Números irracionales
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| - | <math>\pi=3.141592654..., e=2.718281..., \varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = 1.618033988... ,\sqrt{2}=1.414213...,</math> | + | <math>\pi=3.141592654..., e=2.718281..., \phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = 1.618033988... ,\sqrt{2}=1.414213...,</math> |
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| Vamos ha utilizar un tipo de demostración denominado "por reducción al absurdo". Vamos a suponer que <math>\sqrt{2}</math> es racional y llegaremosa una conclusión sin sentido. Esto demostraría que <math>\sqrt{2}</math> no puede ser racional sino irracional. | Vamos ha utilizar un tipo de demostración denominado "por reducción al absurdo". Vamos a suponer que <math>\sqrt{2}</math> es racional y llegaremosa una conclusión sin sentido. Esto demostraría que <math>\sqrt{2}</math> no puede ser racional sino irracional. | ||
| - | Por tanto, supongamos que <math>\sqrt{2}</math> es racional, o sea, que existe una fracción de números enteros <math>\cfrac {a}{b}</math> que es igual a <math>\sqrt{2}</math>. Dicha fracción la podemos suponer irreducible, ya que siempre es posible sinplificarla. | + | Por tanto, supongamos que <math>\sqrt{2}</math> es racional, o sea, que existe una fracción de números enteros <math>\cfrac {a}{b}</math> que es igual a <math>\sqrt{2}</math>. Dicha fracción la podemos suponer irreducible, ya que siempre es posible simplificarla. |
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| ===El número aureo: Phi=== | ===El número aureo: Phi=== | ||
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| - | |titulo=La divina proporción. El número Phi (<math>\varphi</math>) | + | |titulo=La divina proporción. El número Phi (<math>\phi</math>) |
| |sinopsis=Documental sobre la historia del número Phi <math>(\varphi)</math> y la divina proporción. | |sinopsis=Documental sobre la historia del número Phi <math>(\varphi)</math> y la divina proporción. | ||
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Revisión de 18:30 10 ene 2009
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Tabla de contenidos |
Números irracionales
A los números cuya expresión decimal tiene infinitas cifras no periódicas
, se les llama números irracionales. Al conjunto de tales números lo representaremos con la letra 
.
Son números irracionales:
Vamos a repasar los distintos conjuntos numéricos vistos hasta ahora:
 Actividad Interactiva: Números irracionales
Actividad 1. Conjuntos numéricos.
Actividad: Pulsa los botones para ver ejemplos de los distintos tipos de números. |
Proposición
- El número
es irracional.
Vamos ha utilizar un tipo de demostración denominado "por reducción al absurdo". Vamos a suponer que es racional y llegaremosa una conclusión sin sentido. Esto demostraría que no puede ser racional sino irracional.
Por tanto, supongamos que es racional, o sea, que existe una fracción de números enteros 
que es igual a . Dicha fracción la podemos suponer irreducible, ya que siempre es posible simplificarla.
Elevamos al cuadrado los dos miembros de la igualdad:
Multiplicamos por 
los dos miembros de la igualdad:
Esta expresión nos dice que 
es par, ya que resulta de multiplicar 2 por otro número.
Pero es un cuadrado perfecto, o sea es un número entero al cuadrado, luego si uno de sus factores es el 2, el 2 tiene que estar como mínimo al cuadrado, o sea dos veces.
Por tanto como ya hay un 2 en la igualdad delante de , el otro 2 tiene que estar en el
Eso quiere decir que también tiene que ser par, y por tanto 
también es par.
Pero si 
es par y también, la fracción no es irreducible, como habíamos supuesto.
Representación de números irracionales
En la siguiente actividad vamos a ver algunos números irracionales importantes y su representación en la recta real.
Actividades Interactivas: Representación de números irracionales
1. Representación del número
.Actividad: Observa en la escena la representación de .
2. Representación del número de oro
 .Actividad: Desde la antigüedad matemáticos filósofos y artistas han creído en la existencia de una razón privilegiada, que fue llamada número áureo. Los griegos consideraban que un rectángulo cuyos lados Es el primer número irracional del que se tuvo conciencia de que lo era. En la escena puedes ver la representación del número de oro
3. Representación de otras raíces cuadradas.
Actividad: Observa en la escena la representación de otras raices cuadradas.
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es especialmente armonioso. Esta proporción de medidas se ha utilizado con mucha frecuencia en el arte.
Números irracionales famosos
El número aureo: Phi
Video: La divina proporción. El número Phi (φ) (6´)
Documental sobre la historia del número Phi
y la divina proporción.
Web: [Phi, el número de oro Phi, el número de oro]
A lo largo de la historia, Phi, el número de oro o número áureo, ha representado, para las personas que lo han conocido, la belleza, la magia, la perfección, lo divino. ¿Por qué?. Página elaborada por D. Luis Nicolás Ortiz.
El número Pi
Video: Historias de Pi (25´)
Si las matemáticas tienen algún número emblemático ese es "Pi" (Π = 3,141592...). La figura de Ramanujan, un joven indio sin formación universitaria está intimamente ligada al número Pi. A principio de siglo descubrió nuevas series infinitas para obtener valores aproximados de pi. Lasmismas que utilizan los grandes ordenadores para obtener millones de cifras de este familiar y extraño número.Pero el verdadero padre de Pi es un matemático griego de hace 2.300 años, Arquímedes. Él descubrió la famosa fórmula del área del círculo. Y también el volumen y el área de la esfera. De paso invento el primer método para obtener valores aproximados de Pi aproximando el círculo mediante polígonos de un número creciente de lados. Pero pi no sólo aparece en matemáticas cuando se habla de círculos o esferas, su presencia en relaciones numéricas, en el cálculo de probabilidades y hasta en estudiosestadísticos la confieren una omnipresencia casi mágica.
Web: [El número Pi El número Pi]
Página dedicada al número Pi con muchos enlaces y curiosidades.
El número e
Video: Un número llamado e (13´)
Hay números que nos sorprenden por su tendencia a aparecer en las situaciones más inesperadas. ¿Qué pueden tener en común los cables del tendido eléctrico, las cuentas bancarias, el desarrollo de una colonia de bacterias, la prueba del carbono 14 para datar restos orgánicos, las encuestas de población, la probabilidad de sacar 70 veces un número par al lanzar un dado 100 veces...? Aparentemente nada. Sin embargo en todas estas situaciones interviene un extraño número comprendido entre 2 y 3, que tiene infinitas cifras decimales y un origen un tanto exótico. Al igual que el más famoso número pi, los matemáticos le conocen mediante una letra. Es un número llamado e.
