las sucesiones numéricas.

Tutorial 3 (6´41") Sinopsis:

Sucesiones y término general.

Tutorial 4 (5´59") Sinopsis:

Definición de sucesión de números reales como aplicación entre el conjunto de los números naturales y el de los números reales.
Término general de una sucesión.

Tutorial 5 (5´15") Sinopsis:

Ejemplos de sucesiones con figuras.

Sucesiones recurrentes:

Tutorial 1 (7´42") Sinopsis:

Sucesiones recurrentes.
Cálculo de los términos de una sucesión recurrente.
Ejemplos.

Tutorial 2 (24´30") Sinopsis:

Tutorial en el que se explica y trabajan las leyes de recurrencia en las sucesiones numéricas.

Ejemplos (8´20") Sinopsis:

Definición de sucesiones de manera explicita y recursiva.

Ejercicio 1 (13´30") Sinopsis:

Calcula los cuatro primeros términos de sucesiones dadas de forma recurrente:

a) $\begin{cases}g_1= 4 \\ g_n=g_{n-1}+3.2 \ , \ \forall n>1 \end{cases}$

b) $\begin{cases}h_1= 14 \\ h_n=\cfrac{28}{h_{n-1}} \ , \ \forall n>1 \end{cases}$

c) $\begin{cases}f_1= 14 \\ f_2= -4 \\ f_n=f_{n-1}+f_{n-2} \ , \ \forall n>2 \end{cases}$

Término general y ley de recurrencia

Actividad Descripción:

Actividades en las que aprenderás el concepto de término general de una sucesión y a obtener, a partir de él, los términos de la misma.

Autoevaluación Descripción:

Evalúa sucesiones a partir de una ley de recurrencia.

Término general de una sucesión

Actividad: Termino general de una sucesión

1. Intenta escribir una expresión que sirva para calcular cualquier término de las sucesiones siguientes:

a) $\{1,2,3,4,5,...\}\;$ b) $\{1,4,9,16,...\}\;$ c) $\{1,3,5,7,...\}\;$

d) $\{ {1 \over 2},{1 \over 4},{1 \over 8},{1 \over 16},{1 \over 32},...\}$ e) $\{-1,1,-1,1,-1,...\}\;$ f) $\{1,-1,1,-1,1,...\}\;$

2. Dada la sucesión de término general $a_n=n^2-4n\;$ :

a) Halla los cinco primeros términos.

b) Halla el término $a_{10} \;$

3. Escribe los primeros términos de la sucesión cuyo primer término es 2 y todos los demás se obtienen sumando 5 al término anterior.

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) 1,2,3,4,5,...

b) 1,4,9,16,...

etc.

a) n^2-4n for n=1 to 5

b) n^2-4n for n=10

3. a(1)=2,a(n)=a(n-1)+5 (sucesión recurrente)

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Ejercicios propuestos

Ejercicios propuestos: Término general de una sucesión

(Pág. 65)

5, 6, 7, 10, 11, 12

8, 9

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La sucesión de Fibonacci y el número áureo

Ejemplo: La sucesión de Fibonacci y el número áureo

Fibonacci

El siguiente problema fue propuesto por Fibonacci, matemático italiano del siglo XIII:

"Cuántas parejas de conejos se producirán en un año, comenzando con una pareja única, si cada mes cualquier pareja engendra otra pareja, que se reproduce a su vez desde el segundo més?"

a) Escribe la sucesión cuyos términos son lás parejas de conejos que hay cada més. Esta recibe el nombre de sucesión de Fibonacci.

b) Ahora vas a construir la sucesión que se obtiene al dividir cada término entre el anterior. Esa sucesión verás que se aproxima al número áureo ( $\phi\;$ ):

$\phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = 1.618033988...$

Solución:

a) Sucesión de Fibonacci:

Mes 1: 1 pareja (la pareja nace al comenzar el primer mes)
Mes 2: 1 pareja (la pareja no es fértil hasta que termine el 2º mes)
Mes 3: 2 parejas (al comenzar el tercer mes se reproduce por primera vez)
Mes 4: 3 parejas (la primera pareja vuelve a reproducirse pero la segunda no lo hace hasta el comienzo del próximo mes)
Mes 5: 5 parejas (la primera y la segunda pareja ya se reproducen, la tercera aún no)
Mes 6: 8 parejas (se reproducen las 3 primeras parejas, las otras dos no)
Mes 7: 13 parejas (se reproducen las 5 parejas de hace 2 meses, pero las 3 nuevas del mes anterior aún no)

Así se obtiene la sucesión de Fibonacci, en la que cada término se obtiene a partir de la suma de los dos anteriores:

$\{ 1,\ 1,\ 2,\ 3,\ 5,\ 8,\ 13,\ 21,\ 34,\ 55,\ 89, \cdots \}$

b) Sucesión del número áureo:

Dividiendo cada término entre el anterior, tenemos la sucesión:

$\left \{ \cfrac{1}{1},\ \cfrac{2}{1},\ \cfrac{3}{2},\ \cfrac{5}{3},\ \cfrac{8}{5},\ \cfrac{13}{8},\ \cdots \right \}$

que expresada con decimales vemos que se aproxima al número áureo:

$\{ 1,\ 2,\ 1.5,\ 1.66,\ 1.6,\ 1.625,\ 1.615 \cdots \} \rightarrow \phi$

Nota: Leonardo de Pisa (Fibonacci), en su Libro de los ábacos (Liber abacci, 1202, 1228), usa la sucesión que lleva su nombre para calcular el número de pares de conejos n meses después de que una primera pareja comienza a reproducirse (suponiendo que los conejos están aislados por muros, se empiezan a reproducir cuando tienen dos meses de edad, tardan un mes desde la fecundación hasta la parición y cada camada es de dos conejos). Este es un problema matemático puramente independiente de que sean conejos los involucrados. En realidad, el conejo común europeo tiene camadas de 4 a 12 individuos y varias veces al año, aunque no cada mes, pese a que la preñez dura 32 días. El problema se halla en las páginas 123 y 124 del manuscrito de 1228, que fue el que llegó hasta nosotros, y parece que el planteamiento recurrió a conejos como pudiera haber sido a otros seres; es un soporte para hacer comprensible una incógnita, un acertijo matemático.

Fibonacci: La magia de los números (16') Sinopsis:

Leonardo de Pisa, más conocido como Fibonacci, es el autor de la primera summa matemática de la Edad Media, el Liber Abaci. Con este libro introduce en la Europa cristiana las nueve cifras hindúes y el signo del cero. Pero además brinda a los calculistas de la época reglas claras para realizar operaciones con estas cifras tanto con números enteros como con fracciones. Pero Fibonacci es más conocido entre los matemáticos por la curiosa sucesión de números que lleva su nombre y en la que cada término es la suma de los dos anteriores. Esta sucesión es una auténtica fuente de agradables sorpresas. Analizaremos las sugerentes relaciones que existen entre sus términos y descubriremos su presencia en fenómenos naturales coma la ramificación de algunas plantas, la distribución de los piñones en las piñas y de las pipas en los girasoles. Y, aunque en principio cueste trabajo creérselo, veremos que está directamente emparentada con un viejo amigo nuestro: el número áureo.

Fibonacci (24'29") Sinopsis: