Radicales (1ºBach)

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-==Raíz n-ésima de un número==+{{Raíces}}
-(pág. 31)+
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-Se define '''raíz n-ésima''' <math>(n \in \mathbb{N},\ n>1)</math>de un número {{sube|porcentaje=+15%|contenido=<math>a \in \mathbb{R}</math>}} como otro número {{sube|porcentaje=+15%|contenido=<math>b \in \mathbb{R}</math>}} tal que {{sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>b^n =a\;\!</math>}} y que escribimos simbólicamente <math>b=\sqrt[n]{a}</math>.+
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-:Toda raíz se puede expresar como una potencia de la siguiente forma:{{p}}+
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-Basta con ver que se cumple la condición de la definición de raíz:+
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-==Raíces exactas e inexactas==+
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-Se llaman '''raíces exactas''' a aquellas que dan como resultado un número racional. En caso contrario diremos que son '''inexactas''' y el resultado será un número irracional.{{p}}+
-Para que una raíz sea exacta, al descomponer el radicando en factores primos, las potencias de éstos deben ser todas números divisibles por el índice. +
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-:Calcula las siguientes raíces cuando sean exactas:{{p}}+
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-'''a)''' Descomponemos <math>216=2^3 \cdot 3^3</math>.+
- +
-Como las potencias son divisibles por 3, la raíz es exacta. Para obtenerla, dividimos cada exponente entre el índice:+
- +
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- +
-Luego <math>\sqrt[3]{216}</math> es racional.+
-----+
-'''b)''' Descomponemos <math>\cfrac{256}{10000}=\cfrac {2^8}{10^4}</math>.+
- +
-Como las potencias son divisibles por 4, la raíz es exacta. Para obtenerla, dividimos cada exponente entre el índice:+
- +
-<center><math>\sqrt[4]{0.0256}=\sqrt[4]{\cfrac{256}{10000}}=\sqrt[4]{\cfrac {2^8}{10^4}}=\pm \cfrac {2^{\frac{8}{4}}}{10^{\frac{4}{4}}}=\pm \cfrac{2^2}{10^1}=\pm \cfrac{4}{10}=\pm 0'4</math></center>+
- +
-Luego <math>\sqrt[4]{0.0256}</math> es racional.+
-----+
-'''c)''' Descomponemos <math>192=2^6 \cdot 3\;\!</math>.+
- +
-El exponente de 3 es 1, que no es divisible por 3. Por tanto, la raíz no es exacta.+
- +
-Luego <math>\sqrt[3]{192}</math> es irracional. +
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-{{p}}+
-==Calculadora==+
-{{Raices Casio FX-100MS}}+
-{{p}}+
- +
=Radicales= =Radicales=
-==Radical==+{{Radicales (nivel básico)}}
-{{Caja_Amarilla|texto=El término '''radical''' se usa para referirse a expresiones del tipo <math>k \cdot \sqrt[n]{a}~,~k \in \mathbb{R}</math>}}+
-{{p}}+
- +
-==Propiedades de las operaciones con radicales==+
-(pág. 31-32)+
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-:'''1.''' <math>\sqrt[np]{a^p}=\sqrt[n]{a}</math>+
-:'''2.''' <math>\left ( \sqrt[n]{a}\right )^p=\sqrt[n]{a^p}</math>+
-:'''3.''' <math> \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a}</math>+
-:'''4.''' <math>\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a \cdot b}</math>+
-:'''5.''' <math>\cfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\cfrac{a}{b}}</math>+
-|demo=Para demostrar estas propiedades basta con expresar el radical como potencia de exponente fraccionario y aplicar sus propiedades.+
-}}+
-{{p}}+
-{{p}}+
-{{Ejemplo+
-|titulo=Ejercicios resueltos: ''Radicales. Propiedades'' (pág. 31.)+
-|enunciado=+
-:'''2.''' Simplificar: a) <math>\sqrt[12]{x^9}</math>,{{b4}}b) <math>\left ( \sqrt[3]{a^2} \right )^6</math>,{{b4}}c) <math>\sqrt{\sqrt[3]{a}}</math>,{{b4}}d) <math>\sqrt[3]{\sqrt{a}}</math>+
- +
-|sol=+
-:a) <math>\sqrt[12]{x^9}=\sqrt[4 \cdot 3]{x^{3 \cdot 3}}=\sqrt[4]{x^{3}}</math>, usando la propiedad nº 1 de las operaciones con radicales.+
-:b) <math>\left ( \sqrt[3]{a^2} \right )^6=\sqrt[3]{a^{12}}=a^{\frac{12}{3}}=a^4</math>, usando la propiedad nº 2 de las operaciones con radicales y transformando el radical en potencia de exponente fraccionario.+
-:c) <math>\sqrt{\sqrt[3]{a}}=\sqrt[2 \cdot 3]{a}=\sqrt[6]{a}</math>, usando la propiedad nº 3 de las operaciones con radicales.+
-:d) <math>\sqrt[3]{\sqrt{a}}=\sqrt[3 \cdot 2]{a}=\sqrt[6]{a}</math>, usando la propiedad nº 3 de las operaciones con radicales.+
- +
-}}+
-{{p}}+
- +
-==Suma y resta de radicales con el mismo índice y radicando==+
-{{Caja_Amarilla|texto=+
-Para sumar y restar radicales, éstos deben tener el mismo radicando y el mismo índice.+
-{{p}}+
-{{Desplegable|titulo=Ejemplos:{{b}}|contenido=+
-#<math>3\sqrt{5}-\sqrt{5}+5\sqrt{5}=(3-1+5)\sqrt{5}=7\sqrt{5}</math>+
-#<math>3\sqrt{2}-\sqrt{3}=</math> (No se puede simplificar)+
-#<math>3\sqrt[3]{2}+\sqrt{2}=</math> (No se puede simplificar)+
-}}+
-}}+
-{{p}}+
{{Radicales (ampliación)}} {{Radicales (ampliación)}}
[[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Números]] [[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Números]]

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Tabla de contenidos

Raíz n-ésima de un número

La raíz n-ésima (n \in \mathbb{N},\ n>1)de un número a \; es otro número b \; tal que b^n =a\;\! y que escribimos simbólicamente b=\sqrt[n]{a}.

\sqrt[n]{a}=b \iff b^n =a

El número a\;\! se llama radicando, el número n\;\! índice y b\;\! la raíz.

nota
Nomenclatura:

Si el índice es 2 las llamaremos raíces cuadradas; si el índice es 3, raíces cúbicas; si es 5, 6, ..., raíces cuartas, quintas, ....

ejercicio
Ejemplo

\sqrt[5]{32}=2\;     porque      2^5 =32\;.

Es una raíz quinta porque el índice es 5, su radicando es 32 y la raíz es 2.

Propiedades de las raíces

ejercicio

Propiedades

  • \sqrt[n]{1}=1  ;  \sqrt[n]{0}=0 , para cualquier valor del índice n\;\!.
  • Si a>0\;\!, \sqrt[n]{a} existe cualquiera que sea el índice n\;\!.
  • Si a<0\;\!, \sqrt[n]{a} sólo existe si el índice n\;\! es impar.
  • Si el índice n\;\! es par y el radicando a>0\;\!, la raíz tiene dos soluciones: una positiva y otra negativa, pero iguales en valor absoluto.
  • Si el índice n\;\! es impar, siempre tiene una única solución, que tiene el mismo signo que el radicando a\;\!.

ejercicio
Ejemplos
  • \sqrt[3]{1}=1.
  • \sqrt[5]{0}=0.
  • \sqrt[4]{16}=\pm 2 porque (\pm 2)^4=16\;\!.
  • \sqrt[3]{64}=4 porque 4^3=64\;\!.
  • \sqrt[3]{-8}=-2 porque (-2)^3=-8\;\!.
  • \sqrt[4]{-8}= no \ existe porque ningún número elevado a 4 puede dar negativo (-8).

video
La raíz n-ésima
Tutorial 1 (9´53")     Sinopsis:

Tutorial que explica la definición de raíz (radical) realizando el cálculo de alguna raíces exactas de números racionales (enteros y decimales).

Tutorial 2a (6´38")     Sinopsis:

Raíz n-ésmina de un número. Ejemplos sencillos.

Tutorial 2b (6´38")     Sinopsis:

Raíz n-ésmina de un número. Ejemplos más complejos.

Tutorial 3 (4´54")     Sinopsis:

Raíz n-ésmina de un número. Ejemplos sencillos.

Tutorial 4 (32´48")     Sinopsis:
  • Raíces de un número entero.
  • Raíces cuadradas y cúbicas.
  • Partes de una raíz.
  • Raíces de números positivo, negativos y del cero.
  • Raíz exacta y raíz entera.
  • Calculo manual de raíces cuadradas.
  • Los radicales.
  • Extracción de factores de un radical.
Ejercicio 1a (30´30")     Sinopsis:

1) Completa:

1a) Como \ \ 6^2=36 \ \ y \ \ (-6)^2 =36 \rightarrow \sqrt{36}= ...
1b) Como \ \ 7^2=49 \ \ y \ \ (-7)^2 =49 \rightarrow \sqrt{49}= ...
1c) Como \ \ 9^2=81 \ \ y \ \ (-9)^2 =81 \rightarrow \sqrt{81}= ...
1d) Como \ \ 3^2=9 \ \ y \ \ (-3)^2 =9 \rightarrow \sqrt{9}= ...

2) Completa:

2a) Como \ \ 6^3=216 \rightarrow \sqrt[3]{216}= ...
2b) Como \ \ (-6)^3=-216 \rightarrow \sqrt[3]{-216}= ...
2c) Como \ \ 5^3=125 \rightarrow \sqrt[3]{125}= ...
2d) Como \ \ (-5)^3=-125 \rightarrow \sqrt[3]{-125}= ...
2e) Como \ \ 7^3=343 \rightarrow \sqrt[3]{343}= ...
2f) Como \ \ (-7)^3=-343 \rightarrow \sqrt[3]{-343}= ...

3) Completa:

3a) Como \ \ 6^4=216 \ \ y \ \ (-6)^4 =216 \rightarrow \sqrt[4]{216}= ...
3b) Como \ \ 2^5=32 \ \ y \ \ (-2)^5 =32 \rightarrow \sqrt[5]{32}= ... \ \ y \ \ \sqrt[5]{-32}= ...
3c) Como \ \ 3^6=729 \ \ y \ \ (-3)^6 =729 \rightarrow \sqrt[6]{729}= ...
3d) Como \ \ 2^7=128 \ \ y \ \ (-2)^7 =-128 \rightarrow \sqrt[7]{128}= ... \ \ y \ \ \sqrt[7]{-128}= ...
3e) Como \ \ 3^8=6561 \ \ y \ \ (-3)^8 =6561 \rightarrow \sqrt[8]{6561}= ...
3f) Como \ \ 2^9=512 \ \ y \ \ (-2)^9 =-512 \rightarrow \sqrt[9]{512}= ... \ \ y \ \ \sqrt[9]{-512}= ...
3g) Como \ \ 2^{10}=1024 \ \ y \ \ (-2)^{10} =1024 \rightarrow \sqrt[10]{1024}= ...

4) Contesta:

4a) ¿Hay algún número que elevado al cuadrado dé -25? ¿Existe \sqrt{-25}\;?
4b) ¿Hay algún número que elevado al cuadrado dé -36? ¿Existe \sqrt{-36}\;?
4c) ¿hay algún número que elevado al cuadrado dé un número negativo?
4d) ¿Hay algún número que elevado al cubo dé -27? ¿Existe \sqrt[3]{-27}\;?
4e) ¿Hay algún número que elevado al cubo dé -64? ¿Existe \sqrt[3]{-64}\;?
4f) ¿hay algún número que elevado al cubo dé un número negativo?
4g) ¿Hay algún número que elevado a la cuarta dé -81? ¿Existe \sqrt[4]{-81}\;?
4h) ¿Hay algún número que elevado a la quinta dé -243? ¿Existe \sqrt[5]{-243}\;?
4i) ¿De qué depende que exista una raíz de radicando negativo?

5) Calcula:

5a) \sqrt{1}\; ;     \sqrt{-1}\;
5b) \sqrt{4}\; ;     \sqrt{-4}\;
5c) \sqrt{9}\; ;     \sqrt{-9}\;
5d) \sqrt{16}\; ;     \sqrt{-16}\;
5e) \sqrt{25}\; ;     \sqrt{-25}\;
5f) \sqrt{36}\; ;     \sqrt{-36}\;
5g) \sqrt{49}\; ;     \sqrt{-49}\;
5h) \sqrt{64}\; ;     \sqrt{-64}\;
5i) \sqrt{81}\; ;     \sqrt{-81}\;
5j) \sqrt{100}\; ;     \sqrt{-10}\;

6) Calcula:

6a) \sqrt[3]{1}\; ;     \sqrt[3]{-1}\;
6b) \sqrt[3]{8}\; ;     \sqrt[3]{-8}\;
6c) \sqrt[3]{27}\; ;     \sqrt[3]{-27}\;
6d) \sqrt[3]{64}\; ;     \sqrt[3]{-64}\;
6e) \sqrt[3]{125}\; ;     \sqrt[3]{-125}\;

6) Calcula:

7a) \sqrt[4]{1}\; ;     \sqrt[4]{-1}\;
7b) \sqrt[5]{32}\; ;     \sqrt[5]{-32}\;
7c) \sqrt[6]{729}\; ;     \sqrt[6]{-729}\;
7d) \sqrt[7]{128}\; ;     \sqrt[7]{-128}\;
Ejercicio 1b (28´06")     Sinopsis:

8) Indica, en cada caso, la raíz, el índice y el radicando:

8a) \sqrt{25}\;
8b) \sqrt[3]{-64}\;
8c) \sqrt[4]{81}\;

9) Completa:

9a) \sqrt{4}=... \ \ porque \ \ ... = 4\;
9b) \sqrt{9}=... \ \ porque \ \ ... = 4\;
9c) \sqrt[3]{-8}=... \ \ porque \ \ ... = 4\;
9d) \sqrt[3]{8}=... \ \ porque \ \ ... = 4\;
9e) \sqrt[4]{16}=... \ \ porque \ \ ... = 4\;
9f) \sqrt[5]{32}=... \ \ porque \ \ ... = 4\;
9g) \sqrt[5]{-32}=... \ \ porque \ \ ... = 4\;
9f) \sqrt[6]{1}=... \ \ porque \ \ ... = 4\;

10) Calcula las raíces enteras por exceso y por defecto:

10a) \sqrt{14}\; ;      \sqrt[3]{14}\;
10b) \sqrt{20}\; ;      \sqrt[3]{20}\;
10c) \sqrt{39}\; ;      \sqrt[3]{39}\;

11) Calcula a mano las siguientes raíces:

11a) \sqrt{4069}\;
11b) \sqrt{8315}\;
Ejercicio 1c (31´57")     Sinopsis:

11) Calcula a mano las siguientes raíces:

11c) \sqrt{49625}\;
11d) \sqrt{987654}\;
11e) \sqrt{448056}\;
11f) \sqrt{865432}\;

La raíz n-ésima     Descripción:

Actividades para que aprendas a calcular la raíz n-ésima de un número entero.

La raíz como potencia de exponente fraccionario

ejercicio

Proposición: La raíz como potencia de exponente fraccionario

Toda raíz se puede expresar como una potencia de la siguiente forma:

\sqrt[n]{a^m}=a^\frac{m}{n}

Demostración:

Basta con ver que se cumple la condición de la definición de raíz:

(a^\frac{m}{n})^n=a^{\frac{m}{n} \cdot n}=a^m

ejercicio
Ejemplos: 

Pulsa el botón "Ejemplo" para ver distintos ejemplos y anótalos en tu cuaderno:

ejercicio

Ejemplo: La raíz como potencia de exponente fraccionario

Escribe las siguientes raíces como potencias de exponente fraccionario y calcula su valor:

a)\ \sqrt[3] {125^4} \quad b)\ \sqrt {100^{-3}}
Solución:

a) 125^\frac{4}{3} = (5^3)^\frac{4}{3} = (5)^\frac{12}{3} = 5^4 = 625

b) 100^{-\frac{3}{2}} = (10^2)^{-\frac{3}{2}} = 10^{-\frac{6}{2}} = \pm 10^{-3} = \pm \cfrac{1}{1000} (por ser el índice par tiene dos soluciones de signos opuestos)

video
Potencias de exponente fraccionario
Tutorial 1 (5'29")     Sinopsis:

Potencia de exponente fraccionario. Ejemplos.

Tutorial 2 (5´32")     Sinopsis:

Potencia de exponente fraccionario. Ejemplos.

Tutorial 3 (7´34")     Sinopsis:

Potencia de exponente fraccionario. Ejemplos.

Ejercicio 1 (7´43")     Sinopsis:

Expresa como potencia de exponente fraccionario:

a) \sqrt[5]{b^9}
b) \sqrt[6]{g^5}
c) \cfrac{1}{\sqrt[7]{x}}
Ejercicio 2 (4´08")     Sinopsis:

Averigua el valor de a:

3^a=\sqrt[5]{3^2}
Ejercicio 3 (3´59")     Sinopsis:

Averigua el valor de k:

\cfrac{m^{\frac{7}{9}}}{m^{\frac{1}{3}}}=m^{\frac{k}{9}} \ \ (m>0)
Ejercicio 4 (7´33")     Sinopsis:

Simplifica:

\left(r^{\frac{2}{3}} s^3\right)^2 \cdot \sqrt{20\,r^4s^5}

video
Potencias de exponente fraccionario
Autoevaluación 1a     Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre potencias de exponente fraccionario.

Autoevaluación 1b     Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre potencias de exponente fraccionario.

Autoevaluación 1c     Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre potencias de exponente fraccionario.

Autoevaluación 1d     Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre potencias de exponente fraccionario.

Autoevaluación 1e     Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre potencias de exponente fraccionario.

Autoevaluación 2     Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre potencias de exponente fraccionario.

wolfram
Potencias de exponente fraccionario
wolfram

Actividad: Potencias de exponente fraccionario

Calcula:

a) 16^\frac{3}{4}
b) 27^\frac{2}{3}
c) 8^{-\frac{2}{3}}

Solución:
Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) 16^(3/4)

b) 27^(2/3)

c) 8^(-2/3)

ejercicio

Propiedades de las potencias de exponente fraccionario

Las potencias con exponente fraccionario tienen las mismas propiedades que con exponente natural o entero.

video
Propiedades de las potencias de exponente fraccionario
Ejercicio 1 (9'35")     Sinopsis:

Calcula:

a) 64^{\frac{1}{3}}
b) 64^{\frac{2}{3}}
c) \left(\cfrac{8}{27}\right)^{-\frac{2}{3}}
Ejercicio 2 (3'03")     Sinopsis:

Calcula:

a) 9^{\frac{1}{2}}
b) 9^{-\frac{1}{2}}
c) (-27)^{-\frac{1}{3}}
Ejercicio 3 (5'40")     Sinopsis:

Calcula:

a) \left(\cfrac{25}{9}\right)^{\frac{1}{2}}
b) \left(\cfrac{81}{256}\right)^{-\frac{1}{4}}
Ejercicio 4 (5'36")     Sinopsis:

Calcula:

\cfrac{256^{\frac{4}{7}}}{2^{\frac{4}{7}}}
Ejercicio 5 (2'50")     Sinopsis:

Simplifica:

6^{\frac{1}{2}} \cdot \left(\sqrt[5]{6}\right)^3

video
Propiedades de las potencias de exponente fraccionario
Actividad     Descripción:

Actividades para que aprendas a operar con raíces expresadas en forma de potencias de exponente fraccionario y a utilizar sus propiedades.

Autoevaluación     Descripción:

Simplifica expresiones radicales

Raíces exactas e inexactas

Se llaman raíces exactas de un número a aquellas que dan como resultado un número racional. En caso contrario diremos que son inexactas y el resultado será un número irracional.

ejercicio

Raíces exactas e inexactas

Para que una raíz sea exacta, al descomponer el radicando en factores primos, los exponentes de éstos deben ser todos divisibles por el índice de la raíz.

ejercicio

Ejemplo: Raíces exactas e inexactas

Calcula las siguientes raíces cuando sean exactas:

a) \sqrt[3]{216} \quad b) \sqrt[4]{0.0256}\quad c) \sqrt[3]{192}
Solución:

a) Descomponemos 216=2^3 \cdot 3^3.

Como las potencias son divisibles por 3, la raíz es exacta. Para obtenerla, la regla práctica consiste en dividir cada exponente entre el índice. A continuación se explica el porqué de forma detallada:

\sqrt[3]{216}=\sqrt[3]{2^3 \cdot 3^3}=(2^3 \cdot 3^3)^{\frac{1}{3}}=2^{\frac{3}{3}} \cdot 3^{\frac{3}{3}}=2^1 \cdot 3^1=6

Luego \sqrt[3]{216} es racional.

b) Descomponemos \cfrac{256}{10000}=\cfrac {2^8}{10^4}.

Como las potencias son divisibles por 4, la raíz es exacta. Para obtenerla, dividimos cada exponente entre el índice:

\sqrt[4]{0.0256}=\sqrt[4]{\cfrac{256}{10000}}=\sqrt[4]{\cfrac {2^8}{10^4}}=\cfrac {2^{\frac{8}{4}}}{10^{\frac{4}{4}}}=\pm \cfrac{2^2}{10^1}=\pm \cfrac{4}{10}=\pm 0'4

Luego \sqrt[4]{0.0256} es racional.

c) Descomponemos 192=2^6 \cdot 3\;\!.

El exponente de 3 es 1, que no es divisible por 3. Por tanto, la raíz no es exacta.

Luego \sqrt[3]{192} es irracional.

video
Raíces exactas e inexactas
Tutorial (6´29")     Sinopsis:

Tutorial que explica las raíces exactas e inexactas y pone ejemplos de ambas.

Raíces exactas:

Ejercicio 1 (6´59")     Sinopsis:

Calcula:

a) \sqrt[4]{16}
b) \sqrt[5]{-243}
Ejercicio 2 (7´24")     Sinopsis:

Calcula:

a) \sqrt[6]{64}
b) \sqrt[3]{-216}
Ejercicio 3 (8´18")     Sinopsis:

Calcula:

a) \sqrt{144}
b) \sqrt{2304}

Raíces de fracciones

video
Raíces de fracciones
Tutorial 1a: Cálculo (7'09")     Sinopsis:

Cómo se calculan las raíces de fracciones. Ejemplos.

Tutorial 1b: Suma y resta (4'59")     Sinopsis:

Cómo se suman y restan las raíces de fracciones. Ejemplos.

Tutorial 1c: Multiplicación (3'05")     Sinopsis:

Cómo se multiplican raíces de fracciones. Ejemplos.

Tutorial 1d: División (3'55")     Sinopsis:

Cómo se dividen raíces de fracciones. Ejemplos.

Tutorial 1e: Potencia (3'14")     Sinopsis:

Cómo se calculan las potencias de raíces de fracciones. Ejemplos.

Tutorial 1e: Raíz (0'59")     Sinopsis:

Cómo se calculan las raíces de raíces de fracciones. Ejemplos.

Ejercicio 1 (9'08")     Sinopsis:

Suma y resta de raíces de fracciones:

1) 30\sqrt{\cfrac{2}{5}}+7\sqrt{\cfrac{2}{5}}-3\sqrt{\cfrac{2}{5}}
2) -2\sqrt{\cfrac{3}{2}}-3\sqrt{\cfrac{3}{2}}+\sqrt{\cfrac{3}{2}}
3) \sqrt{\cfrac{1}{4}}+3\sqrt{\cfrac{1}{4}}-\sqrt{\cfrac{1}{4}}
4) -\cfrac{1}{2}\sqrt[3]{\cfrac{-2}{3}}+\sqrt[3]{\cfrac{-2}{3}}-\cfrac{1}{4}\sqrt[3]{\cfrac{-2}{3}}
5) -8\sqrt[3]{\cfrac{-3}{5}}+\cfrac{3}{2}\sqrt[3]{\cfrac{-3}{5}}-\cfrac{1}{4}\sqrt[3]{\cfrac{-3}{5}}
Ejercicio 2 (8'51")     Sinopsis:

Suma y resta de raíces de fracciones:

6) \sqrt[3]{\cfrac{-2}{3}}-\cfrac{1}{2}\sqrt[3]{\cfrac{-2}{3}}+2\sqrt[3]{\cfrac{-2}{3}}
7) \sqrt[8]{\cfrac{9}{4}}+12\sqrt[8]{\cfrac{9}{4}}-\cfrac{1}{4}\sqrt[8]{\cfrac{9}{4}}
8) \cfrac{-1}{3}\sqrt[11]{\cfrac{-3}{7}}+\cfrac{1}{9}\sqrt[11]{\cfrac{-3}{7}}-\cfrac{2}{3}\sqrt[11]{\cfrac{-3}{7}}
9) -\sqrt[5]{\cfrac{5}{3}}-\cfrac{5}{2}\sqrt[5]{\cfrac{5}{3}}-\cfrac{1}{4}\sqrt[5]{\cfrac{5}{3}}
Ejercicio 3 (15'58")     Sinopsis:

Multiplicaciones de raíces de fracciones:

10) 2\sqrt{\cfrac{3}{5}} \cdot 3\sqrt{\cfrac{5}{4}}
11) 3\sqrt{\cfrac{5}{2}} \cdot 2\sqrt{\cfrac{4}{15}}
12) 3\sqrt{\cfrac{2}{9}} \cdot 5\sqrt{\cfrac{3}{4}}
13) \cfrac{5}{3}\sqrt{\cfrac{3}{2}} \cdot \cfrac{3}{2}\sqrt{\cfrac{4}{9}}
Ejercicio 4 (12'15")     Sinopsis:

Multiplicaciones de raíces de fracciones:

14) \cfrac{3}{4}\sqrt{\cfrac{2}{7}} \cdot (-\cfrac{2}{5})\sqrt{\cfrac{21}{6}}
15) \cfrac{2}{3}\sqrt{\cfrac{2}{6}} \cdot (\cfrac{-3}{5})\sqrt{\cfrac{3}{2}} \cdot \cfrac{10}{3}\sqrt{\cfrac{5}{2}}
16) -\cfrac{3}{7}\sqrt{\cfrac{4}{3}} \cdot (-\sqrt{\cfrac{9}{2}}) \cdot \cfrac{14}{3} \sqrt{\cfrac{1}{2}}
Ejercicio 5 (14'14")     Sinopsis:

Multiplicaciones de raíces de fracciones:

17) \cfrac{4}{3}\sqrt{\cfrac{1}{3}} \cdot (-\cfrac{9}{2}\sqrt{\cfrac{5}{3}}) \cdot (-\cfrac{5}{3})\sqrt{\cfrac{3}{5}}
18) \cfrac{-7}{4}\sqrt{\cfrac{5}{2}} \cdot (-\cfrac{1}{7}\sqrt{\cfrac{3}{10}}) \cdot \sqrt{\cfrac{2}{3}}
19) 2\sqrt[3]{\cfrac{2}{5}} \cdot 3\sqrt[3]{\cfrac{4}{25}}
20) \sqrt[3]{\cfrac{9}{2}} \cdot \cfrac{5}{6}\sqrt[3]{\cfrac{2}{125}}
Ejercicio 6 (13'11")     Sinopsis:

Multiplicaciones de raíces de fracciones:

21) \cfrac{-2}{5}\sqrt[3]{\cfrac{-1}{3}} \cdot 5\sqrt[3]{\cfrac{-1}{9}}
22) 2\sqrt[3]{\cfrac{7}{3}} \cdot \cfrac{1}{4}\sqrt[3]{\cfrac{9}{14}}
23) 8\sqrt[3]{\cfrac{3}{7}} \cdot \sqrt[3]{\cfrac{-7}{9}} \cdot \sqrt[3]{\cfrac{-7}{2}}
Ejercicio 7 (14'56")     Sinopsis:

Multiplicaciones de raíces de fracciones:

24) 3\sqrt[3]{\cfrac{9}{4}} \cdot \left( -\cfrac{1}{2}\sqrt[3]{\cfrac{3}{2}} \right) \cdot \cfrac{2}{5}\sqrt[3]{125}
25) \cfrac{4}{3}\sqrt[4]{\cfrac{3}{7}} \cdot 3\sqrt[4]{\cfrac{16}{3}}
26) \cfrac{1}{3}\sqrt[8]{\cfrac{1}{4}} \cdot \left( -\cfrac{9}{2}\sqrt[8]{\cfrac{2}{3}} \right) \cdot 4\sqrt[8]{\cfrac{3}{5}}
Ejercicio 8 (11'07")     Sinopsis:

División de raíces de fracciones:

27) \sqrt{\cfrac{14}{3}} : \sqrt{\cfrac{7}{9}}
28) \left( \cfrac{1}{5}\sqrt{\cfrac{30}{7}} \right): \left( -\cfrac{5}{3}\sqrt{\cfrac{3}{14}} \right)
29) \left( -\cfrac{10}{9}\sqrt{\cfrac{12}{5}} \right): \left( \cfrac{5}{3}\sqrt{\cfrac{3}{10}} \right)
30) \left( -\cfrac{2}{3}\sqrt[3]{\cfrac{14}{5}} \right): \left( \cfrac{14}{12}\sqrt[3]{\cfrac{7}{10}} \right)
Ejercicio 9 (12'40")     Sinopsis:

División de raíces de fracciones:

31) \left( \cfrac{9}{2}\sqrt[3]{\cfrac{14}{9}} \right) : \left( \sqrt[3]{\cfrac{-7}{3}} \right)
32) \left( \cfrac{12}{5}\sqrt[3]{\cfrac{18}{3}} \right): \left( -\cfrac{6}{5}\sqrt[3]{\cfrac{-9}{2}} \right)
Ejercicio 10 (13'21")     Sinopsis:

División de raíces de fracciones:

33) \left( -\cfrac{10}{3}\sqrt[4]{\cfrac{15}{49}} \right) : \left( \cfrac{5}{27}\sqrt[4]{\cfrac{49}{125}} \right)
34) \left( -\cfrac{10}{4}\sqrt[5]{\cfrac{15}{7}} \right): \left( \cfrac{5}{6}\sqrt[5]{\cfrac{5}{14}} \right)
35) \cfrac{\cfrac{6}{5}\sqrt{\cfrac{12}{5}}}{-\cfrac{3}{15}\sqrt{\cfrac{2}{25}}}
Ejercicio 11 (16'36")     Sinopsis:

División de raíces de fracciones:

36) \cfrac{\cfrac{2}{5}\sqrt{\cfrac{7}{3}}}{\cfrac{4}{15}\sqrt{\cfrac{21}{4}}}
37) \cfrac{-\cfrac{10}{7}\sqrt[3]{\cfrac{15}{4}}}{5\sqrt[3]{\cfrac{8}{9}}}
38) \cfrac{-\cfrac{10}{6}\sqrt[3]{\cfrac{15}{4}}}{\cfrac{5}{3}\sqrt[3]{\cfrac{2}{25}}}
Ejercicio 12 (16'36")     Sinopsis:

Potencias de raíces de fracciones:

39) \sqrt{\cfrac{1}{2}} \cdot \sqrt{\cfrac{1}{2}}
40) \sqrt[3]{\cfrac{-1}{5}} \cdot \sqrt[3]{\cfrac{-1}{5}} \cdot \sqrt[3]{\cfrac{-1}{5}}
41) \sqrt[3]{\cfrac{2}{3}} \cdot \sqrt[3]{\cfrac{2}{3}} \cdot \sqrt[3]{\cfrac{2}{3}}
42) \sqrt[4]{\cfrac{3}{5}} \cdot \sqrt[4]{\cfrac{3}{5}} \cdot \sqrt[4]{\cfrac{3}{5}} \cdot \sqrt[4]{\cfrac{3}{5}}
43) \sqrt[6]{\cfrac{3}{2}} \cdot \sqrt[6]{\cfrac{3}{2}} \cdot \sqrt[6]{\cfrac{3}{2}} \cdot \sqrt[6]{\cfrac{3}{2}} \cdot \sqrt[6]{\cfrac{3}{2}}
Ejercicio 13 (8'01")     Sinopsis:

Convierte en potencias de exponente fraccionario:

44) \left( \sqrt{\cfrac{7}{2}} \right)^5 ;      45) \left( \sqrt{\cfrac{5}{3}} \right)^3 ;      46) \left( \sqrt{\cfrac{25}{4}} \right)^8
47) \left( \sqrt{\cfrac{18}{7}} \right)^4 ;      48) \left( \sqrt{\cfrac{100}{7}} \right)^6 ;      49) \left( \sqrt[3]{\cfrac{7}{3}} \right)^6
50) \left( \sqrt[3]{\cfrac{5}{2}} \right)^9 ;      51) \left( \sqrt[4]{\cfrac{7}{4}} \right)^8 ;      52) \left( \sqrt[6]{\cfrac{21}{5}} \right)^{12}
53) \left( \sqrt[21]{\cfrac{12}{5}} \right)^{14}
Ejercicio 14 (5'05")     Sinopsis:

Convierte la potencia en raíz:

54) \left( \cfrac{2}{3} \right)^{\cfrac{1}{3}} ;      55) \left( \cfrac{3}{4} \right)^{-\cfrac{1}{2}} ;      56) \left( \cfrac{2}{3} \right)^{\cfrac{2}{3}}
57) \left( \cfrac{4}{7} \right)^{\cfrac{5}{3}} ;      58) \left( \cfrac{9}{2} \right)^{\cfrac{10}{3}}  ;      59) \left( \cfrac{12}{5} \right)^{-\cfrac{9}{2}}
Ejercicio 15 (3'59")     Sinopsis:

Raíces de una raíz de una fracción:

60) \sqrt{\sqrt{\cfrac{7}{4}}} ;      61) \sqrt{\sqrt{\cfrac{3}{5}}} ;      62) \sqrt{\sqrt{\cfrac{7}{4}}}
63) \sqrt[3]{\sqrt{\cfrac{2}{5}}} ;      64) \sqrt[3]{\sqrt[3]{\cfrac{25}{4}}} ;      65) \sqrt{\sqrt[3]{64}}
66) \sqrt[4]{\sqrt[3]{\cfrac{2}{7}}} ;      67) \sqrt[3]{\sqrt{\cfrac{12}{5}}}

Calculadora

wolfram
Raíces
wolfram

Actividad: Raíces

Calcula:

a) \sqrt {0.0001}
b) \sqrt[3] {-512}
c) \sqrt[4] {16}

Solución:
Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:
a) sqrt(0.0001)
b) cubic root (-512)
c) 4th root (16)

Raíz cuadrada

Calculadora

Calculadora: Raíz cuadrada

Para calcular raíces cuadradas usaremos la tecla Raíz cuadrada.

Ejemplo:
  • Operación: \sqrt {16}


  • Procedimiento: Raíz cuadrada 16\;\! Obtener resultado


  • Solución: 4\;\!
ejercicio
Advertencia:

Ten cuidado, si trabajas con números enteros, porque la calculadora sólo da una de las dos soluciones posibles, la positiva.

Raíz cúbica

Calculadora

Calculadora: Raíz cúbica

Para calcular raíces cúbicas usaremos la tecla Raíz cúbica.

Ejemplo:
  • Operación: \sqrt [3] {8}


  • Procedimiento: Shift Raíz cúbica 8\;\! Obtener resultado


  • Solución: 2\;\!

Otras raíces

Calculadora

Calculadora: Otras raíces

Para calcular la raíz cuarta, quinta, etc., usaremos la tecla Raíz de índice x.

Ejemplo:
  • Operación: \sqrt [4]{81}


  • Procedimiento: 4\;\! Shift Raíz de índice x 81\;\! Obtener resultado


  • Solución: 3\;\!

Radicales

Radical

  • Un radical es cualquier expresión del tipo:

k \cdot \sqrt[n]{a}~,~k \in \mathbb{R}
  • Si dos radicales tienen el mismo índice diremos que son homogéneos.
  • Si dos radicales tienen el mismo índice y el mismo radicando diremos que son semejantes.

ejercicio
Ejemplos: 
  • Son radicales homogéneos: 3\sqrt{2} \ , \ -\sqrt{10} \ , \ \cfrac{2}{3}\sqrt{7}
  • Son radicales semejantes: 3\sqrt[3]{2} \ , \ -\sqrt[3]{2} \ , \ \cfrac{2}{3}\sqrt[3]{2}

Radicales (3´14")     Sinopsis:

Radicales: homogéneos y semejantes. Ejemplos.

Radicales equivalentes

Dos o más radicales son equivalentes si se pueden poner como potencias de exponente fraccionario con la misma base y cuyos exponentes sean fracciones equivalentes.

video
Radicales equivalentes
Actividad     Descripción:

Actividades en las que podrás aprender lo que son radicales equivalentes y cómo obtener radicales equivalentes con un índice superior (amplificación) o inferior (simplificación)

Autoevaluación     Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre radicales equivalentes.

Reducción de radicales a índice común

La amplificación y simplificación de radicales nos va a permitir reducir radicales a índice común realizando el mínimo común múltiplo de los índice al igual que para reducir fracciones a común denominador se hacía el m.c.m. de los denominadores. No olvidemos que índice y denominador del exponente es lo mismo.

Reducción de radicales a índice común (4'47")     Sinopsis:

Reducción de radicales a índice común. Ejemplos.

Autoevaluación: Reducción de radicales a índice común     Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre reducción de radicales a índice común.

Ordenación de radicales

La reducción de radicales a índice común nos va a permitir ordenar cómodamente varios radicales:

Ordenación de radicales (4'53")     Sinopsis:

Ordenación de radicales. Ejemplos.

Operaciones con radicales

Propiedades de las operaciones con radicales

ejercicio

Propiedades de las operaciones con radicales

1. \sqrt[np]{a^p}=\sqrt[n]{a}

2. \left ( \sqrt[n]{a}\right )^p=\sqrt[n]{a^p}

3. \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a}

4. \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a \cdot b}

5. \cfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\cfrac{a}{b}}

Demostración:
Para demostrar estas propiedades basta con expresar el radical como potencia de exponente fraccionario y aplicar sus propiedades.

ejercicio

Ejercicios resueltos: Radicales. Propiedades

Simplificar: a) \sqrt[12]{x^9},    b) \left ( \sqrt[3]{a^2} \right )^6,    c) \sqrt{\sqrt[3]{a}},    d) \sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[3]{9},    e) \sqrt{12} : \sqrt{3}

Solución:

a) \sqrt[12]{x^9}=\sqrt[4 \cdot 3]{x^{3 \cdot 3}}=\sqrt[4]{x^{3}}, usando la propiedad nº 1.

b) \left ( \sqrt[3]{a^2} \right )^6=\sqrt[3]{a^{12}}=a^{\frac{12}{3}}=a^4, usando la propiedad nº 2 y transformando el radical en potencia de exponente fraccionario.

c) \sqrt{\sqrt[3]{a}}=\sqrt[2 \cdot 3]{a}=\sqrt[6]{a}, usando la propiedad nº 3.

d) \sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[3]{9}= \sqrt[3]{3 \cdot 9} =\sqrt[3]{27}=3, usando la propiedad nº 4.

e) \sqrt{12} : \sqrt{3}=\sqrt{12:3}=\sqrt{4}=\pm 2, usando la propiedad nº 5.

Propiedades de las operaciones con radicales     Descripción:

Actividades en las que podrás aprender las propiedades de las operaciones con radicales del mismo índice.

video
Propiedades de las operaciones con radicales
Tutorial 1 (23'07")     Sinopsis:

Tutorial que explica las propiedades básicas de los radicales, con ejemplos resueltos.

Tutorial 2 (6'46")     Sinopsis:

Propiedades de las operaciones con radicales. Ejemplos.

Tutorial 3 (10'19")     Sinopsis:

Propiedades de las operaciones con radicales. Ejemplos.

Tutorial 3a (7'18")     Sinopsis:

Propiedades de las operaciones con radicales. Ejemplos.

Tutorial 3b (4'27")     Sinopsis:

Propiedades de las operaciones con radicales. Ejemplos.

Ejemplos (6'28")     Sinopsis:

Ejemplos sencillos de aplicación de las propiedades de las operaciones con radicales.

Ejercicio 1 (3'07")     Sinopsis:

Simplifica: (3\sqrt {xy}) \cdot (-2\sqrt {x^2y}) \cdot (-3\sqrt {xy^4})

Ejercicio 2 (2'43")     Sinopsis:

Simplifica: (-8\sqrt[3] {x^{10}y^2}) : (-4\sqrt[3] {xy^{11}})

Ejercicio 3 (2´21")     Sinopsis:

Calcula: \sqrt[4]{\cfrac{81}{16}}

Ejercicio 4 (6´31")     Sinopsis:

Calcula:

1) \sqrt{\cfrac{64}{49}}        2) \sqrt[4]{\cfrac{1}{81}}        3) \sqrt[3]{\cfrac{-27~~}{125}}        4) \sqrt[5]{\cfrac{-32~~}{243}}

Suma y resta de radicales semejantes

Para sumar y restar radicales, éstos deben ser semejantes, es decir, tener el mismo radicando y el mismo índice. En tal caso el radical el radical resultante tiene como coeficiente la suma o resta de los coeficientes de cada uno de los radicales.

ejercicio

Ejemplo: Suma y resta de radicales semejantes

Efectúa las siguientes sumas y restas de radicales:

1. 3\sqrt{5}-\sqrt{5}+5\sqrt{5}

2. 3\sqrt{2}-\sqrt{3}

3. 3\sqrt[3]{2}+\sqrt{2}

Solución:

1. 3\sqrt{5}-\sqrt{5}+5\sqrt{5}=(3-1+5)\sqrt{5}=7\sqrt{5}

2. 3\sqrt{2}-\sqrt{3}= (No se puede simplificar)

3. 3\sqrt[3]{2}+\sqrt{2}= (No se puede simplificar)

Actividades

En los siguientes videotutoriales vamos a repasar las operaciones con radicales vistas hasta ahora, antes de pasar a ver otros casos de mayor dificultad.

video
Operaciones básicas con radicales
Tutorial (17'15")     Sinopsis:
  • Definición de radical y de radicales semejantes.
  • Suma de radicales semejantes.
  • Radicales opuestos.
  • Resta de radicales semejantes.
  • Producto de radicales del mismo índice.
  • División de radicales del mismo índice.
  • Potencia de un radical.
  • Raíz de un radical.
Ejercicio 1a (31'06")     Sinopsis:

1) Radicales semejantes:

1a) Escribe tres radicales semejantes y tres que no lo sean.
1b) Escribe dos radicales semejantes opuestos.

2) Calcula:

2a) 30 \sqrt{10}+7 \sqrt{10}-3 \sqrt{10}\;
2b) -2 \sqrt{5}-3 \sqrt{5}+ \sqrt{2}\;
2c) \sqrt{20}+3 \sqrt{2}-\sqrt{2}\;
2d) -3 \sqrt[3]{11}+\sqrt[3]{11}-8 \sqrt[3]{11}\;
2e) -8 \sqrt[3]{11}+4 \sqrt[3]{11}-2 \sqrt[3]{11}\;
2f) \sqrt[3]{-5}-5 \sqrt[3]{-5}+2 \sqrt[3]{-5}\;
2g) 6 \sqrt[8]{3}+12 \sqrt[8]{3}-4 \sqrt[8]{3}\;
2h) 5 \sqrt[11]{-8}+9 \sqrt[11]{-8}- \sqrt[11]{-8}\;
2i) -\sqrt[5]{3}- \sqrt[5]{3}-4 \sqrt[5]{3}\;

3) Halla el opuesto de los siguiente radicales y después suma cada radical con su opuesto:

3a) \sqrt{6}\;
3b) 7 \sqrt{4}\;
3c) -5\sqrt[3]{2}\;
3d) -8\sqrt[3]{-3}\;
3e) 14\sqrt[3]{5}\;
3f) -5\sqrt[4]{7}\;

4) Calcula:

4a) \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \;
4b) \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} \;
4c) \sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{2} \;
4d) \sqrt[3]{5} \cdot \sqrt[3]{5} \cdot \sqrt[3]{5} \;
4e) \sqrt[4]{3} \cdot \sqrt[4]{3} \cdot \sqrt[4]{3} \cdot \sqrt[4]{3} \;
4f) \sqrt[6]{7} \cdot \sqrt[6]{7} \cdot \sqrt[6]{7} \cdot \sqrt[6]{7} \cdot \sqrt[6]{7} \cdot \sqrt[6]{7} \;
4g) \sqrt[5]{-2} \cdot \sqrt[5]{-2} \cdot \sqrt[5]{-2} \cdot \sqrt[5]{-2} \cdot \sqrt[5]{-2}\;
4h) \sqrt[7]{-7} \cdot \sqrt[7]{-7} \cdot \sqrt[7]{-7} \cdot \sqrt[7]{-7} \cdot \sqrt[7]{-7} \cdot \sqrt[7]{-7} \cdot \sqrt[7]{-7} \;
4i) \sqrt[8]{6} \cdot \sqrt[8]{6} \cdot \sqrt[8]{6} \cdot \sqrt[8]{6} \cdot \sqrt[8]{6} \cdot \sqrt[8]{6} \cdot \sqrt[8]{6} \cdot \sqrt[8]{6} \;
4j) \sqrt[10]{2} \cdot \sqrt[10]{2} \cdot \sqrt[10]{2} \cdot \sqrt[10]{2} \cdot \sqrt[10]{2} \cdot \sqrt[10]{2} \cdot \sqrt[10]{2} \cdot \sqrt[10]{2} \cdot \sqrt[10]{2} \cdot \sqrt[10]{2}\;

5) Calcula:

5a) 2\sqrt{3} \cdot 3\sqrt{5} \;
5b) 3\sqrt{5} \cdot 2\sqrt{6} \;
5c) 3\sqrt{6} \cdot 5\sqrt{2} \;
5d) -2\sqrt{3} \cdot 5\sqrt{3} \;
5e) 8\sqrt{7} \cdot (-2)\sqrt{7} \;
5f) 3\sqrt{3} \cdot (-7\sqrt{6}) \cdot 4\sqrt{6} \;
5g) -5\sqrt{12} \cdot (-\sqrt{12}) \cdot 4\sqrt{12} \;
5h) 3\sqrt{3} \cdot (-3\sqrt{3}) \cdot (-4)\sqrt{3} \;
5h) -3\sqrt{5} \cdot (-7\sqrt{5}) \cdot \sqrt{5} \;
Ejercicio 1b (33'52")     Sinopsis:

5) Calcula:

5i) 2\sqrt[3]{3} \cdot 3\sqrt[3]{3} \; ;      5j) 3\sqrt[3]{5} \cdot 2\sqrt[3]{5} \; ;      5k) 3\sqrt[3]{6} \cdot 5\sqrt[3]{6} \;
5l) -2\sqrt[3]{3} \cdot 5\sqrt[3]{3} \; ;      5m) 8\sqrt[3]{-7} \cdot \sqrt[3]{-2} \cdot \sqrt[3]{-7} \; ;      5n) 3\sqrt[3]{3} \cdot (-7\sqrt[3]{3}) \cdot 4\sqrt[3]{3} \;
5o) -5\sqrt[3]{12} \cdot (-\sqrt[3]{12}) \cdot 4\sqrt[3]{12} \; ;      5p) 3\sqrt[3]{3} \cdot (-3\sqrt[3]{3}) \cdot (-4\sqrt[3]{3}) \; ;      5q) -3\sqrt[3]{5} \cdot (-7\sqrt[3]{5}) \cdot \sqrt[3]{5} \;

6) Calcula:

6a) \sqrt{14} : \sqrt{7} \; ;      6b) 8\sqrt{30} : (-2\sqrt{3}) \; ;      6c) -10\sqrt{15} : 5\sqrt{5} \;
6d) 6\sqrt{12} : (-\sqrt{2}) \; ;      6e) 20\sqrt{7} : 10\sqrt{7} \; ;      6f) \sqrt[3]{14} : \sqrt[3]{7} \;
6g) 9\sqrt[3]{14} : (-\sqrt[3]{-7}) \; ;      6h) -10\sqrt[3]{15} : 5\sqrt[3]{5} \; ;      6i) 12\sqrt[3]{18} : (-6\sqrt[3]{-9}) \;
6j) -30\sqrt[3]{14} : 6\sqrt[3]{7} \; ;      6k) \sqrt[4]{14} : \sqrt[4]{7} \; ;      6l) 9\sqrt[4]{14} : (-\sqrt[4]{7}) \;
6m) -10\sqrt[4]{15} : 5\sqrt[4]{5} \; ;      6n) 12\sqrt[4]{18} : (-6\sqrt[4]{9}) \; ;      6o) -30\sqrt[4]{14} : 6\sqrt[4]{7}) \;
6p) \sqrt[5]{14} : \sqrt[5]{7} \; ;      6q) 9\sqrt[5]{14} : (-\sqrt[5]{7}) \; ;      6r) -10\sqrt[5]{15} : 5\sqrt[5]{5}) \;

7) Calcula:

a) (\sqrt{7})^2\; ;      b) (\sqrt[3]{7})^3\; ;      c) (\sqrt[4]{7})^4\; ;      d) (\sqrt{5})^2\; ;      e) (\sqrt[3]{5})^3\;
f) (\sqrt[4]{21})^4\; ;      g) (\sqrt{25})^2\; ;      h) (\sqrt[3]{-25})^3\; ;      i) (\sqrt[4]{100})^4\; ;      j) (\sqrt{18})^2\;
k) (\sqrt[3]{-100})^3\; ;      l) (\sqrt[5]{16})^5\; ;      m) (\sqrt{100})^2\; ;      n) (\sqrt[3]{18})^3\; ;      o) (\sqrt[6]{12})^6\;

8) Calcula:

a) \sqrt{\sqrt{2}}\; ;      b) \sqrt{\sqrt{3}}\; ;      c) \sqrt{\sqrt{7}}\; ;      d) \sqrt[3]{\sqrt{2}}\;
e) \sqrt[3]{\sqrt[3]{25}}\; ;      f) \sqrt{\sqrt[3]{64}}\; ;      g) \sqrt[4]{\sqrt[3]{2}}\; ;      h) \sqrt[3]{\sqrt{128}}\;

Extracción e introducción de factores en un radical

El siguiente videotutorial resume lo que se va a a ver en este apartado:

Extracción e introducción de factores en un radical (19'38")     Sinopsis:

Tutorial que explica cómo extraer factores de un radical, que se utiliza principalmente para simplificar radicales, y de cómo introducir factores dentro.

Extracción de factores

ejercicio

Procedimiento

Para extraer factores de un radical se divide el exponente (m) del factor entre el índice (n) del radical. A continuación, se saca el factor elevado al cociente (c) de la división, quedando dentro del radical el factor elevado al resto (r).

\sqrt[n]{a^m}= a^c \cdot \sqrt[n]{a^r}
Demostración:

Para la demostración transformaremos la expresión radical en potencias y aplicaremos las propiedades de las operaciones con potencias:

\sqrt[n]{a^m}= a^{\frac{m}{n}} \begin{matrix} ~_{(1)}~ \\ = \\ \, \end{matrix} a^{c+\frac{r}{n}}= a^c \cdot a^{\frac{r}{n}}= a^c \cdot \sqrt[n]{a^r}

Fíjate que en (1) hemos usado la regla de la divsión:

m=n \cdot c + r \ \rightarrow \ \cfrac{m}{n}= \cfrac{n \cdot c + r}{n} \ \rightarrow \ \cfrac{m}{n}= \cfrac{n \cdot c}{n} + \cfrac{r}{n} \ \rightarrow \ \cfrac{m}{n}= c + \cfrac{r}{n}

Para extraer factores de un radical se divide el exponente entre el índice y se saca el factor elevado al cociente de la división quedando ese factor elevado al resto.

ejercicio

Ejemplo: Extracción de factores de un radical

Extrae todo lo que se pueda de este radical: \sqrt[3]{6000}

Solución:
\sqrt[3]{6000}=\sqrt[3]{2^4 \cdot 3 \cdot 5^3}=2 \cdot 5 \sqrt[3]{2 \cdot 3}=10\sqrt[3]{6}

video
Extracción de factores de un radical
Tutorial 1 (7'06")     Sinopsis:

Extracción de factores de un radical. Ejemplos.

Tutorial 2 (8'02")     Sinopsis:

Extracción de factores de un radical utilizando un símil curioso.

Tutorial 3 (5´50")     Sinopsis:

Extracción de factores de un radical. Ejemplos

Ejemplos (6'54")     Sinopsis:

Extracción de factores de un radical.

Ejercicio 1 (2'59")     Sinopsis:

Simplifica:

a) \sqrt{8}\;        b) \sqrt{45}\;

Ejercicio 2 (1'58")     Sinopsis:

Simplifica:

a) \sqrt{20}\;        b) \sqrt{180}\;

Ejercicio 3 (2'31")     Sinopsis:

Simplifica:

a) \sqrt[3]{16}\;        b) \sqrt[3]{72}\;

Ejercicio 4 (1'52")     Sinopsis:

Simplifica:

a) \sqrt[5]{96}\;        b) \sqrt[4]{405}\;

Ejercicio 5 (26'16")     Sinopsis:

Simplifica:

a) \sqrt{72}\;        b) \sqrt[4]{3645}\;        c) \sqrt{3240}\;        c) 5\,\sqrt[3]{384}\;

Ejercicio 6 (7'53")     Sinopsis:

Simplifica:

a) \sqrt{486}\;        b) 6\sqrt[3]{1250}\;        c) m^3n\sqrt[5]{m^{20}n^{37}}\;

Ejercicio 7 (3'40")     Sinopsis:

Simplifica: -2\sqrt [3]{16x^5yz^9}

Ejercicio 8 (4'12")     Sinopsis:

Simplifica: \sqrt [4]{32x^4y^{21}z^{43}}

Ejercicio 9 (2'54")     Sinopsis:

Simplifica: \sqrt [5]{32x^5y^{-10}z^{-35}}

Ejercicio 10 (2'03")     Sinopsis:

Simplifica: \sqrt [5]{-243a^{20}}

Ejercicio 11a (12´16")     Sinopsis:

Extrae todos los factores posibles del radicando:

a) \sqrt{12}\;;      b) \sqrt{45}\;;      c) \sqrt{400}\;;     
d) \sqrt{18}\;;      e) \sqrt{128}\;
Ejercicio 11b (22´39")     Sinopsis:

Extrae todos los factores posibles del radicando:

f) \sqrt{216}\; ;      g) \sqrt{1080}\; ;      h) \sqrt[3]{625}\;
i) \sqrt[3]{432}\; ;     j) \sqrt[3]{-216}\; ;      k) \sqrt[3]{243}\;
l) \sqrt[4]{1296}\; ;      m) \sqrt[4]{20736}\; ; n) \sqrt[5]{-480}\;
Ejercicio 12 (6´54")     Sinopsis:

Simplifica: 7\,\sqrt{117}\;

Ejercicio 13 (4´20")     Sinopsis:

Simplifica: 3\,\sqrt{500x^3}\;

Ejercicio 14 (7´30")     Sinopsis:

Simplifica:

a) 2\,\sqrt{7x} \cdot 3\,\sqrt{14x^2}\;
b) \sqrt{2a} \cdot \sqrt{14a^3} \cdot \sqrt{5a}\;
Ejercicio 15 (4´27")     Sinopsis:

Simplifica: 5\,\sqrt[3]{2x^2} \cdot 3\,\sqrt[3]{4x^4}\;

Ejercicio 16 (2´17")     Sinopsis:

Simplifica: \sqrt[3]{125x^6y^3}

Ejercicio 17 (2´25")     Sinopsis:

Simplifica: \sqrt[4]{5a^4b^{12}}

video
Extracción de factores de un radical
Actividad 1     Descripción:

Pulsa el botón "Ejemplo" para ver los ejemplos. Anota algunos en tu cuaderno.

Actividad 2     Descripción:

Extrae factores fuera del radical.

Autoevaluación 1     Descripción:

Extrae factores fuera del radical.

Autoevaluación 1b     Descripción:

Extrae factores fuera del radical (con variables).

Autoevaluación 1c     Descripción:

Extrae factores fuera del radical (con variables).

Introducción de factores

ejercicio

Procedimiento

Para introducir un factor dentro de un radical, éste se eleva al índice del radical y el resultado se multiplica por el radicando del radical.

a \sqrt[n]{b}= \sqrt[n]{a^n \cdot b}
Demostración:

Para la demostración transformaremos la expresión radical en potencias y aplicaremos las propiedades de las operaciones con potencias:

a \sqrt[n]{b}=a \cdot b^{\frac{1}{n}}=(a^n)^{\frac{1}{n}} \cdot b^{\frac{1}{n}}= (a^n \cdot b)^{\frac{1}{n}}= \sqrt[n]{a^n \cdot b}

ejercicio

Ejemplo: Introducción de factores en un radical

Introduce los factores dentro del radical: 10 \sqrt[3]{6}

Solución:
10 \sqrt[3]{6}=\sqrt[3]{6 \cdot 10^3}=\sqrt[3]{6000}

Ejemplos: Introducción de factores de un radical     Descripción:

Pulsa el botón "Ejemplo" para ver los ejemplos. Anota algunos en tu cuaderno.

video
Introducción de factores en un radical
Ejemplo 1 (2'23")     Sinopsis:

Introduce dentro del radical: 3 \sqrt{5}

Para introducir un factor dentro de un radical, éste se eleva al índice del radical y el resultado se multiplica por el radicando del radical. De esta manera, y teniendo en cuenta las propiedades de las operaciones con potencias, para introducir una potencia dentro de un radical multiplicaremos el exponente de la potencia por el índice del radical. La potencia resultante pasará dentro del radical multiplicando al radicando.

Ejemplo 2 (1'42")     Sinopsis:

Introduce los factores dentro del radical: a^3 b^2 \sqrt[4]{c}

Para introducir un factor dentro de un radical, éste se eleva al índice del radical y el resultado se multiplica por el radicando del radical. De esta manera, y teniendo en cuenta las propiedades de las operaciones con potencias, para introducir una potencia dentro de un radical multiplicaremos el exponente de la potencia por el índice del radical. La potencia resultante pasará dentro del radical multiplicando al radicando.

Ejemplo 3 (3'06")     Sinopsis:

Introduce los factores dentro del radical: m^2 n^5 \sqrt[5]{m^3 p^2}

Para introducir un factor dentro de un radical, éste se eleva al índice del radical y el resultado se multiplica por el radicando del radical. De esta manera, y teniendo en cuenta las propiedades de las operaciones con potencias, para introducir una potencia dentro de un radical multiplicaremos el exponente de la potencia por el índice del radical. La potencia resultante pasará dentro del radical multiplicando al radicando. Si dentro del radical tenemos otra potencia con la misma base entonces sumaremos el exponente de la potencia que entra con el de dentro del radical.

Ejercicios (4'19")     Sinopsis:

Introduce factores dentro del radical:

a) 4 \sqrt[3]{6}
b) 2^4 \cdot 3^2 \sqrt[6]{2^2 \cdot 3^5}
b) a^7 \cdot b^8 \sqrt[5]{b^2}

Introducción y extracción de factores de un radical     Descripción:

Pulsa el botón EJERCICIO y verás el enunciado; hazlo en tu cuaderno e introduce la solución con la escena, luego pulsa el botón SOLUCIÓN para ver si lo has hecho bien.

Autoevaluación: Introducción y extracción de factores de un radical     Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre introducción y extracción de factores de un radical.

Suma y resta de radicales con el mismo índice y distinto radicando

Si tienen el mismo índice pero distinto radicando, a veces, podemos extraer factores del radical y dejarlos con el mismo radicando.

ejercicio

Ejemplo: Suma y resta de radicales con el mismo índice y distinto radicando

Resta los siguientes radicales: \sqrt{48}-\sqrt{75}

Solución:
\sqrt{48}-\sqrt{75}=\sqrt{2^4 \cdot 3}-\sqrt{5^2 \cdot 3}= 2^2\sqrt{3}-5\sqrt{3}=-\sqrt{3}

Ejemplos: Suma y resta de radicales con el mismo índice y distinto radicando     Descripción:

Pulsa el botón "Ejemplo" para ver los ejemplos. Anota algunos en tu cuaderno.

video
Suma y resta de radicales con el mismo índice y distinto radicando
Tutorial 1 (10'09")     Sinopsis:

Tutorial que explica cómo sumar y restar radicales. La suma y resta son operaciones que "se llevan muy mal" con el resto de operaciones y hay que tener mucho cuidado a la hora de hacerlo con radicales.

Tutorial 2 (4'58")     Sinopsis:

Suma y resta de radicales con el mismo índice. Ejemplos.

Ejercicio 1 (3'38")     Sinopsis:

Simplifica: \sqrt{18}+\sqrt{50}-\sqrt{2}-\sqrt{8}

Ejercicio 2 (6'11")     Sinopsis:

Simplifica: \sqrt{32}+\sqrt{243}-\sqrt{12}-\sqrt{48}-\sqrt{27}

Ejercicio 3 (30'30")     Sinopsis:

Calcula:

a) \sqrt{50}+2\sqrt{18}-3\sqrt{32}\;
b) -\sqrt{12}+\sqrt{75}-\sqrt{27}\;
c) \sqrt{20}+4\sqrt{8}-5\sqrt{50}\;
d) \sqrt[3]{48}+\sqrt[3]{1080}-\sqrt[3]{96}\;
e) -\sqrt[3]{-27}+2\sqrt[3]{272}-9\sqrt[3]{-81}\;
Ejercicio 4 (12'36")     Sinopsis:

Calcula:

a) \sqrt[4]{32}+8\sqrt[4]{16}-\sqrt[4]{80}\;
b) \sqrt[5]{64}-6\sqrt[5]{32}+5\sqrt[5]{96}\;
c) -9\sqrt[6]{64}+\sqrt[6]{192}-\sqrt[6]{960}\;

wolfram
Suma y resta de radicales con el mismo índice y distinto radicando
wolfram

Actividad: Suma y resta de radicales con el mismo índice y distinto radicando

Simplifica \sqrt[4]{3} - \sqrt[4]{243}

Solución:
Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:
simplify 4th root (3) - 4th root (243)

Autoevaluación: Suma y resta radicales con el mismo índice y distinto radicando     Descripción:

Pulsa el botón EJERCICIO y verás el enunciado; hazlo en tu cuaderno e introduce la solución con la escena, luego pulsa el botón SOLUCIÓN para ver si lo has hecho bien.

Click aquí si no se ve bien la escena

Producto y cocientes de radicales con distinto índice

Para multiplicar o dividir radicales con distinto índice, primero se reducen a índice común y luego se multiplican o dividen los radicandos.

ejercicio

Ejemplo: Producto y cocientes de radicales con distinto índice

Reduce a un solo radical \sqrt[3]{10} \cdot \sqrt[4]{5}:\sqrt{8}

Solución:

Para reducir los radicales a índice común calculamos el m.c.m de los índices: m.c.m.(3,4,2)=12 y elevamos cada radicando al resultado de dividir el m.c.m. por el índice de cada radical.

\sqrt[3]{10} \cdot \sqrt[4]{5}:\sqrt{8}=\sqrt[12]{10^4} \cdot \sqrt[12]{5^3}:\sqrt[12]{8^6}

Luego multiplicamos o dividimos los radicandos, ya que ahora los índices son iguales:

\sqrt[12]{10^4} \cdot \sqrt[12]{5^3}:\sqrt[12]{8^6}=\sqrt[12]{10^4 \cdot 5^3 : 8^6}

Finalmente simplificamos:

\sqrt[12]{10^4 \cdot 5^3 : 8^6}=\sqrt[12]{2^4 \cdot 5^4 \cdot 5^3 : (2^3)^6}=\sqrt[12]{2^{-14} \cdot 5^7}

video
Producto y cociente de radicales con distinto índice
Tutorial (7'21")     Sinopsis:

Producto y cociente de radicales con el mismo o con distinto índice. Ejemplos.

Ejercicio 1 (4'43")     Sinopsis:

Simplifica: (8\sqrt[3]{a^2b}) \cdot (4\sqrt{ab^3})

Ejercicio 2 (3'50")     Sinopsis:

Simplifica: \sqrt[3]{27^{-2}} : \sqrt[4]{16}

video
Producto y cocientes de radicales
Producto y cociente de radicales con distinto índice     Descripción:

Actividades en las que podrás aprender a multiplicar y dividir radicales de distinto índice previa reducción a índice común.

Autoevaluación: Producto de radicales     Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre productos de radicales.

Autoevaluación: Cociente de radicales     Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre cocientes de radicales.

Potencias de radicales

Potencias de radicales (6'31")     Sinopsis:

Potencias de radicales. Ejemplos.

Autoevaluación: Potencias de radicales     Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre potencias de radicales.

Radicales dobles (Avanzado)

video
Radicales dobles
Ejercicio 1 (7'08")     Sinopsis:

Convierte los siguientes radicales dobles en sencillos:

a) \sqrt{11+6 \sqrt{2}}

b) \sqrt{7-\sqrt{48}}

Ejercicio 2 (6'43")     Sinopsis:

Convierte los siguientes radicales dobles en sencillos:

a) \sqrt{7+ \sqrt{24}}

b) \sqrt{8-\sqrt{48}}

Convierte los siguientes radicales sencillos en dobles:

a) \sqrt{6}+ \sqrt{2}

b) \sqrt{5}- \sqrt{2}

Actividades

video
Operaciones con radicales
Ejercicio 1 (10'09")     Sinopsis:

Simplifica:

a)\sqrt{8^{20}}:\sqrt{8^{14}}

b)\sqrt[6]{\sqrt{8}}

c)\sqrt[9]{12} \cdot \sqrt{3}

Ejercicio 2 (6'06")     Sinopsis:

Simplifica: \cfrac{\sqrt{27}+\sqrt{75}}{\sqrt{48}}

Ejercicio 3 (4'34")     Sinopsis:

Simplifica: \sqrt [4]{\sqrt{x^3} \cdot 16 \sqrt{x}}

Ejercicio 4 (2'57")     Sinopsis:

Simplifica: \left(\cfrac{\sqrt [6]{32}}{\sqrt{8}} \right)^3

Ejercicio 5 (7'27")     Sinopsis:

Simplifica (Extracción e introducción de factores en un radical):

a) \sqrt[3]{5^{17} \cdot 4^6}

b) \sqrt[3]{16\, a^4\, b^{21}}

c) 7^3 \cdot 6^9 \sqrt[11]{y^3}

Ejercicio 6 (7'27")     Sinopsis:

Simplifica:

a) (2\sqrt{11})(5\sqrt{3})(-\sqrt{2})

b) (5\sqrt[3]{4})(2\sqrt[3]{2})

c) (7\sqrt{2})(5\sqrt[3]{3})

Ejercicio 7 (6'00")     Sinopsis:

Simplifica:

a) \cfrac{16\sqrt{10}}{4\sqrt{5}}

b) \cfrac{24\sqrt[4]{2}}{4\sqrt[5]{3}}

Ejercicio 8 (8'52")     Sinopsis:

Simplifica:

a) 2\sqrt{12}+11\sqrt{48}-5\sqrt{75}

b) 13\sqrt{45}-11\sqrt{128}-9\sqrt{80}+4\sqrt{162}

Ejercicio 9 (6'11")     Sinopsis:

Simplifica:

a) 3\sqrt[5]{2}+7\sqrt[5]{2}

b) 3\sqrt{7}-2\sqrt{3}+9\sqrt{7}-5\sqrt{3}

c) 3\sqrt[3]{54}-2\sqrt[3]{2}+9\sqrt[3]{16}

d) 4\sqrt[4]{25}-\sqrt{45}

e) \cfrac{1}{2}\sqrt[3]{108}-\cfrac{3}{2}\sqrt[3]{4}

Ejercicio 10 (19'33")     Sinopsis:

Calcula y simplifica:

a) 2\sqrt{25} \cdot 3\sqrt{63}\; ;      b) 3\sqrt{25} \cdot 2\sqrt{18}\; ;      c) 3\sqrt{30} \cdot 5\sqrt{6}\;
d) -2\sqrt{63}-5\sqrt{35}\; ;      e) 8\sqrt{70} \cdot (-2)\sqrt{35}\; ;      f) 3\sqrt{21} \cdot (-7\sqrt{7}) \cdot 4\sqrt{6}\;
g) 3\sqrt{55} \cdot (-3\sqrt{22}) \cdot (-4)\sqrt{5}\; ;      f) -3\sqrt{15} \cdot (-7\sqrt{55}) \cdot \sqrt{3}\;
Ejercicio 11 (29'15")     Sinopsis:

Opera y simplifica:

a) 2\sqrt[3]{18} \cdot 3\sqrt[3]{12}\; ;      b) 3\sqrt[3]{50} \cdot 2\sqrt[3]{20}\; ;      c) 3\sqrt[3]{45} \cdot 5\sqrt[3]{75}\;
d) -2\sqrt[3]{28} \cdot 5\sqrt[3]{98}\; ;      e) 8\sqrt[3]{-12} \cdot (-3\sqrt[3]{3}) \cdot \sqrt[3]{-6}\; ;      f) 3\sqrt[3]{8} \cdot (-7\sqrt[3]{9}) \cdot 4\sqrt[3]{3}\;
g) -5\sqrt[3]{27} \cdot (-\sqrt[3]{4}) \cdot 4\sqrt[3]{2}\; ;      h) 3\sqrt[3]{20} \cdot (-3\sqrt[3]{10}) \cdot (-4\sqrt[3]{5})\; ;      i) 3\sqrt[6]{324} \cdot 5\sqrt[6]{144}\;
j) -2\sqrt[4]{250} \cdot 5\sqrt[4]{40}\; ;      k) 3\sqrt[4]{88} \cdot (-7\sqrt[8]{216}) \cdot 4\sqrt[8]{162}\;

Opera y simplifica:

a) \sqrt{72} : \sqrt{2}\; ;      b) 8\sqrt{200} : (-2\sqrt{2})\;
Ejercicio 12 (30'17")     Sinopsis:

Opera y simplifica:

a) -10\sqrt{980} : 5\sqrt{5}\; ;      b) 6\sqrt{675} : (-\sqrt{3}) \;      c) 20\sqrt{3087} : 10\sqrt{7}\;
d) 9\sqrt[3]{432} : (-\sqrt[3]{-2})\; ;      e) -10\sqrt[3]{1458} : 5\sqrt[3]{2}\; ;      f) 12\sqrt[3]{192} : (-6\sqrt[3]{-3})\;
g) -30\sqrt[3]{3000} : 6\sqrt[3]{3}\; ;      h) \sqrt[4]{512} : \sqrt[4]{2}\; ;      i) 9\sqrt[4]{768} : (-\sqrt[4]{3})\;
j) -10\sqrt[4]{2592} : 5\sqrt[4]{2}\; ;      k) 12\sqrt[4]{3888} : (-6\sqrt[4]{3})\; ;      l) -30\sqrt[4]{13122} : 6\sqrt[4]{2}\;

Calcula:

a) (\sqrt{36})^3\; ;      b) (\sqrt{5})^6\; ;      c) (\sqrt{25})^4\; ;      d) (\sqrt{18})^3\;
Ejercicio 13 (19'53")     Sinopsis:

Calcula:

a) (\sqrt[3]{-100})^4\; ;      b) (\sqrt[3]{18})^4\; ;      c) (\sqrt[4]{7})^5\; ;      d) (\sqrt[4]{21})^7\;
e) (\sqrt[4]{100})^5\; ;      f) (\sqrt[5]{16})^7\; ;      g) (\sqrt[6]{12})^7\;

Calcula y simplifica:

a) \sqrt{\sqrt{1296}}\; ;      b) \sqrt{\sqrt{256}}\; ;      c) \sqrt[3]{\sqrt{46\,656}}\;
d) \sqrt[3]{\sqrt[3]{4096}}\; ;      e) \sqrt{\sqrt[3]{1024}}\; ;      f) \sqrt[4]{\sqrt[3]{4096}}\;

Ejercicios: Suma, resta y simplificación de radicales     Descripción:

En esta escena podrás practicar la suma y resta de radicales con o sin el mismo índice.

Autoevaluación: Suma y resta de radicales     Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre sumas y restas de radicales.

Autoevaluación: Raíces de radicales     Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre raíces de radicales.

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Radicales_%281%C2%BABach%29"
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