Raíces y Radicales (4ºESO Académicas)

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{{p}} {{p}}
=Raíces= =Raíces=
-==Definición==+{{Raíces}}
-Sabemos que <math>3^2 = 9\;\!</math>. Esta igualdad la podemos expresar de forma similar como <math>\sqrt{9}=3</math> y se lee "3 es igual a la raíz cuadrada de 9".+
- +
-En general:{{p}}+
-{{Caja_Amarilla|texto=+
-*Se define la '''raíz cuadrada''' de un número <math>a\;\!</math> como otro número <math>b\;\!</math> tal que <math>b^2 =a\;\!</math>. +
- +
-Y escribimos: +
- +
-<center><math>b=\sqrt{a}</math></center>+
- +
- +
-*Se define la '''raíz cúbica''' de un número <math>a\;\!</math> como otro número <math>b\;\!</math> tal que <math>b^3 =a\;\!</math>. +
- +
-Y escribimos: +
- +
-<center><math>b=\sqrt[3]{a}</math></center>+
- +
- +
-*Igualmente, se define '''raíz n-sima''' de un número <math>a\;\!</math> como otro número <math>b\;\!</math> tal que <math>b^n =a\;\!</math>. <math>(n \in \mathbb{N},\ n>1)</math>+
- +
-Y escribimos: +
- +
-<center><math>b=\sqrt[n]{a}</math></center>+
- +
-El número <math>a\;\!</math> se llama '''radicando''', el número <math>n\;\!</math>, '''índice''' y <math>b\;\!</math> es la '''raíz'''. +
-}}+
{{p}} {{p}}
-==Propiedades== 
-{{Caja_Amarilla|texto= 
-*<math>\sqrt[n]{1}=1</math> y <math>\sqrt[n]{0}=0</math>, para cualquier valor del índice <math>n\;\!</math>. 
-*Si <math>a>0\;\!</math>, <math>\sqrt[n]{a}</math> existe cualquiera que sea el índice <math>n\;\!</math>. 
-*Si <math>a<0\;\!</math>, <math>\sqrt[n]{a}</math> sólo existe si el índice <math>n\;\!</math> es impar. 
-*Si el índice <math>n\;\!</math> es par y el radicando <math>a>0\;\!</math>, la raíz tiene dos soluciones: una positiva y otra negativa, pero iguales en valor absoluto. Si el índice es impar, siempre tiene una única solución, que tiene el mismo signo que el radicando <math>a\;\!</math>. 
-}}{{p}} 
-{{Desplegable|titulo=Ejemplos:{{b}}|contenido= 
-#<math>\sqrt[3]{1}=1</math>. 
-#<math>\sqrt[5]{0}=0</math>. 
-#<math>\sqrt[4]{16}=\pm 2</math> porque <math>(\pm 2)^4=16\;\!</math>. 
-#<math>\sqrt[3]{64}=4</math> porque <math>4^3=64\;\!</math>. 
-#<math>\sqrt[3]{-8}=-2</math> porque <math>(-2)^3=-8\;\!</math>. 
-#<math>\sqrt[4]{-8}= no \ existe</math> porque ningún número elevado a 4 puede dar negativo (-8). 
-{{p}} 
-Pulsa el botón "Ejemplo" para ver distintos ejemplos y anótalos en tu cuaderno: 
-<center><iframe> 
-url=http://maralboran.org/web_ma/descartes/3_eso/Radicales/radicales1_1.html 
-width=520 
-height=250 
-name=myframe 
-</iframe></center> 
-<center>[http://maralboran.org/web_ma/descartes/3_eso/Radicales/radicales1_1.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center> 
-}} 
-==Raíces exactas e inexactas== 
-{{Caja_Amarilla|texto= 
-Se llaman '''raíces exactas''' a aquellas que dan como resultado un número racional. En caso contrario diremos que son '''inexactas''' y el resultaado será un número irracional.{{p}} 
-Para que una raíz sea exacta, al descomponer el radicando en factores primos, las potencias de éstos deben ser todas números divisibles por el índice.  
-}}{{p}} 
-{{Ejemplo|titulo=Ejemplo: ''Raíces exactas e inexactas'' 
-|enunciado= 
-:Calcula las siguientes raíces cuando sean exactas:{{p}} 
-::<math>a) \sqrt[3]{216} \quad b) \sqrt[4]{0'0256}\quad c) \sqrt[3]{192}</math> 
-|sol= 
-'''a)''' Descomponemos <math>216=2^3 \cdot 3^3</math>. 
- 
-Como las potencias son divisibles por 3, la raíz es exacta. Para obtenerla, dividimos cada exponente entre el índice: 
- 
-<center><math>\sqrt[3]{216}=\sqrt[3]{2^3 \cdot 3^3}=2^{\frac{3}{3}} \cdot 3^{\frac{3}{3}}=2^1 \cdot 3^1=6</math></center> 
- 
-Luego <math>\sqrt[3]{216}</math> es racional. 
----- 
-'''b)''' Descomponemos <math>\cfrac{256}{10000}=\cfrac {2^8}{10^4}</math>. 
- 
-Como las potencias son divisibles por 4, la raíz es exacta. Para obtenerla, dividimos cada exponente entre el índice: 
- 
-<center><math>\sqrt[4]{0'0256}=\sqrt[4]{\cfrac{256}{10000}}=\sqrt[4]{\cfrac {2^8}{10^4}}=\cfrac {2^{\frac{8}{4}}}{10^{\frac{4}{4}}}=\cfrac{2^2}{10^1}=\cfrac{4}{10}=0'4</math></center> 
- 
-Luego <math>\sqrt[4]{0'0256}</math> es racional. 
----- 
-'''c)''' Descomponemos <math>192=2^6 \cdot 3\;\!</math>. 
- 
-La potencia de 3 es 1, que no es divisible por 3. Por tanto, la raíz no es exacta. 
- 
-Luego <math>\sqrt[3]{192}</math> es irracional.  
-}}{{p}} 
- 
-==La raíz como potencia de exponente fraccionario== 
-{{Teorema| 
-titulo=Proposición 
-|enunciado= 
-*Toda raíz se puede expresar como una potencia cuya base es el radicando, <math>a\;\!</math>, y el exponente es <math>\cfrac{1}{n}</math>, siendo <math>n\;\!</math> el índice de la raíz. Ésto es:{{p}} 
-{{Caja|contenido=<math>\sqrt[n]{a}=a^\frac{1}{n}</math>}} 
-*De forma similar, también se cumple:{{p}} 
-{{Caja|contenido=<math>\sqrt[n]{a^m}=a^\frac{m}{n}</math>}} 
-|demo= 
-Para la primera parte, basta con ver que se cumple la condición de la definición de raíz. 
- 
-<center><math>(a^\frac{1}{n})^n=a^{\frac{1}{n} \cdot n}=a^1=a</math></center> 
- 
-Para la segunda parte, haremos una comprobación análoga: 
- 
-<center><math>(a^\frac{m}{n})^n=a^{\frac{m}{n} \cdot n}=a^m</math></center> 
- 
-}} 
-{{Desplegable|titulo=Ejemplos:{{b}}|contenido= 
-{{p}} 
-Pulsa el botón "Ejemplo" para ver distintos ejemplos y anótalos en tu cuaderno: 
- 
-<center><iframe> 
-url=http://maralboran.org/web_ma/descartes/3_eso/Radicales/radicales1_2.html 
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-</iframe></center> 
- 
-<center>[http://maralboran.org/web_ma/descartes/3_eso/Radicales/radicales1_2.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center> 
- 
-}} 
-{{p}} 
-{{Ejemplo|titulo=Ejemplo: La raíz como potencia de exponente fraccionario'' 
-|enunciado= 
-:Escribe las siguientes potencias de exponente fraccionario en forma de raíces y calcula su valor:  
-::<math>a)\ 16^\frac{3}{4}\quad b)\ 27^\frac{2}{3}\quad c)\ 125^\frac{4}{3}\quad d)\ 100^{-\frac{3}{2}}\quad e)\ 8^{-\frac{2}{3}}</math> 
-|sol= 
-Utiliza la siguiente escena para comprobar su resultado. Aumenta el número de decimales cuando sea necesario. 
-{{p}} 
-<center><iframe> 
-url=http://maralboran.org/web_ma/descartes/3_eso/Potencias/potencias33_2.html 
-width=570 
-height=240 
-name=myframe 
-</iframe></center> 
-<center>[http://maralboran.org/web_ma/descartes/3_eso/Potencias/potencias33_2.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center> 
-}} 
-{{p}} 
-{{Caja_Amarilla|texto='''Propiedades: '''Las potencias con exponente fraccionario tienen las mismas [http://maralboran.org/wikipedia/index.php/N%C3%BAmeros_naturales#Propiedades_de_las_potencias_de_naturales propiedades] que con exponente natural o entero.}} 
- 
-{{p}} 
=Radicales= =Radicales=
==Definición== ==Definición==

Revisión de 23:40 14 ene 2009

Tabla de contenidos

Raíces

Raíz n-ésima de un número

La raíz n-ésima (n \in \mathbb{N},\ n>1)de un número a \; es otro número b \; tal que b^n =a\;\! y que escribimos simbólicamente b=\sqrt[n]{a}.

\sqrt[n]{a}=b \iff b^n =a

El número a\;\! se llama radicando, el número n\;\! índice y b\;\! la raíz.



Propiedades de las raíces

ejercicio

Propiedades


  • \sqrt[n]{1}=1  ;  \sqrt[n]{0}=0 , para cualquier valor del índice n\;\!.
  • Si a>0\;\!, \sqrt[n]{a} existe cualquiera que sea el índice n\;\!.
  • Si a<0\;\!, \sqrt[n]{a} sólo existe si el índice n\;\! es impar.
  • Si el índice n\;\! es par y el radicando a>0\;\!, la raíz tiene dos soluciones: una positiva y otra negativa, pero iguales en valor absoluto.
  • Si el índice n\;\! es impar, siempre tiene una única solución, que tiene el mismo signo que el radicando a\;\!.

La raíz como potencia de exponente fraccionario

ejercicio

Proposición: La raíz como potencia de exponente fraccionario


Toda raíz se puede expresar como una potencia de la siguiente forma:

\sqrt[n]{a^m}=a^\frac{m}{n}

ejercicio

Ejemplo: La raíz como potencia de exponente fraccionario


Escribe las siguientes raíces como potencias de exponente fraccionario y calcula su valor:

a)\ \sqrt[3] {125^4} \quad b)\ \sqrt {100^{-3}}

ejercicio

Propiedades de las potencias de exponente fraccionario


Las potencias con exponente fraccionario tienen las mismas propiedades que con exponente natural o entero.

Raíces exactas e inexactas

Se llaman raíces exactas de un número a aquellas que dan como resultado un número racional. En caso contrario diremos que son inexactas y el resultado será un número irracional.

ejercicio

Raíces exactas e inexactas


Para que una raíz sea exacta, al descomponer el radicando en factores primos, los exponentes de éstos deben ser todos divisibles por el índice de la raíz.

ejercicio

Ejemplo: Raíces exactas e inexactas


Calcula las siguientes raíces cuando sean exactas:

a) \sqrt[3]{216} \quad b) \sqrt[4]{0.0256}\quad c) \sqrt[3]{192}

Raíces de fracciones

Calculadora

Raíz cuadrada

Calculadora

Calculadora: Raíz cuadrada


Para calcular raíces cuadradas usaremos la tecla Raíz cuadrada.

Raíz cúbica

Calculadora

Calculadora: Raíz cúbica


Para calcular raíces cúbicas usaremos la tecla Raíz cúbica.

Otras raíces

Calculadora

Calculadora: Otras raíces


Para calcular la raíz cuarta, quinta, etc., usaremos la tecla Raíz de índice x.

Radicales

Definición

Se llama radical a cualquier expresión en la que aparezcan raíces

Operaciones básicas con radicales

Producto:

Para multiplicar radicales del mismo índice se deja el índice y se multiplican los radicandos


Cociente:

Para dividir radicales del mismo índice, se deja el índice y se dividen los radicandos.


Potencia:

Para elevar un radical a una potencia se eleva el radicando a dicha potencia, manteniendo el índice.


Radical:

Para hallar el radical de un radical se multiplican los índices de ambos.

ejercicio

Actividad Interactiva: Radicales


Actividad 1. Operaciones con radicales del mismo índice.

Suma y resta de radicales con el mismo índice y radicando

Para sumar y restar radicales, éstos deben tener el mismo radicando y el mismo índice.

Extracción e introducción de factores en un radical

Extracción de factores

Para extaer factores de un radical se divide el exponente entre el índice y se saca el factor elevado al cociente de la división quedando ese factor elevado al resto.

Introducción de factores

Para introducir factores dentro de un radical se multiplica el exponente del factor por el índice del radical.

ejercicio

Actividad Interactiva: Introducción y extracción de factores de un radical


Actividad 1. Introduce y extráe factores de radicales.

Suma y resta de radicales con el mismo índice y distinto radicando

Si tienen el mismo índice pero distinto radicando, a veces, podemos extraer factores del radical y dejarlos con el mismo radicando:

ejercicio

Actividad Interactiva: Suma y resta de radicales


Actividad 1. Suma y resta radicales con el mismo índice y distinto radicando.

Producto y cocientes de radicales de distinto índice

Para multiplicar o dividir radicales con distintos índices, éstos deben tener el mismo radicando. En tal caso, los radicales los convertimos en potencias de la misma base y operamos con ellas, para obtener una única potencia, que posemos volver a poner en forma radical.

(Otro método: sin pasar a potencia de exponente fraccionario. Ver también: Radicales equivalentes)

Racionalización de denominadores

El procedimiento por el cual hacemos desaparecer las raíces de los denominadores se le llama racionalización

Caso 1: Denominador con raíces cuadradas

Para racionalizar uno de este tipo se debe multiplicar el numerador y el denominador de la fracción por el denominador de la misma.

Caso 2: Denominador con otras raíces

Las cantidades exponenciales del radical para multiplicar al numerador y denominador de la fracción será el número del exponente que falta para acercarse al índice del radical. En caso de que el exponente sea mayor que el índice de la raíz, la cantidad de aquel exponente será la que falte para llegar al múltiplo más cercano de la raíz.

Caso 3: Denominador con sumas y restas de raíces

Se multiplica y divide por la expresión conjugada del denominador (solo se le cambia el segundo signo de la expresión)

Herramientas personales
* AVISO: Para que te funcionen los applets de Java debes usar Internet Explorer y seguir las instrucciones de la Ayuda del menu de la izquierda