Números racionales

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Revisión de 18:59 23 abr 2007

Tabla de contenidos

Definiciones

Fracciones o números racionales

Así como los números naturales surgen para expresar cantidades que se refieren a objetos enteros, las fracciones son consecuencia de expresar cantidades que se refieren a partes de un objeto.

Una fracción se expresa de la forma \cfrac {a}{b} con a,b \in \mathbb{Z}, donde a\;\! se llama numerador y b\;\! denominador. El denominador indica las partes iguales en que se divide a la unidad y el numerador las partes que tomamos.

El valor de una fracción es el resultado de dividir numerador entre denominador.

Al conjunto de todas las fracciones también se le llama conjunto de números racionales. Lo representaremos por \mathbb{Q}.

\mathbb{Q} = \lbrace \cfrac {a}{b}\quad a,b \in \mathbb{Z} \rbrace

Si el numerador es divisible por el denominador, la fracción representa a un número entero. Así, los racionales contienen a los enteros y éstos a los naturales.

\mathbb{N}\sub\mathbb{Z}\sub\mathbb{Q}

ejercicio

Actividades Interactivas: Fracciones


  1. Definición
  2. ¿Qué fracción representa cada figura?
  3. Representación en la recta numérica
  4. Adivina cada posición

Fracciones propias e impropias

Fracciones propias son aquellas cuyo numerador es menor que el denominador. Son menores que 1.
Fracciones impropias son aquellas cuyo numerador es mayor o igual que el denominador. Son mayores que 1.

ejercicio

Actividades Interactivas: Fracciones propias e impropias


  1. Definición
  2. Valor de una fracción

Fracciones equivalentes

Fracciones equivalentes son aquellas que, aún teniendo distinto numerador y denominador, tienen el mismo valor.

Cada fracción tiene infinitas fracciones equivalentes a ella. Podemos obtenerlas multiplicando numerador y denominador por un mismo número. Por ejemplo, \cfrac{3}{5}=\cfrac{6}{10}=\cfrac{9}{15}

Para saber si dos fracciones son equivalentes, comprobaremos que los productos cruzados de sus numeradores y denominadores coinciden.

\cfrac{a}{b}=\cfrac{c}{d} \quad\Leftrightarrow\quad a \cdot d=b \cdot c

Si multiplicamos o dividimos el numerador y denominador por un mismo número, se obtienen fracciones equivalentes.

ejercicio

Actividades Interactivas: Fracciones equivalentes


  1. Definición
  2. Busca fracciones equivalentes
  3. Comprueba fracciones equivalentes
  4. Une las fracciones equivalentes
  5. Agrupa las fracciones equivalentes

Simplificar fracciones. Fracciones irreducibles

Simplificar una fracción consiste en obtener otra fracción equivalente con numerador y denominador menores. Para ello debemos dividir numerador y denominador por un mismo número. Este proceso se puede repetir hasta que ya no encontremos más divisores comunes distintos de 1, en cuyo caso, la fracción obtenida se dice que es irreducible.

ejercicio

Actividades Interactivas: Simplificar de fracciones


  1. Simplificar fracciones: (nivel 1) (nivel 2)
  2. Fracción irreducible: (nivel 1) (nivel 2) (nivel 3)

Orden

De dos fracciones con el mismo denominador, es mayor la de mayor numerador. Por eso, para ordenar fracciones, debemos primero obtener fracciones equivalentes a las dadas, pero con el mismo denominador. A ésto se le llama reducir a común denominador. Veamos un ejemplo:

ejercicio

Ejemplo: Ordenar fracciones


Ordena las fracciones:
\cfrac{3}{5}\ ,\quad \cfrac{2}{4}\ ,\quad\cfrac{7}{10}

ejercicio

Actividad Interactiva: Ordenar fracciones


Operaciones con fracciones

Suma y resta

Para sumar o restar fracciones:

  • Si las fracciones tienen el mismo denominador, se suman o restan los numeradores y se pone el mismo denominador.
  • Si tienen distintos denominadores, primero se reducen a común denominador y luego se procede como en el caso anterior.

ejercicio

Ejemplo: Suma y resta de fracciones


Calcula: \cfrac{3}{4} + \cfrac{4}{6} - \cfrac{1}{2}

Multiplicación

Para multiplicar fracciones, se pone como numerador, el producro de los numeradores, y como denominador, el producto de los denominadores.

\cfrac{a}{b} \cdot \cfrac{c}{d}=\cfrac{a \cdot c}{b \cdot d}

No obstante, es conveniente simplificar los numeradores entre los denominadores antes de efectuar los productos.

ejercicio

Ejemplo: Producto de fracciones


Calcula: \cfrac{10}{6} \cdot \cfrac{4}{6} \cdot \cfrac{8}{5}

Inversa

Dada una fracción \cfrac {a}{b}\ ,\quad a \ne 0, su inversa es la fracción \cfrac {b}{a}.

Por ejemplo, la inversa de \cfrac {3}{5} es \cfrac {5}{3}.

División

Para dividir dos fracciones, se pone como numerador, el producro del primer numerador por el segundo denominador, y como denominador, el producto del primer denominador por el segundo numerador.

\cfrac{a}{b} : \cfrac{c}{d}=\cfrac{a \cdot d}{b \cdot c}

No obstante, es conveniente simplificar antes de efectuar los productos.

ejercicio

Ejemplo: Cociente de fracciones


Calcula: \cfrac{6}{5} : \cfrac{4}{15}

Potenciación

Las potencias con números racionales cumplen las mismas propiedades que con números naturales y enteros. Tan sólo mencionar el siguiente caso:

Potencias de exponente negativo

Sea n \in \mathbb{N}, se define:
a^{-n}=\cfrac{1}{a^n}

Como consecuencia, \left ( \cfrac{a}{b} \right )^{-n}=\left ( \cfrac{b}{a} \right )^{n}.

Expresión decimal de una fracción

Paso de fracción a decimal

Paso de decimal a fracción

Ejercicios y problemas

Ejercicios

Plantilla:Ejercicio cab

Herramientas personales
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