Áreas y volúmenes

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-|repasar=+|repasar=[[Figuras Planas y Espaciales(1º ESO) | Figuras (1ºESO)]]
 +[http://www.librosvivos.net/smtc/homeTC.asp?TemaClave=1120 Áreas cuerpos (SM)]
 +<br>[http://www.maralboran.org/web_ma/sm/volumen.ppt Volumen: presentación (SM)]
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-==Prisma==+{{Áreas y volúmenes en el espacio}}
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-Comprueba los resultados en la siguiente escena:+
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-Comprueba los resultados en la siguiente escena:+
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-===Ortoedro===+
-Como sabemos, un '''ortoedro''' es un prisma recto de base rectangular o cuadrada.+
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-===Cubo===+
-Un caso particular de ortoedro es el '''cubo''' cuyas caras son todas cuadradas.+
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-Comprueba los resultados en la siguiente escena:+
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-|enunciado='''Actividad 2:''' Halla el volumen de un cubo de 3 cm de arista.+
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-|enunciado='''Actividad 3:''' Halla el volumen de un ortoedro de 3 cm de largo, 2 cm de ancho y 2,5 cm de alto.+
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-Comprueba los resultados en la siguiente escena:+
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-<center>[http://maralboran.ath.cx/web_ma/descartes/1y2_eso/Volumenes_d3/VOLUMENES_4_1.html '''Shift-Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>+
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-Ahora mueve el deslizador de la parte superior y explica lo que ocurre y el porqué.+
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-===Pirámide truncada===+
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-* '''Volumen:'''{{p}}+
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-|enunciado='''Actividad 1:''' Halla el volumen de un cilindro de 3 cm de radio y 2 cm de altura.+
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-Comprueba los resultados en la siguiente escena:+
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-<center>[http://maralboran.ath.cx/web_ma/descartes/1y2_eso/Volumenes_d3/VOLUMENES_3_1.html '''Shift-Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>+
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-* '''Elementos:'''{{p}}+
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-:<math>g\;\!</math>: generatriz.+
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-{{p}}+
-{{AI2|titulo=Actividad Interactiva: ''Volumen del cono''|cuerpo=+
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-|enunciado='''Actividad 1:''' Halla el volumen de un cono de 2 cm de radio y 3 cm de altura.+
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-Comprueba los resultados en la siguiente escena:+
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-<center>[http://maralboran.ath.cx/web_ma/descartes/1y2_eso/Volumenes_d3/VOLUMENES_4_2.html '''Shift-Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>+
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-Ahora mueve el deslizador de la parte superior y explica lo que ocurre y el porqué.+
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-===Cono truncado===+
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-* '''Volumen:'''{{p}}+
-{{Caja|contenido=<math>V=V_1-V_2\;\!</math>}}+
-|celda3={{p}}+
-* '''Elementos:'''{{p}}+
-:<math>A_l\;\!</math>: Área lateral.+
-:<math>h\;\!</math>: altura.+
-:<math>V_1\;\!</math>: Volumen del cono completo.+
-:<math>V_2\;\!</math>: Volumen del cono pequeño eliminado.+
-}}+
-{{p}}+
- +
-==Esfera==+
-{{Tabla3+
-|celda1=+
-<center>[[Imagen:esfera.jpg| 175 px]]</center>+
-|celda2={{p}}+
-* '''Área:'''{{p}}+
-{{Caja|contenido=<math>A=4 \pi r^2 \;\!</math>}}{{p}}+
-* '''Volumen:'''{{p}}+
-{{Caja|contenido=<math>V=\cfrac{4}{3} \cdot \pi r^3</math>}}+
-|celda3={{p}}+
-* '''Elementos:'''{{p}}+
-:<math>r\;\!</math>: radio.+
-}}+
-{{p}}+
- +
-{{AI2|titulo=Actividades Interactivas: ''Volumen de la esfera''|cuerpo=+
-{{ai_cuerpo+
-|enunciado='''Actividad 1:''' Halla el volumen de una esfera de 2,1 cm de radio.+
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-Comprueba los resultados en la siguiente escena:+
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-<center>[http://maralboran.ath.cx/web_ma/descartes/1y2_eso/Volumenes_d3/VOLUMENES_6_1.html '''Shift-Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>+
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-{{ai_cuerpo+
-|enunciado='''Actividad 2:''' ¿Qué relación existe entre el volumen de la esfera y los volúmenes del cilindro y del cono?+
-|actividad=+
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-En la siguiente escena modifica los valores del radio y observa los resultados:+
- +
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-<center>[http://maralboran.ath.cx/web_ma/descartes/1y2_eso/Volumenes_d3/VOLUMENES_6_2.html '''Shift-Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>+
- +
-En consecuencia:+
-Si llamamos+
- +
-*V_Cilindro= Volumen del cilindro de radio R y altura 2R+
-*V_Esfera= Volumen de la esfera de radio R.+
-*V_Cono= Volumen del cono de radio R y altura 2R.+
- +
-entonces:+
- +
-*<math>V_Esfera=2 \cdot V_Cono</math>+
-*<math>V_Cilindro=3 \cdot V_Cono</math>+
-*<math>V_Cilindro=V_Cono+V_Esfera</math>+
-}}+
-{{ai_cuerpo+
-|enunciado='''Actividad 3:''' Halla el volumen y la superficie de un balón de futbol.+
-|actividad=+
-[[Imagen:balon.jpg |left]]+
-'''Balón Fútbol Competición, MASTER T-5:'''{{p}}+
-Balón técnico para competición. Cubierta de cuero PU Cordley de 32 paneles cosidos. Fabricado bajo norma ISO9002 de acuerdo a las especificaciones FIFA. Sus cuatro capas de poliéster garantizan estabilidad y evitan la deformación del balón. Cámara de látex de doble laminado y válvula de Butyl automática.+
- +
-'''Datos técnicos:'''+
-*Peso: 425-435 gr.{{p}}+
-*Circunferencia: 68-70 cm +
-{{p}}+
- +
- +
-Con estos datos, calcula en tu cuaderno la superficie y el volumen y comprueba los resultados en la siguiente escena:+
- +
-<center><iframe>+
-url=http://maralboran.ath.cx/web_ma/descartes/1y2_eso/Volumenes_d3/VOLUMENES_6_3.html+
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-</iframe></center>+
-<center>[http://maralboran.ath.cx/web_ma/descartes/1y2_eso/Volumenes_d3/VOLUMENES_6_3.html '''Shift-Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>+
-}}+
- +
-}}+
{{p}} {{p}}
- +[[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Geometría]]
-==Ejercicios==+
-http://maralboran.ath.cx/web_ma/descartes/1y2_eso/Volumenes_d3/VOLUMENES_8.htm+

Revisión actual

Tabla de contenidos

[esconder]
[editar]

Prisma

http://universoformulas.com

  • Áreas:

A=A_l+2 \cdot A_b

A_l=P_b \cdot h

  • Volumen:

V=A_b \cdot h

  • Elementos:

A_b\;\!: Área de la base.
A_l\;\!: Área lateral.
P_b\;\!: Perímetro de la base.
h\;\!: altura.

[editar]

Ortoedro

Como sabemos, un ortoedro es un prisma recto de base rectangular o cuadrada.

Imagen:ortoedro.gif

  • Área:

A=2ab+2ac+2bc\;\!

  • Volumen:

V=a \cdot b \cdot c

  • Elementos:

a, \, b, \, c\;\!: aristas.

[editar]

Cubo

Un caso particular de ortoedro es el cubo cuyas caras son todas cuadradas.

Imagen:cubo2.gif

  • Área:

A=6a^2\;\!

  • Volumen:

V=a^3\;\!

  • Elementos:

a\;\!: arista.

[editar]

Pirámide

  • Área:

A=A_l+A_b \;\!

A_l=\;\! Suma áreas triángulos

  • Volumen:

V=\cfrac{1}{3} \cdot A_b \cdot h

  • Elementos:

A_b\;\!: Área de la base.
A_l\;\!: Área lateral.
h\;\!: altura.

ejercicio

Propiedad

Si tenemos un prisma y una pirámide con la misma base y la misma altura, entonces el volumen del prisma es igual a tres veces el volumen de la pirámide.

Relación entre el volumen de un prisma y una pirámide

http://mundogenial.com

[editar]

Pirámide truncada

Imagen:piramidetruncada.png

  • Área:

A=A_l+A_b+A_B \;\!

A_l=\;\! Suma áreas trapecios

  • Volumen:

V=V_B-V_b\;\!

  • Elementos:

A_b\;\!: Área de la base superior.
A_B\;\!: Área de la base inferior.
A_l\;\!: Área lateral.
h\;\!: altura.
V_b\;\!: Volumen de la pirámide pequeña de base b.
V_B\;\!: Volumen de la pirámide completa de base B.

[editar]

Cilindro

  • Área:

A=A_l+2 \cdot A_b

A_l=2 \pi rg\;\!

A_b=\pi r^2\;\!

  • Volumen:

V=A_b \cdot h

  • Elementos:

A_b\;\!: Área de la base.
A_l\;\!: Área lateral.
h\;\!: altura.
g\;\!: generatriz.
r\;\!: radio.
  • Nota::

g=h\;\!

[editar]

Cono

  • Área:

A=A_l+A_b \;\!

A_l=\pi rg\;\!

A_b=\pi r^2\;\!

  • Volumen:

V=\cfrac{1}{3} \cdot A_b \cdot h

  • Elementos:

A_b\;\!: Área de la base.
A_l\;\!: Área lateral.
h\;\!: altura.
g\;\!: generatriz.
r\;\!: radio.

[editar]

Cono truncado

Imagen:conotruncado.png

  • Área:

A=A_l+\pi r_1^2+\pi r_2^2 \;\!

A_l=\pi (r_1+r_2)g\;\!

  • Volumen:

V=V_1-V_2\;\!

  • Elementos:

A_l\;\!: Área lateral.
h\;\!: altura.
V_1\;\!: Volumen del cono completo.
V_2\;\!: Volumen del cono pequeño eliminado.

[editar]

Esfera

  • Área:

A=4 \pi r^2 \;\!

  • Volumen:

V=\cfrac{4}{3} \cdot \pi r^3

  • Elementos:

r\;\!: radio.

ejercicio

Teorema

El volumen de la esfera es igual a dos tercios del volumen del cilindro circunscrito a ella.

ejercicio

Corolario

El volumen de la semiesfera más el volumen de cono inscrito en ella es igual al volumen del cilindro circunscrito a ella.

V_{cilindro} = V_{semiesfera} + V_{cono}\;

==Ejercicios==

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