Plantilla:Inecuaciones con una incógnita

(Diferencia entre revisiones)

Revisión de 11:48 31 ago 2016

Una inecuación es una desigualdad entre expresiones algebraicas en las que hay, al menos, una variable cuyo valor numérico desconocemos y al que llamamos incógnita.
Una inecuación con una incógnita es una desigualdad entre expresiones algebraicas con una sola variable o incógnita.
Para las desigualdades utilizaremos los símbolos: $<\;$ (menor que); $>\;$ (mayor que); $\le\;$ (menor o igual que) y $\ge\;$ (mayor o igual que).
Las inecuaciones que usan los dos primeros símbolos se llaman inecuaciones estrictas y las que utilizan los dos últimos, inecuaciones no estrictas.
Si las expresiones algebraicas son polinomios de grado 1, las inecuaciones se llaman lineales y si son de grado 2, cuadráticas.
Una solución de una inecuación con una incógnita, $x\;$ , es un valor de la variable $x\;$ que hace que se cumpla la desigualdad.
Resolver una inecuación consiste en hallar todas sus soluciones. Habitualmente son infinitas y se expresan mediante intervalos de la recta real, aunque tambien puede ser finitas o no existir.

Ejemplos:

Reglas para trabajar con desigualdades

Sean $x, y, z \in \mathbb{R}$ , se cumplen las siguientes propiedades:

1. $x<y \Rightarrow x+z<y+z$

2. $x<y~;~ z>0 \Rightarrow x \cdot z<y \cdot z$

3. $x<y~;~ z<0 \Rightarrow x \cdot z>y \cdot z$

4. $x<y \, ; \ x,y \ne 0 \Rightarrow \cfrac{1}{x} > \cfrac{1}{y}$

Como consecuencia, en una inecuación:

Lo que está sumando en un lado de la desigualdad, pasa restando al otro miembro sin afectar a la desigualdad. Y viceversa.
Lo que está multiplicando a todo un miembro, pasa dividiendo al otro miembro. Y viceversa. En este caso la desigualdad sólo cambia de sentido si el número que pasa multiplicando o dividiendo es negativo.

¿Cuándo debe cambiar de sentido una desigualdad? (10'00") Sinopsis:

¿Cuándo debe cambiar de sentido una desigualdad?. Ejemplos.

Como consecuencia, en una inecuación:

Lo que está sumando en un lado de la desigualdad, pasa restando al otro miembro sin afectar a la desigualdad. Y viceversa.
Lo que está multiplicando a todo un miembro, pasa dividiendo al otro miembro. Y viceversa. En este caso la desigualdad sólo cambia de sentido si el número que pasa multiplicando o dividiendo es negativo.

Para resolver las inecuacines con una incógnita podemos utilizar dos métodos:

El método algebraico que consiste en despejar la incógnita mediante las transformaciones antes mencionadas.
El método gráfico que se apoya en el estudio del signo de una función polinómica adecuada. En este método, primero se pasan todos los términos al lado izquierdo de la inecuación, dejando el lado derecho cero. A continuación, se estudia el signo del polinomio que queda en el lado izquierdo.

 *Para las desigualdades utilizaremos los símbolos: <math><\;</math> (menor que); <math>>\;</math> (mayor que); <math>\le\;</math> (menor o igual que) y <math>\ge\;</math> (mayor o igual que).
 *Las inecuaciones que usan los dos primeros símbolos se llaman inecuaciones '''estrictas''' y las que utilizan los dos últimos, inecuaciones '''no estrictas'''.
+*Si las expresiones algebraicas son polinomios de grado 1, las inecuaciones se llaman '''lineales''' y si son de grado 2, '''cuadráticas'''.
 *Una '''solución''' de una inecuación con una incógnita, <math>x\;</math>, es un valor de la variable <math>x\;</math> que hace que se cumpla la desigualdad.
 *'''Resolver''' una inecuación consiste en hallar todas sus soluciones. Habitualmente son infinitas y se expresan mediante [[Números reales (1ºBach)#Intervalos y semirectas|intervalos de la recta real]], aunque tambien puede ser finitas o no existir.