Raíces y Radicales (4ºESO Académicas)

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Tabla de contenidos

1 Raíces
2 Radicales

Raíces

Raíz n-ésima de un número

La raíz n-ésima $(n \in \mathbb{N},\ n>1)$ de un número $a \;$ es otro número $b \;$ tal que $b^n =a\;\!$ y que escribimos simbólicamente $b=\sqrt[n]{a}$ .

$\sqrt[n]{a}=b \iff b^n =a$

El número $a\;\!$ se llama radicando, el número $n\;\!$ índice y $b\;\!$ la raíz.

Nomenclatura:

Si el índice es 2 las llamaremos raíces cuadradas; si el índice es 3, raíces cúbicas; si es 5, 6, ..., raíces cuartas, quintas, ....

Ejemplo

$\sqrt[5]{32}=2\;$ porque $2^5 =32\;$ .

Es una raíz quinta porque el índice es 5, su radicando es 32 y la raíz es 2.

Propiedades de las raíces

Propiedades

$\sqrt[n]{1}=1$ ; $\sqrt[n]{0}=0$ , para cualquier valor del índice $n\;\!$ .

Si $a>0\;\!$ , $\sqrt[n]{a}$ existe cualquiera que sea el índice $n\;\!$ .

Si $a<0\;\!$ , $\sqrt[n]{a}$ sólo existe si el índice $n\;\!$ es impar.

Si el índice $n\;\!$ es par y el radicando $a>0\;\!$ , la raíz tiene dos soluciones: una positiva y otra negativa, pero iguales en valor absoluto.

Si el índice $n\;\!$ es impar, siempre tiene una única solución, que tiene el mismo signo que el radicando $a\;\!$ .

Ejemplos

$\sqrt[3]{1}=1$ .

$\sqrt[5]{0}=0$ .

$\sqrt[4]{16}=\pm 2$ porque $(\pm 2)^4=16\;\!$ .

$\sqrt[3]{64}=4$ porque $4^3=64\;\!$ .

$\sqrt[3]{-8}=-2$ porque $(-2)^3=-8\;\!$ .

$\sqrt[4]{-8}= no \ existe$ porque ningún número elevado a 4 puede dar negativo (-8).

La raíz n-ésima

Tutorial 1 (9´53") Sinopsis:

Tutorial que explica la definición de raíz (radical) realizando el cálculo de alguna raíces exactas de números racionales (enteros y decimales).

Tutorial 2a (6´38") Sinopsis:

Raíz n-ésmina de un número. Ejemplos sencillos.

Tutorial 2b (6´38") Sinopsis:

Raíz n-ésmina de un número. Ejemplos más complejos.

Tutorial 3 (4´54") Sinopsis:

Raíz n-ésmina de un número. Ejemplos sencillos.

Tutorial 4 (32´48") Sinopsis:

Raíces de un número entero.
Raíces cuadradas y cúbicas.
Partes de una raíz.
Raíces de números positivo, negativos y del cero.
Raíz exacta y raíz entera.
Calculo manual de raíces cuadradas.
Los radicales.
Extracción de factores de un radical.

Ejercicio 1a (30´30") Sinopsis:

1) Completa:

1a) $Como \ \ 6^2=36 \ \ y \ \ (-6)^2 =36 \rightarrow \sqrt{36}= ...$

1b) $Como \ \ 7^2=49 \ \ y \ \ (-7)^2 =49 \rightarrow \sqrt{49}= ...$

1c) $Como \ \ 9^2=81 \ \ y \ \ (-9)^2 =81 \rightarrow \sqrt{81}= ...$

1d) $Como \ \ 3^2=9 \ \ y \ \ (-3)^2 =9 \rightarrow \sqrt{9}= ...$

2) Completa:

2a) $Como \ \ 6^3=216 \rightarrow \sqrt[3]{216}= ...$

2b) $Como \ \ (-6)^3=-216 \rightarrow \sqrt[3]{-216}= ...$

2c) $Como \ \ 5^3=125 \rightarrow \sqrt[3]{125}= ...$

2d) $Como \ \ (-5)^3=-125 \rightarrow \sqrt[3]{-125}= ...$

2e) $Como \ \ 7^3=343 \rightarrow \sqrt[3]{343}= ...$

2f) $Como \ \ (-7)^3=-343 \rightarrow \sqrt[3]{-343}= ...$

3) Completa:

3a) $Como \ \ 6^4=216 \ \ y \ \ (-6)^4 =216 \rightarrow \sqrt[4]{216}= ...$

3b) $Como \ \ 2^5=32 \ \ y \ \ (-2)^5 =32 \rightarrow \sqrt[5]{32}= ... \ \ y \ \ \sqrt[5]{-32}= ...$

3c) $Como \ \ 3^6=729 \ \ y \ \ (-3)^6 =729 \rightarrow \sqrt[6]{729}= ...$

3d) $Como \ \ 2^7=128 \ \ y \ \ (-2)^7 =-128 \rightarrow \sqrt[7]{128}= ... \ \ y \ \ \sqrt[7]{-128}= ...$

3e) $Como \ \ 3^8=6561 \ \ y \ \ (-3)^8 =6561 \rightarrow \sqrt[8]{6561}= ...$

3f) $Como \ \ 2^9=512 \ \ y \ \ (-2)^9 =-512 \rightarrow \sqrt[9]{512}= ... \ \ y \ \ \sqrt[9]{-512}= ...$

3g) $Como \ \ 2^{10}=1024 \ \ y \ \ (-2)^{10} =1024 \rightarrow \sqrt[10]{1024}= ...$

4) Contesta:

4a) ¿Hay algún número que elevado al cuadrado dé -25? ¿Existe $\sqrt{-25}\;$ ?

4b) ¿Hay algún número que elevado al cuadrado dé -36? ¿Existe $\sqrt{-36}\;$ ?

4c) ¿hay algún número que elevado al cuadrado dé un número negativo?

4d) ¿Hay algún número que elevado al cubo dé -27? ¿Existe $\sqrt[3]{-27}\;$ ?

4e) ¿Hay algún número que elevado al cubo dé -64? ¿Existe $\sqrt[3]{-64}\;$ ?

4f) ¿hay algún número que elevado al cubo dé un número negativo?

4g) ¿Hay algún número que elevado a la cuarta dé -81? ¿Existe $\sqrt[4]{-81}\;$ ?

4h) ¿Hay algún número que elevado a la quinta dé -243? ¿Existe $\sqrt[5]{-243}\;$ ?

4i) ¿De qué depende que exista una raíz de radicando negativo?

5) Calcula:

5a) $\sqrt{1}\;$ ; $\sqrt{-1}\;$

5b) $\sqrt{4}\;$ ; $\sqrt{-4}\;$

5c) $\sqrt{9}\;$ ; $\sqrt{-9}\;$

5d) $\sqrt{16}\;$ ; $\sqrt{-16}\;$

5e) $\sqrt{25}\;$ ; $\sqrt{-25}\;$

5f) $\sqrt{36}\;$ ; $\sqrt{-36}\;$

5g) $\sqrt{49}\;$ ; $\sqrt{-49}\;$

5h) $\sqrt{64}\;$ ; $\sqrt{-64}\;$

5i) $\sqrt{81}\;$ ; $\sqrt{-81}\;$

5j) $\sqrt{100}\;$ ; $\sqrt{-10}\;$

6) Calcula:

6a) $\sqrt[3]{1}\;$ ; $\sqrt[3]{-1}\;$

6b) $\sqrt[3]{8}\;$ ; $\sqrt[3]{-8}\;$

6c) $\sqrt[3]{27}\;$ ; $\sqrt[3]{-27}\;$

6d) $\sqrt[3]{64}\;$ ; $\sqrt[3]{-64}\;$

6e) $\sqrt[3]{125}\;$ ; $\sqrt[3]{-125}\;$

6) Calcula:

7a) $\sqrt[4]{1}\;$ ; $\sqrt[4]{-1}\;$

7b) $\sqrt[5]{32}\;$ ; $\sqrt[5]{-32}\;$

7c) $\sqrt[6]{729}\;$ ; $\sqrt[6]{-729}\;$

7d) $\sqrt[7]{128}\;$ ; $\sqrt[7]{-128}\;$

Ejercicio 1b (28´06") Sinopsis:

8) Indica, en cada caso, la raíz, el índice y el radicando:

8a) $\sqrt{25}\;$

8b) $\sqrt[3]{-64}\;$

8c) $\sqrt[4]{81}\;$

9) Completa:

9a) $\sqrt{4}=... \ \ porque \ \ ... = 4\;$

9b) $\sqrt{9}=... \ \ porque \ \ ... = 4\;$

9c) $\sqrt[3]{-8}=... \ \ porque \ \ ... = 4\;$

9d) $\sqrt[3]{8}=... \ \ porque \ \ ... = 4\;$

9e) $\sqrt[4]{16}=... \ \ porque \ \ ... = 4\;$

9f) $\sqrt[5]{32}=... \ \ porque \ \ ... = 4\;$

9g) $\sqrt[5]{-32}=... \ \ porque \ \ ... = 4\;$

9f) $\sqrt[6]{1}=... \ \ porque \ \ ... = 4\;$

10) Calcula las raíces enteras por exceso y por defecto:

10a) $\sqrt{14}\;$ ; $\sqrt[3]{14}\;$

10b) $\sqrt{20}\;$ ; $\sqrt[3]{20}\;$

10c) $\sqrt{39}\;$ ; $\sqrt[3]{39}\;$

11) Calcula a mano las siguientes raíces:

11a) $\sqrt{4069}\;$

11b) $\sqrt{8315}\;$

Ejercicio 1c (31´57") Sinopsis:

11) Calcula a mano las siguientes raíces:

11c) $\sqrt{49625}\;$

11d) $\sqrt{987654}\;$

11e) $\sqrt{448056}\;$

11f) $\sqrt{865432}\;$

La raíz n-ésima Descripción:

Actividades para que aprendas a calcular la raíz n-ésima de un número entero.

La raíz como potencia de exponente fraccionario

Proposición: La raíz como potencia de exponente fraccionario

Toda raíz se puede expresar como una potencia de la siguiente forma:

$\sqrt[n]{a^m}=a^\frac{m}{n}$

Demostración:

Basta con ver que se cumple la condición de la definición de raíz:

$(a^\frac{m}{n})^n=a^{\frac{m}{n} \cdot n}=a^m$

Ejemplos:

Pulsa el botón "Ejemplo" para ver distintos ejemplos y anótalos en tu cuaderno:

Ejemplo: La raíz como potencia de exponente fraccionario

Escribe las siguientes raíces como potencias de exponente fraccionario y calcula su valor:

$a)\ \sqrt[3] {125^4} \quad b)\ \sqrt {100^{-3}}$

Solución:

a) $125^\frac{4}{3} = (5^3)^\frac{4}{3} = (5)^\frac{12}{3} = 5^4 = 625$

b) $100^{-\frac{3}{2}} = (10^2)^{-\frac{3}{2}} = 10^{-\frac{6}{2}} = \pm 10^{-3} = \pm \cfrac{1}{1000}$ (por ser el índice par tiene dos soluciones de signos opuestos)

Potencias de exponente fraccionario

Tutorial 1 (5'29") Sinopsis:

Potencia de exponente fraccionario. Ejemplos.

Tutorial 2 (5´32") Sinopsis:

Potencia de exponente fraccionario. Ejemplos.

Tutorial 3 (7´34") Sinopsis:

Potencia de exponente fraccionario. Ejemplos.

Ejercicio 1 (7´43") Sinopsis:

Expresa como potencia de exponente fraccionario:

a) $\sqrt[5]{b^9}$

b) $\sqrt[6]{g^5}$

c) $\cfrac{1}{\sqrt[7]{x}}$

Ejercicio 2 (4´08") Sinopsis:

Averigua el valor de a:

$3^a=\sqrt[5]{3^2}$

Ejercicio 3 (3´59") Sinopsis:

Averigua el valor de k:

$\cfrac{m^{\frac{7}{9}}}{m^{\frac{1}{3}}}=m^{\frac{k}{9}} \ \ (m>0)$

Ejercicio 4 (7´33") Sinopsis:

Simplifica:

$\left(r^{\frac{2}{3}} s^3\right)^2 \cdot \sqrt{20\,r^4s^5}$

Potencias de exponente fraccionario

Autoevaluación 1a Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre potencias de exponente fraccionario.

Autoevaluación 1b Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre potencias de exponente fraccionario.

Autoevaluación 1c Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre potencias de exponente fraccionario.

Autoevaluación 1d Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre potencias de exponente fraccionario.

Autoevaluación 1e Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre potencias de exponente fraccionario.

Autoevaluación 2 Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre potencias de exponente fraccionario.

Potencias de exponente fraccionario

Actividad: Potencias de exponente fraccionario

Calcula:

a) $16^\frac{3}{4}$

b) $27^\frac{2}{3}$

c) $8^{-\frac{2}{3}}$

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) 16^(3/4)

b) 27^(2/3)

c) 8^(-2/3)

Propiedades de las potencias de exponente fraccionario

Las potencias con exponente fraccionario tienen las mismas propiedades que con exponente natural o entero.

Propiedades de las potencias de exponente fraccionario

Ejercicio 1 (9'35") Sinopsis:

Calcula:

a) $64^{\frac{1}{3}}$

b) $64^{\frac{2}{3}}$

c) $\left(\cfrac{8}{27}\right)^{-\frac{2}{3}}$

Ejercicio 2 (3'03") Sinopsis:

Calcula:

a) $9^{\frac{1}{2}}$

b) $9^{-\frac{1}{2}}$

c) $(-27)^{-\frac{1}{3}}$

Ejercicio 3 (5'40") Sinopsis:

Calcula:

a) $\left(\cfrac{25}{9}\right)^{\frac{1}{2}}$

b) $\left(\cfrac{81}{256}\right)^{-\frac{1}{4}}$

Ejercicio 4 (5'36") Sinopsis:

Calcula:

$\cfrac{256^{\frac{4}{7}}}{2^{\frac{4}{7}}}$

Ejercicio 5 (2'50") Sinopsis:

Simplifica:

$6^{\frac{1}{2}} \cdot \left(\sqrt[5]{6}\right)^3$

Propiedades de las potencias de exponente fraccionario

Actividad Descripción:

Actividades para que aprendas a operar con raíces expresadas en forma de potencias de exponente fraccionario y a utilizar sus propiedades.

Autoevaluación Descripción:

Simplifica expresiones radicales

Raíces exactas e inexactas

Se llaman raíces exactas de un número a aquellas que dan como resultado un número racional. En caso contrario diremos que son inexactas y el resultado será un número irracional.

Raíces exactas e inexactas

Para que una raíz sea exacta, al descomponer el radicando en factores primos, los exponentes de éstos deben ser todos divisibles por el índice de la raíz.

Ejemplo: Raíces exactas e inexactas

Calcula las siguientes raíces cuando sean exactas:

$a) \sqrt[3]{216} \quad b) \sqrt[4]{0.0256}\quad c) \sqrt[3]{192}$

Solución:

a) Descomponemos $216=2^3 \cdot 3^3$ .

Como las potencias son divisibles por 3, la raíz es exacta. Para obtenerla, la regla práctica consiste en dividir cada exponente entre el índice. A continuación se explica el porqué de forma detallada:

$\sqrt[3]{216}=\sqrt[3]{2^3 \cdot 3^3}=(2^3 \cdot 3^3)^{\frac{1}{3}}=2^{\frac{3}{3}} \cdot 3^{\frac{3}{3}}=2^1 \cdot 3^1=6$

Luego $\sqrt[3]{216}$ es racional.

b) Descomponemos $\cfrac{256}{10000}=\cfrac {2^8}{10^4}$ .

Como las potencias son divisibles por 4, la raíz es exacta. Para obtenerla, dividimos cada exponente entre el índice:

$\sqrt[4]{0.0256}=\sqrt[4]{\cfrac{256}{10000}}=\sqrt[4]{\cfrac {2^8}{10^4}}=\cfrac {2^{\frac{8}{4}}}{10^{\frac{4}{4}}}=\pm \cfrac{2^2}{10^1}=\pm \cfrac{4}{10}=\pm 0'4$

Luego $\sqrt[4]{0.0256}$ es racional.

c) Descomponemos $192=2^6 \cdot 3\;\!$ .

El exponente de 3 es 1, que no es divisible por 3. Por tanto, la raíz no es exacta.

Luego $\sqrt[3]{192}$ es irracional.

Raíces exactas e inexactas

Tutorial (6´29") Sinopsis:

Tutorial que explica las raíces exactas e inexactas y pone ejemplos de ambas.

Raíces exactas:

Ejercicio 1 (6´59") Sinopsis:

Calcula:

a) $\sqrt[4]{16}$

b) $\sqrt[5]{-243}$

Ejercicio 2 (7´24") Sinopsis:

Calcula:

a) $\sqrt[6]{64}$

b) $\sqrt[3]{-216}$

Ejercicio 3 (8´18") Sinopsis:

Calcula:

a) $\sqrt{144}$

b) $\sqrt{2304}$

Raíces de fracciones

Raíces de fracciones

Tutorial 1a: Cálculo (7'09") Sinopsis:

Cómo se calculan las raíces de fracciones. Ejemplos.

Tutorial 1b: Suma y resta (4'59") Sinopsis:

Cómo se suman y restan las raíces de fracciones. Ejemplos.

Tutorial 1c: Multiplicación (3'05") Sinopsis:

Cómo se multiplican raíces de fracciones. Ejemplos.

Tutorial 1d: División (3'55") Sinopsis:

Cómo se dividen raíces de fracciones. Ejemplos.

Tutorial 1e: Potencia (3'14") Sinopsis:

Cómo se calculan las potencias de raíces de fracciones. Ejemplos.

Tutorial 1e: Raíz (0'59") Sinopsis:

Cómo se calculan las raíces de raíces de fracciones. Ejemplos.

Ejercicio 1 (9'08") Sinopsis:

Suma y resta de raíces de fracciones:

1) $30\sqrt{\cfrac{2}{5}}+7\sqrt{\cfrac{2}{5}}-3\sqrt{\cfrac{2}{5}}$

2) $-2\sqrt{\cfrac{3}{2}}-3\sqrt{\cfrac{3}{2}}+\sqrt{\cfrac{3}{2}}$

3) $\sqrt{\cfrac{1}{4}}+3\sqrt{\cfrac{1}{4}}-\sqrt{\cfrac{1}{4}}$

4) $-\cfrac{1}{2}\sqrt[3]{\cfrac{-2}{3}}+\sqrt[3]{\cfrac{-2}{3}}-\cfrac{1}{4}\sqrt[3]{\cfrac{-2}{3}}$

5) $-8\sqrt[3]{\cfrac{-3}{5}}+\cfrac{3}{2}\sqrt[3]{\cfrac{-3}{5}}-\cfrac{1}{4}\sqrt[3]{\cfrac{-3}{5}}$

Ejercicio 2 (8'51") Sinopsis:

Suma y resta de raíces de fracciones:

6) $\sqrt[3]{\cfrac{-2}{3}}-\cfrac{1}{2}\sqrt[3]{\cfrac{-2}{3}}+2\sqrt[3]{\cfrac{-2}{3}}$

7) $\sqrt[8]{\cfrac{9}{4}}+12\sqrt[8]{\cfrac{9}{4}}-\cfrac{1}{4}\sqrt[8]{\cfrac{9}{4}}$

8) $\cfrac{-1}{3}\sqrt[11]{\cfrac{-3}{7}}+\cfrac{1}{9}\sqrt[11]{\cfrac{-3}{7}}-\cfrac{2}{3}\sqrt[11]{\cfrac{-3}{7}}$

9) $-\sqrt[5]{\cfrac{5}{3}}-\cfrac{5}{2}\sqrt[5]{\cfrac{5}{3}}-\cfrac{1}{4}\sqrt[5]{\cfrac{5}{3}}$

Ejercicio 3 (15'58") Sinopsis:

Multiplicaciones de raíces de fracciones:

10) $2\sqrt{\cfrac{3}{5}} \cdot 3\sqrt{\cfrac{5}{4}}$

11) $3\sqrt{\cfrac{5}{2}} \cdot 2\sqrt{\cfrac{4}{15}}$

12) $3\sqrt{\cfrac{2}{9}} \cdot 5\sqrt{\cfrac{3}{4}}$

13) $\cfrac{5}{3}\sqrt{\cfrac{3}{2}} \cdot \cfrac{3}{2}\sqrt{\cfrac{4}{9}}$

Ejercicio 4 (12'15") Sinopsis:

Multiplicaciones de raíces de fracciones:

14) $\cfrac{3}{4}\sqrt{\cfrac{2}{7}} \cdot (-\cfrac{2}{5})\sqrt{\cfrac{21}{6}}$

15) $\cfrac{2}{3}\sqrt{\cfrac{2}{6}} \cdot (\cfrac{-3}{5})\sqrt{\cfrac{3}{2}} \cdot \cfrac{10}{3}\sqrt{\cfrac{5}{2}}$

16) $-\cfrac{3}{7}\sqrt{\cfrac{4}{3}} \cdot (-\sqrt{\cfrac{9}{2}}) \cdot \cfrac{14}{3} \sqrt{\cfrac{1}{2}}$

Ejercicio 5 (14'14") Sinopsis:

Multiplicaciones de raíces de fracciones:

17) $\cfrac{4}{3}\sqrt{\cfrac{1}{3}} \cdot (-\cfrac{9}{2}\sqrt{\cfrac{5}{3}}) \cdot (-\cfrac{5}{3})\sqrt{\cfrac{3}{5}}$

18) $\cfrac{-7}{4}\sqrt{\cfrac{5}{2}} \cdot (-\cfrac{1}{7}\sqrt{\cfrac{3}{10}}) \cdot \sqrt{\cfrac{2}{3}}$

19) $2\sqrt[3]{\cfrac{2}{5}} \cdot 3\sqrt[3]{\cfrac{4}{25}}$

20) $\sqrt[3]{\cfrac{9}{2}} \cdot \cfrac{5}{6}\sqrt[3]{\cfrac{2}{125}}$

Ejercicio 6 (13'11") Sinopsis:

Multiplicaciones de raíces de fracciones:

21) $\cfrac{-2}{5}\sqrt[3]{\cfrac{-1}{3}} \cdot 5\sqrt[3]{\cfrac{-1}{9}}$

22) $2\sqrt[3]{\cfrac{7}{3}} \cdot \cfrac{1}{4}\sqrt[3]{\cfrac{9}{14}}$

23) $8\sqrt[3]{\cfrac{3}{7}} \cdot \sqrt[3]{\cfrac{-7}{9}} \cdot \sqrt[3]{\cfrac{-7}{2}}$

Ejercicio 7 (14'56") Sinopsis:

Multiplicaciones de raíces de fracciones:

24) $3\sqrt[3]{\cfrac{9}{4}} \cdot \left( -\cfrac{1}{2}\sqrt[3]{\cfrac{3}{2}} \right) \cdot \cfrac{2}{5}\sqrt[3]{125}$

25) $\cfrac{4}{3}\sqrt[4]{\cfrac{3}{7}} \cdot 3\sqrt[4]{\cfrac{16}{3}}$

26) $\cfrac{1}{3}\sqrt[8]{\cfrac{1}{4}} \cdot \left( -\cfrac{9}{2}\sqrt[8]{\cfrac{2}{3}} \right) \cdot 4\sqrt[8]{\cfrac{3}{5}}$

Ejercicio 8 (11'07") Sinopsis:

División de raíces de fracciones:

27) $\sqrt{\cfrac{14}{3}} : \sqrt{\cfrac{7}{9}}$

28) $\left( \cfrac{1}{5}\sqrt{\cfrac{30}{7}} \right): \left( -\cfrac{5}{3}\sqrt{\cfrac{3}{14}} \right)$

29) $\left( -\cfrac{10}{9}\sqrt{\cfrac{12}{5}} \right): \left( \cfrac{5}{3}\sqrt{\cfrac{3}{10}} \right)$

30) $\left( -\cfrac{2}{3}\sqrt[3]{\cfrac{14}{5}} \right): \left( \cfrac{14}{12}\sqrt[3]{\cfrac{7}{10}} \right)$

Ejercicio 9 (12'40") Sinopsis:

División de raíces de fracciones:

31) $\left( \cfrac{9}{2}\sqrt[3]{\cfrac{14}{9}} \right) : \left( \sqrt[3]{\cfrac{-7}{3}} \right)$

32) $\left( \cfrac{12}{5}\sqrt[3]{\cfrac{18}{3}} \right): \left( -\cfrac{6}{5}\sqrt[3]{\cfrac{-9}{2}} \right)$

Ejercicio 10 (13'21") Sinopsis:

División de raíces de fracciones:

33) $\left( -\cfrac{10}{3}\sqrt[4]{\cfrac{15}{49}} \right) : \left( \cfrac{5}{27}\sqrt[4]{\cfrac{49}{125}} \right)$

34) $\left( -\cfrac{10}{4}\sqrt[5]{\cfrac{15}{7}} \right): \left( \cfrac{5}{6}\sqrt[5]{\cfrac{5}{14}} \right)$

35) $\cfrac{\cfrac{6}{5}\sqrt{\cfrac{12}{5}}}{-\cfrac{3}{15}\sqrt{\cfrac{2}{25}}}$

Ejercicio 11 (16'36") Sinopsis:

División de raíces de fracciones:

36) $\cfrac{\cfrac{2}{5}\sqrt{\cfrac{7}{3}}}{\cfrac{4}{15}\sqrt{\cfrac{21}{4}}}$

37) $\cfrac{-\cfrac{10}{7}\sqrt[3]{\cfrac{15}{4}}}{5\sqrt[3]{\cfrac{8}{9}}}$

38) $\cfrac{-\cfrac{10}{6}\sqrt[3]{\cfrac{15}{4}}}{\cfrac{5}{3}\sqrt[3]{\cfrac{2}{25}}}$

Ejercicio 12 (16'36") Sinopsis:

Potencias de raíces de fracciones:

39) $\sqrt{\cfrac{1}{2}} \cdot \sqrt{\cfrac{1}{2}}$

40) $\sqrt[3]{\cfrac{-1}{5}} \cdot \sqrt[3]{\cfrac{-1}{5}} \cdot \sqrt[3]{\cfrac{-1}{5}}$

41) $\sqrt[3]{\cfrac{2}{3}} \cdot \sqrt[3]{\cfrac{2}{3}} \cdot \sqrt[3]{\cfrac{2}{3}}$

42) $\sqrt[4]{\cfrac{3}{5}} \cdot \sqrt[4]{\cfrac{3}{5}} \cdot \sqrt[4]{\cfrac{3}{5}} \cdot \sqrt[4]{\cfrac{3}{5}}$

43) $\sqrt[6]{\cfrac{3}{2}} \cdot \sqrt[6]{\cfrac{3}{2}} \cdot \sqrt[6]{\cfrac{3}{2}} \cdot \sqrt[6]{\cfrac{3}{2}} \cdot \sqrt[6]{\cfrac{3}{2}}$

Ejercicio 13 (8'01") Sinopsis:

Convierte en potencias de exponente fraccionario:

44) $\left( \sqrt{\cfrac{7}{2}} \right)^5$ ; 45) $\left( \sqrt{\cfrac{5}{3}} \right)^3$ ; 46) $\left( \sqrt{\cfrac{25}{4}} \right)^8$

47) $\left( \sqrt{\cfrac{18}{7}} \right)^4$ ; 48) $\left( \sqrt{\cfrac{100}{7}} \right)^6$ ; 49) $\left( \sqrt[3]{\cfrac{7}{3}} \right)^6$

50) $\left( \sqrt[3]{\cfrac{5}{2}} \right)^9$ ; 51) $\left( \sqrt[4]{\cfrac{7}{4}} \right)^8$ ; 52) $\left( \sqrt[6]{\cfrac{21}{5}} \right)^{12}$

53) $\left( \sqrt[21]{\cfrac{12}{5}} \right)^{14}$

Ejercicio 14 (5'05") Sinopsis:

Convierte la potencia en raíz:

54) $\left( \cfrac{2}{3} \right)^{\cfrac{1}{3}}$ ; 55) $\left( \cfrac{3}{4} \right)^{-\cfrac{1}{2}}$ ; 56) $\left( \cfrac{2}{3} \right)^{\cfrac{2}{3}}$

57) $\left( \cfrac{4}{7} \right)^{\cfrac{5}{3}}$ ; 58) $\left( \cfrac{9}{2} \right)^{\cfrac{10}{3}}$ ; 59) $\left( \cfrac{12}{5} \right)^{-\cfrac{9}{2}}$

Ejercicio 15 (3'59") Sinopsis:

Raíces de una raíz de una fracción:

60) $\sqrt{\sqrt{\cfrac{7}{4}}}$ ; 61) $\sqrt{\sqrt{\cfrac{3}{5}}}$ ; 62) $\sqrt{\sqrt{\cfrac{7}{4}}}$

63) $\sqrt[3]{\sqrt{\cfrac{2}{5}}}$ ; 64) $\sqrt[3]{\sqrt[3]{\cfrac{25}{4}}}$ ; 65) $\sqrt{\sqrt[3]{64}}$

66) $\sqrt[4]{\sqrt[3]{\cfrac{2}{7}}}$ ; 67) $\sqrt[3]{\sqrt{\cfrac{12}{5}}}$

Calculadora

Raíces

Actividad: Raíces

Calcula:

a) $\sqrt {0.0001}$

b) $\sqrt[3] {-512}$

c) $\sqrt[4] {16}$

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) sqrt(0.0001)

b) cubic root (-512)

c) 4th root (16)

Raíz cuadrada

Calculadora: Raíz cuadrada

Para calcular raíces cuadradas usaremos la tecla .

Ejemplo:

Operación: $\sqrt {16}$

Procedimiento: $16\;\!$

Solución: $4\;\!$

Advertencia:

Ten cuidado, si trabajas con números enteros, porque la calculadora sólo da una de las dos soluciones posibles, la positiva.

Raíz cúbica

Calculadora: Raíz cúbica

Para calcular raíces cúbicas usaremos la tecla .

Ejemplo:

Operación: $\sqrt [3] {8}$

Procedimiento: $8\;\!$

Solución: $2\;\!$

Otras raíces

Calculadora: Otras raíces

Para calcular la raíz cuarta, quinta, etc., usaremos la tecla .

Ejemplo:

Operación: $\sqrt [4]{81}$

Procedimiento: $4\;\!$ $81\;\!$

Solución: $3\;\!$

Radicales

Definición

Se llama radical a cualquier expresión en la que aparezcan raíces

Operaciones básicas con radicales

Producto:

Para multiplicar radicales del mismo índice se deja el índice y se multiplican los radicandos

Ejemplos:

Pulsa el botón "Ejemplo" para ver los ejemplos. Anota algunos en tu cuaderno.

Click aquí si no se ve bien la escena

Cociente:

Para dividir radicales del mismo índice, se deja el índice y se dividen los radicandos.

Ejemplos:

Pulsa el botón "Ejemplo" para ver los ejemplos. Anota algunos en tu cuaderno.

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Potencia:

Para elevar un radical a una potencia se eleva el radicando a dicha potencia, manteniendo el índice.

Ejemplos:

Pulsa el botón "Ejemplo" para ver los ejemplos. Anota algunos en tu cuaderno.

Radical:

Para hallar el radical de un radical se multiplican los índices de ambos.

Ejemplos:

Pulsa el botón "Ejemplo" para ver los ejemplos. Anota algunos en tu cuaderno.

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Actividad Interactiva: Radicales

Actividad 1. Operaciones con radicales del mismo índice.

Actividad:

Pulsa el botón EJERCICIO y verás el enunciado; hazlo en tu cuaderno e introduce la solución con la escena, luego pulsa el botón SOLUCIÓN para ver si lo has hecho bien.

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Suma y resta de radicales con el mismo índice y radicando

Para sumar y restar radicales, éstos deben tener el mismo radicando y el mismo índice.

Ejemplos:

$3\sqrt{5}-\sqrt{5}+5\sqrt{5}=(3-1+5)\sqrt{5}=7\sqrt{5}$
$3\sqrt{2}-\sqrt{3}=$ (No se puede simplificar)
$3\sqrt[3]{2}+\sqrt{2}=$ (No se puede simplificar)

Extracción e introducción de factores en un radical

Extracción de factores

Para extaer factores de un radical se divide el exponente entre el índice y se saca el factor elevado al cociente de la división quedando ese factor elevado al resto.

Ejemplos:

Pulsa el botón "Ejemplo" para ver los ejemplos. Anota algunos en tu cuaderno.

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Introducción de factores

Para introducir factores dentro de un radical se multiplica el exponente del factor por el índice del radical.

Ejemplos:

Pulsa el botón "Ejemplo" para ver los ejemplos. Anota algunos en tu cuaderno.

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Actividad Interactiva: Introducción y extracción de factores de un radical

Actividad 1. Introduce y extráe factores de radicales.

Actividad:

Pulsa el botón EJERCICIO y verás el enunciado; hazlo en tu cuaderno e introduce la solución con la escena, luego pulsa el botón SOLUCIÓN para ver si lo has hecho bien.

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Suma y resta de radicales con el mismo índice y distinto radicando

Si tienen el mismo índice pero distinto radicando, a veces, podemos extraer factores del radical y dejarlos con el mismo radicando:

Ejemplos:

Pulsa el botón "Ejemplo" para ver los ejemplos. Anota algunos en tu cuaderno.

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Actividad Interactiva: Suma y resta de radicales

Actividad 1. Suma y resta radicales con el mismo índice y distinto radicando.

Actividad:

Pulsa el botón EJERCICIO y verás el enunciado; hazlo en tu cuaderno e introduce la solución con la escena, luego pulsa el botón SOLUCIÓN para ver si lo has hecho bien.

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Producto y cocientes de radicales de distinto índice

Para multiplicar o dividir radicales con distintos índices, éstos deben tener el mismo radicando. En tal caso, los radicales los convertimos en potencias de la misma base y operamos con ellas, para obtener una única potencia, que posemos volver a poner en forma radical.

Ejemplos:

$3\sqrt[3]{5} \cdot \sqrt[4]{5}:\sqrt{5}=3\cdot5^{\frac{1}{3}}\cdot5^{\frac{1}{4}}:5^{\frac{1}{2}}=3\cdot5^{(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-\frac{1}{2})}=3\cdot5^\frac{1}{12}=3\sqrt[12]{5}$
$3\sqrt[5]{2}-\sqrt[3]{3}=$ (No se puede simplificar)

(Otro método: sin pasar a potencia de exponente fraccionario. Ver también: Radicales equivalentes)

Racionalización de denominadores

El procedimiento por el cual hacemos desaparecer las raíces de los denominadores se le llama racionalización

Caso 1: Denominador con raíces cuadradas

Para racionalizar uno de este tipo se debe multiplicar el numerador y el denominador de la fracción por el denominador de la misma.

Ejemplo:

Vamos a racionalizar $\frac{{6}}{\sqrt{2}}$

En este caso hay que multiplicar numerador y denominador por $\sqrt{2}$

$\frac{{6}}{\sqrt{2}}$ · $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ = $\frac{{6\sqrt{2}}}{\sqrt{2^2}}$

Después se despeja la raíz cuadrada del denominador:

$\frac{{6\sqrt{2}}}{\sqrt{2^2}}$ = $\frac{{6\sqrt{2}}}{{2}}$

El resultado del ejercicio es éste, aunque se puede simplificar el número entero del numerador entre el del denominador, así:

$\frac{{6\sqrt{2}}}{{2}}$ = $3\sqrt{2}$

Caso 2: Denominador con otras raíces

Las cantidades exponenciales del radical para multiplicar al numerador y denominador de la fracción será el número del exponente que falta para acercarse al índice del radical. En caso de que el exponente sea mayor que el índice de la raíz, la cantidad de aquel exponente será la que falte para llegar al múltiplo más cercano de la raíz.

Ejemplo:

Vamos a racionalizar $\frac{{2}}{\sqrt[5]{a^3b^4}}$

En este ejemplo, hay que multiplicar por $\sqrt[5] {a^2b}$ , ya que éste es el radical que al ser multiplicado por el denominador los exponentes de las cantidades subradicales serán iguales al índice de la raíz.

Ahora, se procede a multiplicar el numerador y el denominador:

$\frac{{2}}{\sqrt[5]{a^3b^4}}$ · $\frac{\sqrt[5] {a^2b} }{\sqrt[5]{a^2b}}$ = $\frac{{2\sqrt[5]{a^2b}}}{\sqrt[5]{a^5b^5}}$

Ahora, se procede al despeje de las raíces, en el ejemplo de índice 5:

$\frac{{2\sqrt[5]{a^2b}}}{\sqrt[5]{a^5b^5}}$ = $\frac{{2\sqrt[5]{a^2b}}}{{ab}}$

Caso 3: Denominador con sumas y restas de raíces

Se multiplica y divide por la expresión conjugada del denominador (solo se le cambia el segundo signo de la expresión)

Ejemplo:

Vamos a racionalizar $\frac{{2}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$

En este caso hay que multiplicar el numerador y el denominador por ${\sqrt{2}-\sqrt{3}}$ ; este resultado es el que da el producto notable de los binomios conjugados.

$\frac{{2}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$ · $\frac{{{\sqrt{2}-\sqrt{3}}}}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}$ = $\frac{{2({\sqrt{2}-\sqrt{3}}) }}{\sqrt{2^2}-\sqrt{3^2}}$

Ahora, se procede al despeje de las raíces cuadradas del denominador:

$\frac{{2({\sqrt{2}-\sqrt{3}}) }}{\sqrt{2^2}-\sqrt{3^2}}$ = $\frac{{2({\sqrt{2}-\sqrt{3}}) }}{{2}-{3}}$ = $\frac{{2({\sqrt{2}-\sqrt{3}}) }}{{-1}}$ = ${-2\sqrt{2}-\sqrt{3}}$

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Ra%C3%ADces_y_Radicales_%284%C2%BAESO_Acad%C3%A9micas%29"

Categorías: Matemáticas | Números

 {{p}}
 =Raíces=
-==Definición==
+{{Raíces}}
-Sabemos que <math>3^2 = 9\;\!</math>. Esta igualdad la podemos expresar de forma similar como <math>\sqrt{9}=3</math> y se lee "3 es igual a la raíz cuadrada de 9".
-En general:{{p}}
-{{Caja_Amarilla|texto=
-*Se define la '''raíz cuadrada''' de un número <math>a\;\!</math> como otro número <math>b\;\!</math> tal que <math>b^2 =a\;\!</math>.
-Y escribimos:
-<center><math>b=\sqrt{a}</math></center>
-*Se define la '''raíz cúbica''' de un número <math>a\;\!</math> como otro número <math>b\;\!</math> tal que <math>b^3 =a\;\!</math>.
-Y escribimos:
-<center><math>b=\sqrt[3]{a}</math></center>
-*Igualmente, se define '''raíz n-sima''' de un número <math>a\;\!</math> como otro número <math>b\;\!</math> tal que <math>b^n =a\;\!</math>. <math>(n \in \mathbb{N},\ n>1)</math>
-Y escribimos:
-<center><math>b=\sqrt[n]{a}</math></center>
-El número <math>a\;\!</math> se llama '''radicando''', el número <math>n\;\!</math>, '''índice''' y <math>b\;\!</math> es la '''raíz'''.
-}}
 {{p}}
-==Propiedades==
-{{Caja_Amarilla|texto=
-*<math>\sqrt[n]{1}=1</math> y <math>\sqrt[n]{0}=0</math>, para cualquier valor del índice <math>n\;\!</math>.
-*Si <math>a>0\;\!</math>, <math>\sqrt[n]{a}</math> existe cualquiera que sea el índice <math>n\;\!</math>.
-*Si <math>a<0\;\!</math>, <math>\sqrt[n]{a}</math> sólo existe si el índice <math>n\;\!</math> es impar.
-*Si el índice <math>n\;\!</math> es par y el radicando <math>a>0\;\!</math>, la raíz tiene dos soluciones: una positiva y otra negativa, pero iguales en valor absoluto. Si el índice es impar, siempre tiene una única solución, que tiene el mismo signo que el radicando <math>a\;\!</math>.
-}}{{p}}
-{{Desplegable|titulo=Ejemplos:{{b}}|contenido=
-#<math>\sqrt[3]{1}=1</math>.
-#<math>\sqrt[5]{0}=0</math>.
-#<math>\sqrt[4]{16}=\pm 2</math> porque <math>(\pm 2)^4=16\;\!</math>.
-#<math>\sqrt[3]{64}=4</math> porque <math>4^3=64\;\!</math>.
-#<math>\sqrt[3]{-8}=-2</math> porque <math>(-2)^3=-8\;\!</math>.
-#<math>\sqrt[4]{-8}= no \ existe</math> porque ningún número elevado a 4 puede dar negativo (-8).
-{{p}}
-Pulsa el botón "Ejemplo" para ver distintos ejemplos y anótalos en tu cuaderno:
-<center><iframe>
-url=http://maralboran.org/web_ma/descartes/3_eso/Radicales/radicales1_1.html
-width=520
-height=250
-name=myframe
-</iframe></center>
-<center>[http://maralboran.org/web_ma/descartes/3_eso/Radicales/radicales1_1.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>
-}}
-==Raíces exactas e inexactas==
-{{Caja_Amarilla|texto=
-Se llaman '''raíces exactas''' a aquellas que dan como resultado un número racional. En caso contrario diremos que son '''inexactas''' y el resultaado será un número irracional.{{p}}
-Para que una raíz sea exacta, al descomponer el radicando en factores primos, las potencias de éstos deben ser todas números divisibles por el índice.
-}}{{p}}
-{{Ejemplo|titulo=Ejemplo: ''Raíces exactas e inexactas''
-|enunciado=
-:Calcula las siguientes raíces cuando sean exactas:{{p}}
-::<math>a) \sqrt[3]{216} \quad b) \sqrt[4]{0'0256}\quad c) \sqrt[3]{192}</math>
-|sol=
-'''a)''' Descomponemos <math>216=2^3 \cdot 3^3</math>.
-Como las potencias son divisibles por 3, la raíz es exacta. Para obtenerla, dividimos cada exponente entre el índice:
-<center><math>\sqrt[3]{216}=\sqrt[3]{2^3 \cdot 3^3}=2^{\frac{3}{3}} \cdot 3^{\frac{3}{3}}=2^1 \cdot 3^1=6</math></center>
-Luego <math>\sqrt[3]{216}</math> es racional.
-----
-'''b)''' Descomponemos <math>\cfrac{256}{10000}=\cfrac {2^8}{10^4}</math>.
-Como las potencias son divisibles por 4, la raíz es exacta. Para obtenerla, dividimos cada exponente entre el índice:
-<center><math>\sqrt[4]{0'0256}=\sqrt[4]{\cfrac{256}{10000}}=\sqrt[4]{\cfrac {2^8}{10^4}}=\cfrac {2^{\frac{8}{4}}}{10^{\frac{4}{4}}}=\cfrac{2^2}{10^1}=\cfrac{4}{10}=0'4</math></center>
-Luego <math>\sqrt[4]{0'0256}</math> es racional.
-----
-'''c)''' Descomponemos <math>192=2^6 \cdot 3\;\!</math>.
-La potencia de 3 es 1, que no es divisible por 3. Por tanto, la raíz no es exacta.
-Luego <math>\sqrt[3]{192}</math> es irracional.
-}}{{p}}
-==La raíz como potencia de exponente fraccionario==
-{{Teorema|
-titulo=Proposición
-|enunciado=
-*Toda raíz se puede expresar como una potencia cuya base es el radicando, <math>a\;\!</math>, y el exponente es <math>\cfrac{1}{n}</math>, siendo <math>n\;\!</math> el índice de la raíz. Ésto es:{{p}}
-{{Caja|contenido=<math>\sqrt[n]{a}=a^\frac{1}{n}</math>}}
-*De forma similar, también se cumple:{{p}}
-{{Caja|contenido=<math>\sqrt[n]{a^m}=a^\frac{m}{n}</math>}}
-|demo=
-Para la primera parte, basta con ver que se cumple la condición de la definición de raíz.
-<center><math>(a^\frac{1}{n})^n=a^{\frac{1}{n} \cdot n}=a^1=a</math></center>
-Para la segunda parte, haremos una comprobación análoga:
-<center><math>(a^\frac{m}{n})^n=a^{\frac{m}{n} \cdot n}=a^m</math></center>
-}}
-{{Desplegable|titulo=Ejemplos:{{b}}|contenido=
-{{p}}
-Pulsa el botón "Ejemplo" para ver distintos ejemplos y anótalos en tu cuaderno:
-<center><iframe>
-url=http://maralboran.org/web_ma/descartes/3_eso/Radicales/radicales1_2.html
-width=500
-height=230
-name=myframe
-</iframe></center>
-<center>[http://maralboran.org/web_ma/descartes/3_eso/Radicales/radicales1_2.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>
-}}
-{{p}}
-{{Ejemplo|titulo=Ejemplo: La raíz como potencia de exponente fraccionario''
-|enunciado=
-:Escribe las siguientes potencias de exponente fraccionario en forma de raíces y calcula su valor:
-::<math>a)\ 16^\frac{3}{4}\quad b)\ 27^\frac{2}{3}\quad c)\ 125^\frac{4}{3}\quad d)\ 100^{-\frac{3}{2}}\quad e)\ 8^{-\frac{2}{3}}</math>
-|sol=
-Utiliza la siguiente escena para comprobar su resultado. Aumenta el número de decimales cuando sea necesario.
-{{p}}
-<center><iframe>
-url=http://maralboran.org/web_ma/descartes/3_eso/Potencias/potencias33_2.html
-width=570
-height=240
-name=myframe
-</iframe></center>
-<center>[http://maralboran.org/web_ma/descartes/3_eso/Potencias/potencias33_2.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>
-}}
-{{p}}
-{{Caja_Amarilla|texto='''Propiedades: '''Las potencias con exponente fraccionario tienen las mismas [http://maralboran.org/wikipedia/index.php/N%C3%BAmeros_naturales#Propiedades_de_las_potencias_de_naturales propiedades] que con exponente natural o entero.}}
-{{p}}
 =Radicales=
 ==Definición==

Raíces y Radicales (4ºESO Académicas)

De Wikipedia

Revisión de 23:40 14 ene 2009

Tabla de contenidos

Raíces

Raíz n-ésima de un número

Propiedades de las raíces

La raíz como potencia de exponente fraccionario

Raíces exactas e inexactas

Raíces de fracciones

Calculadora

Raíz cuadrada

Raíz cúbica

Otras raíces

Radicales

Definición

Operaciones básicas con radicales

Suma y resta de radicales con el mismo índice y radicando

Extracción e introducción de factores en un radical

Extracción de factores

Introducción de factores

Suma y resta de radicales con el mismo índice y distinto radicando

Producto y cocientes de radicales de distinto índice

Racionalización de denominadores

Caso 1: Denominador con raíces cuadradas

Caso 2: Denominador con otras raíces

Caso 3: Denominador con sumas y restas de raíces

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