Números racionales

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Tabla de contenidos

1 Definiciones
2 Orden
3 Operaciones con fracciones
4 Expresión decimal de una fracción
- 4.1 Paso de fracción a decimal
- 4.2 Paso de decimal a fracción
5 Ejercicios y problemas
- 5.1 Ejercicios

Definiciones

Fracciones o números racionales

Así como los números naturales surgen para expresar cantidades que se refieren a objetos enteros, las fracciones son consecuencia de expresar cantidades que se refieren a partes de un objeto.

Una fracción se expresa de la forma $\cfrac {a}{b}$ con $a,b \in \mathbb{Z}$ .

donde $a\;\!$ se llama numerador y $b\;\!$ denominador. El denominador indica las partes iguales en que se divide a la unidad y el numerador las partes que tomamos. El valor de una fracción es el resultado de dividir numerador entre denominador.

Al conjunto de todas las fracciones también se le llama conjunto de números racionales. Lo representaremos por $\mathbb{Q}$ .

$\mathbb{Q} = \lbrace \cfrac {a}{b}\quad a,b \in \mathbb{Z} \rbrace$

Si el numerador es divisible por el denominador, la fracción representa a un número entero. Así, los racionales contienen a los enteros y éstos a los naturales.

$\mathbb{N}\sub\mathbb{Z}\sub\mathbb{Q}$

Actividades Interactivas: Fracciones

Fracciones propias e impropias

Fracciones propias son aquellas cuyo numerador es menor que el denominador. Son menores que 1.
Fracciones impropias son aquellas cuyo numerador es mayor o igual que el denominador. Son mayores que 1.

Actividades Interactivas: Fracciones propias e impropias

Fracciones equivalentes

Fracciones equivalentes son aquellas que, aún teniendo distinto numerador y denominador, tienen el mismo valor.

Cada fracción tiene infinitas fracciones equivalentes a ella. Podemos obtenerlas multiplicando numerador y denominador por un mismo número. Por ejemplo, $\cfrac{3}{5}=\cfrac{6}{10}=\cfrac{9}{15}$

Para saber si dos fracciones son equivalentes, comprobaremos que los productos cruzados de sus numeradores y denominadores coinciden.

$\cfrac{a}{b}=\cfrac{c}{d} \quad\Leftrightarrow\quad a \cdot d=b \cdot c$

Si multiplicamos o dividimos el numerador y denominador por un mismo número, se obtienen fracciones equivalentes.

Actividades Interactivas: Fracciones equivalentes

Simplificar fracciones. Fracciones irreducibles

Plantilla:Tabla66

Orden

De dos fracciones con el mismo denominador, es mayor la de mayor numerador. Por eso, para ordenar fracciones, debemos primero obtener fracciones equivalentes a las dadas, pero con el mismo denominador. A ésto se le llama reducir a común denominador. Veamos un ejemplo:

Ejemplo: Ordenar fracciones

Ordena las fracciones:

$\cfrac{3}{5}\ ,\quad \cfrac{2}{4}\ ,\quad\cfrac{7}{10}$

Solución:

Primero reducimos a común denominador. Para ello, calculamos el m.c.m. de los denominadores:

$m.c.m.(5, 4, 10)=20\;\!$ .

Obtenemos fracciones equivalentes a las dadas con denominador 20. Para ello dividimos 20 entre cada denominador y lo multiplicamos por el numerador. Las fracciones obtenidas son:

$\cfrac{3}{5}=\cfrac{12}{20}\ ,\quad\cfrac{2}{4}=\cfrac{10}{20}\ ,\quad\cfrac{7}{10}=\cfrac{14}{20}$

Estas fracciones las podemos ordenar fácilmente porque tienen el mismo denominador:

$\cfrac{10}{20}<\cfrac{12}{20}<\cfrac{14}{20}$

Así obtenemos:

$\cfrac{2}{4}<\cfrac{3}{5}<\cfrac{7}{10}$

Actividad Interactiva: Ordenar fracciones

Ordena de menor a mayor

Operaciones con fracciones

Suma y resta

Para sumar o restar fracciones:

Si las fracciones tienen el mismo denominador, se suman o restan los numeradores y se pone el mismo denominador.
Si tienen distintos denominadores, primero se reducen a común denominador y luego se procede como en el caso anterior.

Ejemplo: Suma y resta de fracciones

Calcula: $\cfrac{3}{4} + \cfrac{4}{6} - \cfrac{1}{2}$

Solución:

Primero reducimos a común denominador. Para ello, calculamos el m.c.m. de los denominadores: $m.c.m.(4, 6, 2)=12\;\!$ .

$\cfrac{3}{4} + \cfrac{4}{6} - \cfrac{1}{2}=\cfrac{9}{12} + \cfrac{8}{12} - \cfrac{6}{12}=$

Luego sumamos o restamos los númeradores, dejando el mismo denominador:

$=\cfrac{9+8-6}{12}=\cfrac{11}{12}$

Multiplicación

Para multiplicar fracciones, se pone como numerador, el producro de los numeradores, y como denominador, el producto de los denominadores.

$\cfrac{a}{b} \cdot \cfrac{c}{d}=\cfrac{a \cdot c}{b \cdot d}$

No obstante, es conveniente simplificar los numeradores entre los denominadores antes de efectuar los productos.

Ejemplo: Producto de fracciones

Calcula: $\cfrac{10}{6} \cdot \cfrac{4}{6} \cdot \cfrac{8}{5}$

Solución:

Multiplicamos numeradores y denominadores, simplificando antes de efectuar el producto:

$\cfrac{10}{6} \cdot \cfrac{4}{6} \cdot \cfrac{8}{5}=\cfrac{10\cdot4\cdot8}{6\cdot6\cdot5}=\cfrac{16}{9}$

Inversa

Dada una fracción $\cfrac {a}{b}\ ,\quad a \ne 0$ , su inversa es la fracción $\cfrac {b}{a}$ .

Por ejemplo, la inversa de $\cfrac {3}{5}$ es $\cfrac {5}{3}$ .

División

Para dividir dos fracciones, se pone como numerador, el producro del primer numerador por el segundo denominador, y como denominador, el producto del primer denominador por el segundo numerador.

$\cfrac{a}{b} : \cfrac{c}{d}=\cfrac{a \cdot d}{b \cdot c}$

No obstante, es conveniente simplificar antes de efectuar los productos.

Ejemplo: Cociente de fracciones

Calcula: $\cfrac{6}{5} : \cfrac{4}{15}$

Solución:

Multiplicamos en cruz, simplificando antes de efectuar el producto:

$\cfrac{6}{5} : \cfrac{4}{15}=\cfrac{6 \cdot 15}{5 \cdot 4}= \cfrac{9}{2}$

Potenciación

Propiedades

Expresión decimal de una fracción

Paso de fracción a decimal

Paso de decimal a fracción

Ejercicios y problemas

Ejercicios

Plantilla:Ejercicio cab

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/N%C3%BAmeros_racionales"

 ===Simplificar fracciones. Fracciones irreducibles===
+{{Tabla66
+|celda1=
 {{Caja Amarilla|texto='''Simplificar una fracción''' consiste en obtener otra fracción equivalente con numerador y denominador menores. Para ello debemos dividir numerador y denominador por un mismo número. Este proceso se puede repetir hasta que ya no encontremos más divisores comunes distintos de 1, en cuyo caso, la fracción obtenida se dice que es '''irreducible'''.}}
-{{p}} {{AI|titulo=Actividades Interactivas: ''Simplificar de fracciones''|enunciado=
+{{p}}
+|celda2= {{AI|titulo=Actividades Interactivas: ''Simplificar de fracciones''|enunciado=
 :#[http://descartes.cnice.mecd.es/1y2_eso/fracciones/simplif1.htm Simplificar fracciones: (nivel 1)] [http://descartes.cnice.mecd.es/1y2_eso/fracciones/simplif2.htm (nivel 2)]
 :#[http://descartes.cnice.mecd.es/1y2_eso/fracciones/simplif3.htm Fracción irreducible: (nivel 1)] [http://descartes.cnice.mecd.es/1y2_eso/fracciones/simplif4.htm (nivel 2)] [http://descartes.cnice.mecd.es/1y2_eso/fracciones/simplif5.htm  (nivel 3)]}}
+}}
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Números racionales

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Tabla de contenidos

Definiciones

Fracciones o números racionales

Fracciones propias e impropias

Fracciones equivalentes

Simplificar fracciones. Fracciones irreducibles

Orden

Operaciones con fracciones

Suma y resta

Multiplicación

Inversa

División

Potenciación

Propiedades

Expresión decimal de una fracción

Paso de fracción a decimal

Paso de decimal a fracción

Ejercicios y problemas

Ejercicios

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