Probabilidad. Combinatoria

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Tabla de contenidos

1 Experimentos aleatorios
2 Espacio muestral
3 Sucesos
4 Operaciones con sucesos
5 Definición de probabilidad. Propiedades.
6 Probabilidad condicionada
7 Independencia de sucesos
8 Probabilidad total
9 Teorema de Bayes

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Experimentos aleatorios

Los fenómenos o experimentos aleatorios son los que pueden dar lugar a varios resultados, sin que pueda ser previsible enunciar con certeza cuál de estos va a ser observado en la realización del experimento.

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Espacio muestral

Espacio muestral es el conjunto formado por todos los resultados de un experimento o fenómeno aleatorio. Lo denotamos con la letra $E$ .

Ejemplo: Espacio muestral

El espacio muestral asociado al lanzamiento de dos dados y anotar la suma de los puntos

Solución:

$E = \left\{ \, 2, \, 3, \, 4 , \, 5, \, 6 , \, 7, \, 8, \, 9, \, 10, \, 11, \, 12 \, \right\}$

Ejercicios:Espacio muestral

1.Describe el espacio muestral asociado a cada uno de los siguientes experimentos aleatorios:

a) Lanzar tres monedas.

b) Lanzar tres dados y anotar la suma de los puntos obtenidos.

c) Extracción de dos bolas de una urna que contiene cuatro bolas blancas y tres negras.

d) El tiempo, con relación a la lluvia, que hará durante tres días consecutivos.

Solución:

a) Llamando C a obtener cara y X a la obtención de cruz, obtenemos el siguiente espacio muestral:

E={(CCC),(CCX),(CXC),(XCC),(CXX),(XCX),(XXC),(XXX)}

b) E={3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18}

c) Llamando B a sacar bola blanca y N a sacar bola negra, tenemos:

E={BB,BN,NN}

d) Si llamamos L al día lluvioso y N al día sin lluvia, para tres días consecutivos se obtiene el siguiente espacio muestral:

E={(LLL),(LLN),(LNL),(NLL),(LNN),(NLN),(NNL),(NNN)}

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Sucesos

Suceso de un fenómeno aleatorio es cada uno de los subconjuntos del espacio muestral $E$ . Para designar cualquier suceso, tambien llamado suceso aleatorio, de un experimento aleatorio utilizaremos letras mayúsculas.

Al conjunto de todos los sucesos que ocurren en un experimento aleatorio se le llama espacio de sucesos y se designa por $S$ .

Si $E$ tiene un número finito, n, de elementos, el número de sucesos de $E$ es $2 n$

Ejemplo: Sucesos

En el ejemplo anterior, determina los sucesos de $E$ :

a)Salir múltiplo de 5. b)Salir número primo. c)Salir mayor o igual que 10.

Solución:

a)Salir múltiplo de 5: $A = \left\{ \, 5, \, 10 \, \right\}$

b)Salir número primo: $B = \left\{ \, 2, \, 3, \, 5, \, 7, \, 11 \, \right\}$

c)Salir mayor o igual que 10: $C = \left\{ \, 10, \, 11, \, 12 \, \right\}$

Analicemos los tipos mas frecuentes de sucesos.

Sucesos elementales son los que están formados por un solo resultado del experimento.
Sucesos compuestos son los que estan formados por dos o más resultados del experimento; es decir, por dos o más sucesos elementales.
Suceso seguro es el que se verifica al realizar el experimento aleatorio. Está formado por todos los resultados posibles del experimento y, por tanto, coincide con el espacio muestral.
Suceso imposible es el que nunca se verifica. Se representa por $\emptyset$ .

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Operaciones con sucesos

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Inclusión e igualdad de sucesos

Un suceso $A$ esta incluido ( contenido ) en otro suceso $B$ si todo suceso elemental de $A$ pertenece también a $B$ . Se representa por $A \subset B$ .
Dos suceso $A$ y $B$ son iguales si están formados por los mismos sucesos elementales. Se representa por $A = B$ .

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Unión de sucesos

Si tenemos dos sucesos $A$ y $B$ de un mismo experimento aleatorio, llamamos suceso unión de $A$ y $B$ al suceso que se realiza cuando lo hacen $A$ o $B$ . Se representa por $A \cup B$ .

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Intersección de sucesos

Si tenemos dos sucesos $A$ y $B$ de un mismo experimento aleatorio, llamamos suceso intersección de $A$ y $B$ al suceso que se realiza cuando lo hacen $A$ y $B$ . Se representa por $A \cap B$ .

Cuando $A \cap B =\emptyset$ , decimos que los sucesos $A$ y $B$ son incompatibles. Cuando no sucede esto, decimos que $A$ y $B$ son compatibles.

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Sucesos contrarios

Cuando la unión de dos sucesos es el espacio muestral y la intersección de los mismos conjuntos da el conjunto imposible, decimos que ambos sucesos son complementarios o contrarios.

Para un suceso cualquiera $A$ de un experimento aleatorio, llamamos suceso contrario del suceso $A$ al suceso que se verifica cuando no se verifica $A$ , y reciprocamente. Se representa: $\overline{A}$ .

En cualquier experimento aleatorio, todo suceso que se considere tiene su contrario. Las propiedades mas significativas de los sucesos contrarios son:

$A \cup \overline{A} = E \qquad A \cap \overline{A} = \emptyset \qquad \overline{E} = \emptyset \qquad \overline{\emptyset} = E$

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Algebra de Boole de sucesos

La union y la interseccion de sucesos verifican las propiedades conmutativa, asociativa, idempotente, simplificación, distributiva, existencia de elemento neutro y absorción:

Tambien se verifican las siguientes propiedades, conocidas como leyes de De Morgan:

El suceso contrario de la unión de dos sucesos es la intersección de sus sucesos contrarios:

$\overline{A \cup B}= \overline{A} \cap \overline{B}$

El suceso contrario de la intersección de dos sucesos es la unión de sus sucesos contrarios:

$\overline{A \cap B}= \overline{A} \cup \overline{B}$

Ejercicios:Operaciones con sucesos

1. Tenemos una urna con nueve bolas numeradas del 1 al 9. Realizamos el experimento, que consiste en sacar una bola de la urna, anotar el número y devolverla a la urna. Consideramos los siguientes sucesos: A="salir un número primo" y B="salir un número cuadrado". Responde a las cuestiones siguientes:

a) Calcula los sucesos $A \cup B$ y $A \cap B$ .

b) Los sucesos A y B, ¿son compatibles o incompatibles?.

c) Encuentra los sucesos contrarios de A y B.

Solución:

a) Los sucesos A y B están formados por los sucesos elementales que pueden verse a continuación:

A = {2,3,5,7}

B = {1,4,9}

A partir de estos conjuntos, tenemos:

La unión e intersección de A y B son:

$A \cup B$ = {1,2,3,4,5,7,9}

$A \cap B = \varnothing$

b)Como $A \cap B = \varnothing$ , los sucesos A y B son incompatibles.

c) El suceso contrario de A es = {1,4,6,8,9}. El suceso contrario de B es = {2,3,5,6,7,8}

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Definición de probabilidad. Propiedades.

Un experimento aleatorio se caracteriza porque repetido muchas veces y en idénticas condiciones el cociente entre el número de veces que aparece un resultado (suceso) y el número total de veces que se realiza el experimento tiende a un número fijo. Esta propiedad es conocida como ley de los grandes números, establecida por Jakob Bernouilli.

Probabilidad de un suceso es el número al que tiende la frecuencia relativa asociada al suceso a medida que el número de veces que se realiza el experimento crece.

Actividades Interactivas: Probabilidad

Actividad 1.Ley de los grandes números

Actividad:

En esta escena veremos lo que ocurre cuando tiramos una moneda muchas veces. Primero tienes que elegir, en la casilla tiutlada múltiplos de, de cuánto en cuánto tiramos las monedas (de 10 en 10, de 100 en 100, etc.). A continuación, pulsando sobre la flecha azul del control Tiradas, simularemos el lanzamiento de monedas en la cantidad deseada. En cada caso obtendremos la frecuencia relativa de cada suceso, y una gráfica con el número de caras.

Prueba con diferentes tiradas y observa el resultado de las frecuencias relativas en cada caso

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Regla de Laplace

Definición de Laplace. En el caso de que todos los sucesos elementales del espacio muestral E sean equiprobables, Laplace define la probabilidad del suceso A como el cociente entre el número de resultados favorables a que ocurra el suceso A en el experimento y el número de resultados posibles del experimento.

$P(A)= \frac{Casos\ favorables\ a\ A} {Total\ casos\ posibles}$

Video: Las Leyes del Azar (13´)

Sinopsis:

El ser humano siempre ha estado preocupado por lo que le deparará el futuro. Las matemáticas han intentado iluminar, al menos en parte, las pautas que rigen el futuro inmediato sujeto al azar. En nuestro país nos gastamos todas las semanas miles de millones de pesetas en loterías, bonolotos, primitiva, sorteos... Ponemos nuestra suerte y nuestro dinero en manos del azar. Pero el azar tiene sus leyes y en algunas de esas leyes profundizaremos en este programa. Descubriremos, entre otras, cosas la probabilidad de acertar un pleno en la primitiva. Lo que empezó como un juego, un problema de dados planteado a Pascal, se ha convertido en la Teoría de la Probabilidad, una de las herramientas matemáticas más utilizadas en la actualidad. Desde loa aficionados a los juegos de azar, hasta las aseguradoras y las multinacionales toman sus decisiones basándose en las Leyes del Azar.

Video:

Click aquí si no se ve bien la escena

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Combinatoria

A veces es necesario conocer solo el número de casos favorables y posibles. Y sobre todo cuando son valores grandes (número de quinielas distintas, de primitivas..etc.) se recomienda tener ciertos fundamentos de Combinatoria y utilizar para sus cálculos la calculadora estadística.

Combinatoria

Ejemplos Combinatoria

Calculadora estadística

Ejemplo: Regla de Laplace

En una baraja de 40 cartas, ¿cuál es la probabilidad de AS?, ¿Y de OROS?

Solución:

P(As)=número de ases/número total de cartas=4/40=0.1

P(OROS)=número de oros/número total de cartas=10/40=0.25

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Definición axiomática

La definición axiomática de probabilidad se debe a Kolmogorov, quien consideró la relación entre la frecuencia relativa de un suceso y su probabilidad cuando el número de veces que se realiza el experimento es muy grande.

Sea E el espacio muestral de cierto experimento aleatorio. La Probabilidad de cada suceso es un número que verifica:

1º. Cualquiera que sea el suceso A, P(A) $\ge 0$ .

2º. Si dos sucesos son incompatibles, la probabilidad de su unión es igual a la suma de sus probabilidades.

A $\cap$ B = $\varnothing$ $\Rightarrow$ P(A $\cup$ B) = P(A) + P(B).

3º. La probabilidad total es 1. P(E) = 1.

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Propiedades

1. $P( \bar A )= 1 - P(A)$

2. $P( \varnothing )= 0$

3. Si $A \subset B \Rightarrow P(A) \le P(B)$

4. Si

A 1, A 2,..., A k

son incompatibles dos a dos, entonces:

$P(A_1 \cup A_2 \cup ... \cup A_k) = P(A_1) + P(A_2) + ....+ P(A_k)$

5. $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

Ejercicios: Cálculo de probabilidades

1. En una baraja hemos suprimido varia cartas. Entre las que quedan, se dan las siguientes probabilidades de ser extraídas:

P(REY)=0.15, P(BASTOS)=0.3, P("carta que no sea REY ni BASTOS")=0.6.

¿Está entre ellas el REY de BASTOS? En caso afirmativo, da su probabilidad.

¿Cuántas cartas hay?

Solución:

a) $P( ni REY ni BASTOS )= P( \overline{REY} \cap \overline{BASTOS}) \Rightarrow P( REY \cup BASTOS) = 1 - 0.6 = 0.4$

$P( REY \cup BASTOS ) = P( REY ) + P( BASTOS ) - P( REY \cap BASTOS )$

Sustituyendo:

$0.4 = 0.15 + 0.3 - P( REY \cap BASTOS ) \Rightarrow P( REY \cap BASTOS ) = 0.05$
Por tanto, el REY de BASTOS está y su probabilidad es: $P( REY de BASTOS ) = P( REY \cap BASTOS ) = 0.05 = 1/20$

b) Una porción de cartas de una baraja es un instrumento aleatorio "de Laplace", pues la probabilidad de extraer cada una de ellas es la misma. Si en este montón la probabilidad del rey de bastos es 1/20, es porque hay 20 cartas.

2. En una caja tenemos 15 bolas blancas, 30 bolas negras y 45 bolas verdes. Si extraemos tres bolas simultáneamente, ¿cuál es la probabilidad de que salga una bola de cada color?

Solución:

Calcularemos los casos posibles del experimento y los casos favorables al suceso del enunciado para aplicar la regla de Laplace.

Los casos posibles son las distintas formas de extraer 3 bolas entre 90. Como el orden no debe tenerse en cuenta, estos casos son:

$\begin{pmatrix} 90 \\ 3 \end{pmatrix}= \frac{90.89.88} {3.2.1}= 117480$ Los casos favorables son 15 · 30 · 45 = 20250. Éstas son las formas de agrupar tres bolas de distinto color. La probabilidad pedida es:

P(tres bolas del mismo color)= $\frac {20250} {117480}= 0.1724$

3. Si escogemos al azar dos números de teléfono y observamos la última cifra de cada uno, determina las probabilidades siguientes:

a) Que las dos cifras sean iguales

b) Que su suma sea 11

c) Que su suma sea mayor que 7 y menor que 13

Solución:

a) El espacio muestral de este experimento está formado por los cien sucesos elementales: 00, 01, 02, 03, 04, 05, 06, 07, 08, 09, 10, 11, ..., 98, 99. Para cada sucesos del enunciado calculamos sus casos favorables, aplicamos la regla de Laplace y obtenemos:

Los casos favorables son: 00, 11, 22, ..., 99. La probabilidad de que las últimas cifras sean iguales es:

P(últimas cifras iguales) = 10/100 = 1/10 = 0.1

b) Los casos favorables a que la suma de las últimas cifras sea 11 son: 29, 38, 47, 56, 65, 74, 83 y 92. Por tanto,

P(últimas cifras suman once) = 8/100 = 0.08

c) Deben contarse los números de dos cifras cuya suma sea 8, 9, 10, 11 y 12. Haciendo un recuento ordenado, se obtienen 43 casos favorables. La probabilidad buscada es:

P(últimas cifras suman un valor mayor que 7 y menor que 13) = 43/100 = 0.43

4. Se lanzan dos dados equilibrados con seis caras marcadas con los números del 1 al 6. Se pide:

a) Halla la probabilidad de que la suma de los valores que aparecen en la cara superior sea múltiplo de tres.

b) ¿Cuál es la probabilidad de que los valores obtenidos difieran en una cantidad mayor de dos?

Solución:

a) El espacio muestral del experimento es:

E = {(1,1); (1,2); (1,3); (1,4); (1,5); (1,6); (2,1); ...; (6,6)}

y está formado por 36 sucesos elementales equiprobables. Constituyen el número de casos posibles del experimento.

Utilizando la regla de Laplace, calculamos las probabilidades de los sucesos que nos piden:

Si llamamos A al suceso "obtener una suma múltiplo de 3", los casos favorables al suceso A son:

A = {(1,2); (2,1); (1,5); (2,4); (3,3); (4,2); (5,1); (3,6); (4,5); (5,4); (6,3); (6,6)}.

Por tanto, P( A ) = 12/36 = 1/3

b) Si llamamos B al suceso "obtener unos valores que se diferencian en una cantidad mayor que dos", los casos favorables al suceso B son:

B = {(1,4); (4,1); (1,5); (5,1); (1,6); (6,1); (2,5); (5,2); (2,6); (6,2); (3,6);(6,3)}.

Por tanto, P( B ) = 12/36 = 1/3

5.Se tiran tres dados al mismo tiempo. Encuentra la probabilidad de que:

a) La suma de los números aparecidos sea menor que 8.

b) La suma de los números sea mayor que 4 y menor que 8.

Solución:

Los casos posibles de este experimento son las 216 ternas siguientes: 111, 112, 121, 211, ..., 665, 666.

Realizando un recuento ordenado de los casos favorables a los sucesos del enunciado, obtenemos las siguientes probabilidades:

a) P(suma de valores menor que 8)= $\frac {1+3+6+10+15} {216}= 0.1620$

b) P(suma de valores mayor que 4 y menor que 8)= $\frac {6+10+15} {216}= 0.1435$

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Probabilidad condicionada

Llamamos probabilidad condicionada del suceso $B$ respecto del suceso $A$ , y lo denotamos por $\mathrm{P} \left( \, B \left| \, A \, \, \right. \right)$ al cociente

$\mathrm{P} \left( \, B \left| \, A \, \, \right. \right) \, = \, \frac { \mathrm{P} \left( \, A \, \cap \, B \right) } { \mathrm{P} \left( \, A \, \right) }$

Ejemplo: Probabilidad condicionada

Se lanzan dos dados. Si la suma ha sido 7, ¿cuál es la probabilidad de que alguno de los dados haya salido un tres?

Solución:

Sean los sucesos

$A$ = "la suma de los puntos es siete" y

$B$ = "en alguno de los dados ha salido un tres"

El suceso $B \left| \, A \, \right.$ es salir en algún dado 3, si la suma ha sido 7. Observamos que esta situación ocurre en las parejas $\left( \, 3, \, 4 \, \right)$ y $\left( \, 4, \, 3 \, \right)$ . Por tanto,

$\mathrm{P} \left( \, B \left| \, A \, \, \right. \right) \, = \, \frac{2}{6} \, = \, \frac{1}{3}$

Ejercicios resueltos: Probabilidad condicionada

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Independencia de sucesos

Decimos que dos sucesos $A$ y $B$ son independientes entre sí si la ocurrencia de uno de ellos no modifica la probabilidad del otro, es decir, si:

$\mathrm{P} \left( \, B \, \left| \, A \, \, \right. \right) \, = \, \mathrm{P} \left( \, B \, \right) \qquad \mathrm{o} \qquad \mathrm{P} \left( \, A \, \left| \, B \, \, \right. \right) \, = \, \mathrm{P} \left( \, A \, \right)$

o lo que es lo mismo:

$A \quad \mathrm{y} \quad B \quad \ son \ independientes \quad \Leftrightarrow \quad \mathrm{P} \left( \, A \, \cap \, B \, \right) \, = \, \mathrm{P} \left( \, A \, \right) \cdot \mathrm{P} \left( \, B \, \right)$

Ejercicios:Independencia de sucesos

1.. Calcula la probabilidad de que al extraer 3 cartas, con reemplazamiento, de una baraja española, sean todas copas.

Solución:

Como la carta extraída se vuelve a introducir, los sucesos son independientes y la probabilidad buscada es:

$\mathrm{P} \left( \, C_1 \, \cap C_2 \, \cap C_3 \, \right) \, = \, \mathrm{P} \left( \, C_1 \, \right) \cdot \mathrm{P} \left( \, C_2 \, \left| \, C_1 \, \right. \right) \cdot \mathrm{P} \left( \, C_3 \, \left| \, C_1, \, C_2 \, \right. \right) \, = \, \mathrm{P} \left( \, C_1 \, \right) \cdot \mathrm{P} \left( \, C_2 \, \right) \cdot \mathrm{P} \left( \, C_3 \, \right)$

$\, = \, \frac{10}{40} \cdot \frac{10}{40} \cdot \frac{10}{40}$

donde

C i

denota el suceso salir copas en la extracción número

i

2.. Calcula la probabilidad de que al extraer 3 cartas, sucesivamente, de una baraja española, sean todas copas.

Solución:

En este caso, los sucesos

$C_1, \, C_2 \quad \mathrm{y} \quad C_3$ no son independientes.

$\mathrm{P} \left( \, C_1 \, \cap C_2 \, \cap C_3 \, \right) \, = \, \mathrm{P} \left( \, C_1 \, \right) \cdot \mathrm{P} \left( \, C_2 \, \left| \, C_1 \, \right. \right) \cdot \mathrm{P} \left( \, C_3 \, \left| \, C_1, \, C_2 \, \right. \right) \, = \, \frac{10}{40} \cdot \frac{9}{39} \cdot \frac{8}{38}$

Probabilidad de aprobar cuando sólo se domina parte de la asignatura

Probabilidad de meter un gol en una tanda de penaltis

Probabilidad de obtener dos números pares lanzando dos dados

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Probabilidad total

Llamamos sistema completo de sucesos a una familia de sucesos $A 1, A 2,..., A n$ que cumplen:

1. Son incompatibles dos a dos, $A_i \cap A_j = \varnothing$

2. La unión de todos ellos es el suceso seguro, $\bigcup_{i=1}^{n} A_i = E$

Teorema de la probabilidad total:

Sea $A 1, A 2,..., A n$ un sistema completo de sucesos tales que la probabilidad de cada uno de ellos es distinta de cero, y sea B un suceso cualquier del que se conocen las probabilidades condicionales P(B/Ai), entonces:

$\mathrm{P} \left( \, B \, \right) ={ \mathrm{P} \left( \, A_1 \, \right) \cdot \mathrm{P} \left( \, B \, \left| \, A_1 \, \right. \right) \, + \, \mathrm{P} \left( \, A_2 \, \right) \cdot \mathrm{P} \left( \, B \, \left| \, A_2 \, \right. \right) \, + \, \ldots \, + \, \mathrm{P} \left( \, A_n \, \right) \cdot \mathrm{P} \left( \, B \, \left| \, A_n \, \right. \right) }$

Ejercicios:Probabilidad total

1.. Una compañía dedicada al transporte público explota tres líneas de una ciudad, de forma que el 60% de los autobuses cubre el servicio de la primero línea, el 30% cubre la segunda y el 10% cubre el servicio de la tercera línea. Se sabe que la probabilidad de que, diariamente, un autobús se averíe es del 2%, 4% y 1%, respectivamente, para cada línea. Determina la probabilidad de que, en un día, un autobús sufra una avería.

Solución:

El suceso "sufrir una avería" (B) puede producirse en las tres líneas, (L1, L2, L3). Según el teorema de la probabilidad total, tenemos:

$\mathrm{P} \left( \, B \, \right) ={ \mathrm{P} \left( \, L_1 \, \right) \cdot \mathrm{P} \left( \, B \, \left| \, L_1 \, \right. \right) \, + \, \mathrm{P} \left( \, L_2 \, \right) \cdot \mathrm{P} \left( \, B \, \left| \, L_2 \, \right. \right) \, + \, \mathrm{P} \left( \, L_3 \, \right) \cdot \mathrm{P} \left( \, B \, \left| \, L_3 \, \right. \right) }$

=0.6 · 0.02 + 0.3 · 0.04 + 0.1 · 0.01 = 0.012 + 0.012 + 0.001 = 0.025

2..Una empresa del ramo de la alimentación elabora sus productos en cuatro factorías: F1, F2, F3 y F4. El porcentaje de producción total que se fabrica en cada factoría es del 40%, 30%, 20% y 10%, respectivamente, y además el porcentaje de envasado incorrecto en cada factoría es del 1%, 2%, 7% y 4%. Tomamos un producto de la empresa al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que se encuentre defectuosamente envasado?

Solución:

Llamando M = "el producto está defectuosamente envasado", se tiene que este producto puede proceder de cada una de las cuatro factorías y, por tanto, según el teorema de la probabilidad total tenemos:

$\mathrm{P} \left(\, M \, \right) ={ \mathrm{P} \left( \, F_1 \, \right) \cdot \mathrm{P} \left( \, M \, \left| \, F_1 \, \right. \right) \, + \, \mathrm{P} \left( \, F_2 \, \right) \cdot \mathrm{P} \left( \, M \, \left| \, F_2 \, \right. \right)}$
$\, + \, {\mathrm{P} \left( \, F_3 \, \right) \cdot \mathrm{P} \left( \, M \, \left| \, F_3 \, \right. \right) \, + \, \mathrm{P} \left( \, F_4 \, \right) \cdot \mathrm{P} \left( \, M \, \left| \, F_4 \, \right. \right) }$

= 0.4 · 0.01 + 0.3 · 0.02 + 0.2 · 0.07 + 0.1 · 0.04 = 0.004 + 0.006 + 0.014 + 0.004 = 0.028

3..Se lanzan dos monedas al aire. Si salen dos caras, se extrae una bola de una urna I, que contiene 2 bolas blancas y 3 negras. Si sale cara y cruz, se extrae una bola de una urna II, que contiene 4 bolas blancas y 1 negra. Si salen dos cruces, se extrae una bola de una urna III, que contiene 3 bolas blancas y 2 negras. ¿Cuál es la probabilidad de extraer bola blanca después de lanzar las monedas y sacar la bola?

Solución:

$\mathrm{P} \left( \, B \, \right) ={ \mathrm{P} \left( \, U_I \, \right) \cdot \mathrm{P} \left( \, B \, \left| \, U_I \, \right. \right) \, + \, \mathrm{P} \left( \, U_{II} \, \right) \cdot \mathrm{P} \left( \, B \, \left| \, U_{II} \, \right. \right) \, + \, \mathrm{P} \left( \, U_{III} \, \right) \cdot \mathrm{P} \left( \, B \, \left| \, U_{III} \, \right. \right) }$

=1/4 · 2/5 + 2/4 · 4/5 + 1/4 · 3/5 = 13/20

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Teorema de Bayes

Sean $A_1, \, A_2, \, \ldots, \, A_n \,$ sucesos incompatibles dos a dos, tales que siempre ocurre alguno de ellos, y sea $B$ un suceso cualquiera del que se conocen las probabilidades condicionales $\mathrm{P} \left( \, B \, \left| \, A_i \, \right. \right)$ .
Entonces las probabilidades $\mathrm{P} \left( \, A_i \, \left| \, B \, \right. \right)$ vienen dadas por la expresión:

$\mathrm{P} \left( \, A_i \, \left| \, B \, \right. \right) \, = \, \frac { \mathrm{P} \left( \, A_i \, \right) \cdot \mathrm{P} \left( \, B \, \left| \, A_i \, \right. \right) } { \mathrm{P} \left( \, A_1 \, \right) \cdot \mathrm{P} \left( \, B \, \left| \, A_1 \, \right. \right) \, + \, \mathrm{P} \left( \, A_2 \, \right) \cdot \mathrm{P} \left( \, B \, \left| \, A_2 \, \right. \right) \, + \, \ldots \, + \, \mathrm{P} \left( \, A_n \, \right) \cdot \mathrm{P} \left( \, B \, \left| \, A_n \, \right. \right) }$

Demostración
Por definición de probabilidad condicionada

$\mathrm{P} \left( \, A_i \, \cap \, B \, \right) \, = \, \mathrm{P} \left( \, A_i \, \right) \cdot \mathrm{P} \left( \, B \, \left| \, A_i \, \right. \right) \, = \, \mathrm{P} \left( \, B \, \right) \cdot \mathrm{P} \left( \, A_i \, \left| \, B \, \right. \right)$
despejando $\mathrm{P} \left( \, A_i \, \left| \, B \, \right. \right)$ , se tiene:
$\mathrm{P} \left( \, A_i \, \left| \, B \, \right. \right) \, = \, \frac { \mathrm{P} \left( \, A_i \, \right) \cdot \mathrm{P} \left( \, B \, \left| \, A_i \, \right. \right) } { \mathrm{P} \left( \, B \, \right) }$
La probabilidad $\mathrm{P} \left( \, B \, \right)$ , por el teorema de la probabilidad total, es igual a

$\mathrm{P} \left( \, A_1 \, \right) \cdot \mathrm{P} \left( \, B \, \left| \, A_1 \, \right. \right) \, + \, \mathrm{P} \left( \, A_2 \, \right) \cdot \mathrm{P} \left( \, B \, \left| \, A_2 \, \right. \right) \, + \, \ldots \, + \, \mathrm{P} \left( \, A_n \, \right) \cdot \mathrm{P} \left( \, B \, \left| \, A_n \, \right. \right)$
Sustituyendo en la ecuación anterior, obtenemos la fórmula de Bayes.

Ejemplo:Teorema de Bayes

Tenemos tres urnas: $U 1$ con tres bolas rojas y cinco negras, $U 2$ con dos bolas rojas y una negra y $U 3$ con dos bolas rojas y tres negras. Escogemos una urna al azar y extraemos una bola. Si la bola ha sido roja, ¿cuál es la probabilidad de haber sido extraída de la urna $U 1$ ?

Solución:

Llamamos $R$ al suceso sacar bola roja. La probabilidad pedida es $\mathrm{P} \left( \, U_1 \, \left| \, R \, \, \right. \right)$ . Utilizando el teorema de Bayes, tenemos:

$\mathrm{P} \left( \, U_1 \, \left| \, R \, \, \right. \right) \, = \, \frac {\mathrm{P} \left( \, U_1 \, \right) \cdot \mathrm{P} \left( \, R \, \left| \, U_1 \, \right. \right) }{ \mathrm{P} \left( \, U_1 \, \right) \cdot \mathrm{P} \left( \, R \, \left| \, U_1 \, \right. \right) \, + \, \mathrm{P} \left( \, U_2 \, \right) \cdot \mathrm{P} \left( \, R \, \left| \, U_2 \, \right. \right) \, + \, \mathrm{P} \left( \, U_3 \, \right) \cdot \mathrm{P} \left( \, R \, \left| \, U_3 \, \right. \right) }$

$\, = \, \frac { \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{8} } { \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{8} \, + \, \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} \, + \, \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{5} }$

Problemas Selectividad

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Probabilidad. Combinatoria

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Tabla de contenidos

Experimentos aleatorios

Espacio muestral

Sucesos

Operaciones con sucesos

Inclusión e igualdad de sucesos

Unión de sucesos

Intersección de sucesos

Sucesos contrarios

Algebra de Boole de sucesos

Definición de probabilidad. Propiedades.

Regla de Laplace

Combinatoria

Definición axiomática

Propiedades

Probabilidad condicionada

Independencia de sucesos

Probabilidad total

Teorema de Bayes

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Herramientas

-==Experimentos aleatorios==
+{{Menú Estadistica 2BH
+|ir=
+|ampliar=[http://w3.cnice.mec.es/recursos/bachillerato/matematicas/probabilidad/index.html Probabilidad y juego]
+|repasar=
+|enlaces=[http://www.omerique.net/aux/oposiciones/ Probabilidad en las oposiciones]
+}}
-Los fenómenos o experimentos aleatorios son los que pueden dar lugar a varios resultados,
+==Experimentos aleatorios==
+{{Caja_Amarilla|texto=
+Los fenómenos o '''experimentos aleatorios''' son los que pueden dar lugar a varios resultados,
 sin que pueda ser previsible enunciar con certeza cuál de estos va a ser observado en la
 realización del experimento.
+}}
-A la colección de resultados que se obtiene en los experimentos aleatorios se le llama
-espacio muestral.
 <br/>
 ==Espacio muestral==
+{{Caja_Amarilla|texto=
-<br/>
+'''Espacio muestral''' es el conjunto formado por todos los resultados de un experimento o
-Espacio muestral es el conjunto formado por todos los resultados de un experimento o
 fenómeno aleatorio. Lo denotamos con la letra &nbsp;
 <math>
 </math>
 .
+}}
+<br>
-<br/>
+{{Ejemplo|titulo=Ejemplo: ''Espacio muestral''
+|enunciado=El espacio muestral asociado al lanzamiento de dos dados y anotar la suma de los puntos
-====Ejemplo====
+|sol=<center>
-<br/>
-El espacio muestral asociado al lanzamiento de dos dados y anotar la suma de los puntos
-obtenidos es:
-<br/>
-<center>
 <math>
 E =
 </math>
 </center>
+}}
 <br/>
+{{ejercicio|titulo=Ejercicios:''Espacio muestral''
+|cuerpo=
+{{ejercicio_cuerpo
+|enunciado= '''1'''.Describe el espacio muestral asociado a cada uno de los siguientes experimentos aleatorios:
-----
+a) Lanzar tres monedas.
+b) Lanzar tres dados y anotar la suma de los puntos obtenidos.
+c) Extracción de dos bolas de una urna que contiene cuatro bolas blancas y tres negras.
+d) El tiempo, con relación a la lluvia, que hará durante tres días consecutivos.
+|sol=
+a) Llamando C a obtener cara y X a la obtención de cruz, obtenemos el siguiente espacio muestral:
-<br/>
+E={(CCC),(CCX),(CXC),(XCC),(CXX),(XCX),(XXC),(XXX)}
-==Sucesos==
+b) E={3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18}
-<br/>
+c) Llamando B a sacar bola blanca y N a sacar bola negra, tenemos:
+E={BB,BN,NN}
+d) Si llamamos L al día lluvioso y N al día sin lluvia, para tres días consecutivos se obtiene el siguiente espacio muestral:
+E={(LLL),(LLN),(LNL),(NLL),(LNN),(NLN),(NNL),(NNN)}
+}}
+}}
+==Sucesos==
+{{Caja_Amarilla|texto=
 Suceso de un fenómeno aleatorio es cada uno de los subconjuntos del espacio muestral
 &nbsp;
 .
+Si <math>E</math> tiene un número finito, n, de elementos, el número de sucesos de <math>
+E
+</math> es <math>2^n</math>
+}}
 <br/>
-====Ejemplo====
+{{Ejemplo|titulo=Ejemplo: ''Sucesos''
+|enunciado=
-<br/>
+En el ejemplo anterior, determina los sucesos de &nbsp;<math>
-En el ejemplo anterior, son subconjuntos de &nbsp;
-<math>
 E
 </math>:
-<br/>
+a)Salir múltiplo de 5. b)Salir número primo. c)Salir mayor o igual que 10.
+|sol=
-Salir múltiplo de 5: &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;
+a)Salir múltiplo de 5: &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;
 <math>
 A =
 <br/>
-Salir número primo: &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;
+b)Salir número primo: &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;
 <math>
 B =
 <br/>
-Salir mayor o igual que 10: &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;
+c)Salir mayor o igual que 10: &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;
 <math>
 C =
 </math>
 &nbsp;
+}}
-<br/>
+<br>
-----
-<br/>
 Analicemos los tipos mas frecuentes de sucesos.
 <br/>
+{{Caja_Amarilla|texto=
 '''Sucesos elementales''' son los que están formados por un solo resultado del
 experimento.
 <br/>
 '''Sucesos compuestos''' son los que estan formados por dos o más resultados del
 experimento; es decir, por dos o más sucesos elementales.
 <br/>
 '''Suceso seguro''' es el que se verifica al realizar el experimento aleatorio. Está
 formado por todos los resultados posibles del experimento y, por tanto, coincide con el
 espacio muestral.
 <br/>
 '''Suceso imposible''' es el que nunca se verifica. Se representa por &nbsp;
 <math>
 </math>
 .
-==Inclusión e igualdad de sucesos==
+}}
-<br/>
+==Operaciones con sucesos==
+===Inclusión e igualdad de sucesos===
+{{Caja_Amarilla|texto=
 Un suceso &nbsp;
 <math>
 </math>
 .
 <br/>
 Dos suceso &nbsp;
 <math>
 </math>
 .
+}}
-<br/>
-==Unión de sucesos==
 <br/>
+===Unión de sucesos===
+{{Caja_Amarilla|texto=
 Si tenemos dos sucesos &nbsp;
 <math>
 </math>
 .
+}}
 <br/>
-==Intersección de sucesos==
+===Intersección de sucesos===
+{{Caja_Amarilla|texto=
-<br/>
 Si tenemos dos sucesos &nbsp;
 <math>
 Cuando &nbsp;
 <math>
-A \cup B
+A \cap B =\emptyset
 </math>
-&nbsp; es el suceso imposible, decimos que los sucesos &nbsp;
+&nbsp;, decimos que los sucesos &nbsp;
 <math>
 A
 B
 </math>
-&nbsp; son incompatibles. Cuando no sucede esto, decimos que &nbsp;
+&nbsp; son '''incompatibles'''. Cuando no sucede esto, decimos que &nbsp;
 <math>
 A
 B
 </math>
-&nbsp; son compatibles.
+&nbsp; son '''compatibles'''.
+}}
-<br/>
-==Sucesos contrarios==
 <br/>
+===Sucesos contrarios===
+{{Caja_Amarilla|texto=
 Cuando la unión de dos sucesos es el espacio muestral y la intersección de los mismos
-conjuntos da el conjunto imposible, decimos que ambos sucesos son complementarios o
+conjuntos da el conjunto imposible, decimos que ambos sucesos son '''complementarios o
-contrarios.
+contrarios'''.
 Para un suceso cualquiera &nbsp;
 A
 </math>
-, &nbsp; y reciprocamente. Se representa por &nbsp;
+, &nbsp; y reciprocamente. Se representa: &nbsp;
 <math>
 \overline{A}
 </math>
 .
 <br/>
 En cualquier experimento aleatorio, todo suceso que se considere tiene su contrario. Las
 propiedades mas significativas de los sucesos contrarios son:
 <br/>
 <center>
 <math>
 </math>
 </center>
+}}
+<center><iframe>
+url=http://maralboran.org/web_ma/wiki_Estadistica/Azar_y_Probabilidad/tablasucesos.htm
+width=100%
+height=550
+name=myframe
+</iframe></center>
 <br/>
-==Algebra de Boole de sucesos==
+===Algebra de Boole de sucesos===
 La union y la interseccion de sucesos verifican las propiedades conmutativa, asociativa,
 <br/>
 <center>
-[[Image:tabla2.gif]]
+[[Image:tabla.gif]]
 </center>
+{{Caja_Amarilla|texto=
+Tambien se verifican las siguientes propiedades, conocidas como '''leyes de De Morgan''':
+El suceso contrario de la unión de dos sucesos es la intersección de sus sucesos contrarios:
+<center>
+<math> \overline{A \cup B}= \overline{A} \cap \overline{B}</math>
+</center>
+El suceso contrario de la intersección de dos sucesos es la unión de sus sucesos contrarios:
+<center>
+<math> \overline{A \cap B}= \overline{A} \cup \overline{B}</math>
+</center>
+}}
+<br>
+{{ejercicio|titulo=Ejercicios:''Operaciones con sucesos''
+|cuerpo=
+{{ejercicio_cuerpo
+|enunciado='''1'''. Tenemos una urna con nueve bolas numeradas del 1 al 9. Realizamos el experimento, que consiste en sacar una bola de la urna, anotar el número y devolverla a la urna. Consideramos los siguientes sucesos: A="salir un número primo" y B="salir un número cuadrado". Responde a las cuestiones siguientes:
+a) Calcula los sucesos <math> A \cup B </math> y <math> A \cap B </math>.
+b) Los sucesos A y B, ¿son compatibles o incompatibles?.
+c) Encuentra los sucesos contrarios de A y B.
+|sol=
+a) Los sucesos A y B están formados por los sucesos elementales que pueden verse a continuación:
+A = {2,3,5,7}
+B = {1,4,9}
+A partir de estos conjuntos, tenemos:
+La unión e intersección de A y B son:
+<math> A \cup B </math>= {1,2,3,4,5,7,9}
+<math> A \cap B  = \varnothing </math>
+b)Como <math> A \cap B  = \varnothing </math>, los sucesos A y B son incompatibles.
+c) El suceso contrario de A es  = {1,4,6,8,9}. El suceso contrario de B es  = {2,3,5,6,7,8}
+}}
+}}
+==Definición de probabilidad. Propiedades.==
+Un experimento aleatorio se caracteriza porque repetido muchas veces y en idénticas condiciones el cociente entre el número de veces que aparece un resultado (suceso) y el número total de veces que se realiza el experimento tiende a un número fijo. Esta propiedad es conocida como '''ley de los grandes números''', establecida por ''Jakob Bernouilli''.
+{{Caja_Amarilla|texto=
+'''Probabilidad''' de un suceso es el número al que tiende la frecuencia relativa asociada al suceso a medida que el número de veces que se realiza el experimento crece.
+}}
+<br>
+{{AI2|titulo=Actividades Interactivas: ''Probabilidad''
+|cuerpo=
+{{ai_cuerpo
+|enunciado='''Actividad 1.'''Ley de los grandes números'''
+|actividad=En esta escena veremos lo que ocurre cuando tiramos una moneda muchas veces. Primero tienes que elegir, en la casilla tiutlada múltiplos de, de cuánto en cuánto tiramos las monedas (de 10 en 10, de 100 en 100, etc.). A continuación, pulsando sobre la flecha azul del control Tiradas, simularemos el lanzamiento de monedas en la cantidad deseada. En cada caso obtendremos la frecuencia relativa de cada suceso, y una gráfica con el número de caras.
+Prueba con diferentes tiradas y observa el resultado de las frecuencias relativas en cada caso
+<center><iframe>
+url=http://maralboran.org/web_ma/wiki_Estadistica/Azar_y_Probabilidad/grandnum/grandesnumeros.html
+width=100%
+height=400
+name=myframe
+</iframe></center>
+}}
+}}
+<br>
+===Regla de Laplace===
+{{Caja_Amarilla|texto=
+'''Definición de Laplace.'''
+En el caso de que todos los sucesos elementales del espacio muestral E sean equiprobables, Laplace define la probabilidad del suceso A como el cociente entre el número de resultados favorables a que ocurra el suceso A en el experimento y el número de resultados posibles del experimento.
+{{Caja|contenido=
+<center>
+<math> P(A)= \frac{Casos\ favorables\ a\ A} {Total\ casos\ posibles}
+</math>
+</center>
+}}
+}}
+<br>
+{{Video
+|titulo=Las Leyes del Azar
+|duracion=13´
+|sinopsis=El ser humano siempre ha estado preocupado por lo que le deparará el futuro. Las matemáticas han intentado iluminar, al menos en parte, las pautas que rigen el futuro inmediato sujeto al azar. En nuestro país nos gastamos todas las semanas miles de millones de pesetas en loterías, bonolotos, primitiva, sorteos... Ponemos nuestra suerte y nuestro dinero en manos del azar. Pero el azar tiene sus leyes y en algunas de esas leyes profundizaremos en este programa. Descubriremos, entre otras, cosas la probabilidad de acertar un pleno en la primitiva. Lo que empezó como un juego, un problema de dados planteado a Pascal, se ha convertido en la Teoría de la Probabilidad, una de las herramientas matemáticas más utilizadas en la actualidad. Desde loa aficionados a los juegos de azar, hasta las aseguradoras y las multinacionales toman sus decisiones basándose en las Leyes del Azar.|video=
+<center><iframe>
+url=http://maralboran.org/web_ma/videos/azar/azar.htm
+width=100%
+height=650
+name=myframe
+</iframe></center>
+<center>[http://maralboran.org/web_ma/videos/azar/azar.htm '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>
+}}
+===Combinatoria===
+{{Caja_Amarilla|texto=
+A veces es necesario conocer solo el número de casos favorables y posibles. Y sobre todo cuando son valores grandes (número de quinielas distintas, de primitivas..etc.) se recomienda tener ciertos fundamentos de '''Combinatoria''' y utilizar para sus cálculos la calculadora estadística.
+[http://maralboran.org/web_ma/wiki_Estadistica/combinatoria.html Combinatoria]
+[http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0516-02/practica/index.html Ejemplos Combinatoria]
+[http://maralboran.org/web_ma/wiki_Estadistica/descriptiva/Calculadora.html Calculadora estadística]
+}}
+<br>
+{{Ejemplo|titulo=Ejemplo: ''Regla de Laplace''
+|enunciado=
+En una baraja de 40 cartas, ¿cuál es la probabilidad de AS?, ¿Y de OROS?
+|sol=
+P(As)=número de ases/número total de cartas=4/40=0.1
+P(OROS)=número de oros/número total de cartas=10/40=0.25
+}}
+===Definición axiomática===
+{{Caja_Amarilla|texto=
+La definición axiomática de probabilidad se debe a ''Kolmogorov'', quien consideró la relación entre la frecuencia relativa de un suceso y su probabilidad cuando el número de veces que se realiza el experimento es muy grande.
+Sea E el espacio muestral de cierto experimento aleatorio. '''La Probabilidad''' de cada suceso es un número que verifica:
+:1º. Cualquiera que sea el suceso A, P(A)<math>\ge 0 </math>.
+:2º. Si dos sucesos son incompatibles, la probabilidad de su unión es igual a la suma de sus probabilidades.
+<center>
+A <math>\cap </math> B = <math> \varnothing </math> <math>\Rightarrow </math>P(A <math> \cup </math> B) = P(A) + P(B).
+</center>
+:3º. La probabilidad total es 1.''' P(E) = 1.'''
+}}
+<br>
+<center><iframe>
+url=http://maralboran.org/web_ma/wiki_Estadistica/Azar_y_Probabilidad/probable.html
+width=100%
+height=150
+name=myframe
+</iframe></center>
+<br>
+===Propiedades===
+{{Caja_Amarilla|texto=
+:1. <math>  P( \bar A )= 1 - P(A)</math>
+:2. <math>  P( \varnothing )= 0 </math>
+:3. Si <math> A \subset B \Rightarrow P(A) \le P(B)</math>
+:4. Si <math> A_1, A_2,..., A_k </math> son '''incompatibles dos a dos''', entonces:
+<center>
+<math> P(A_1 \cup A_2 \cup ... \cup A_k) = P(A_1) + P(A_2) + ....+ P(A_k)</math>
+</center>
+:5. <math> P(A \cup B) = P(A) + P(B) -  P(A \cap B)</math>
+}}
+<br>
+{{ejercicio|titulo=Ejercicios: Cálculo de probabilidades
+|cuerpo=
+{{ejercicio_cuerpo
+|enunciado= '''1.'''
+En una baraja hemos suprimido varia cartas. Entre las que quedan, se dan las siguientes probabilidades de ser extraídas:
+P(REY)=0.15, P(BASTOS)=0.3, P("carta que no sea REY ni BASTOS")=0.6.
+¿Está entre ellas el REY de BASTOS? En caso afirmativo, da su probabilidad.
+¿Cuántas cartas hay?
+|sol=
+a) <math> P( ni REY ni BASTOS )= P( \overline{REY} \cap \overline{BASTOS}) \Rightarrow P( REY \cup BASTOS) = 1 - 0.6 = 0.4 </math>
+<br>
+<math> P( REY \cup BASTOS ) = P( REY ) + P( BASTOS ) - P( REY \cap BASTOS )
+</math>
+Sustituyendo:
+<math>0.4 = 0.15 + 0.3 - P( REY \cap BASTOS ) \Rightarrow  P( REY \cap BASTOS ) = 0.05
+</math>
+<br>
+Por tanto, el REY de BASTOS está y su probabilidad es:
+<math>
+P( REY de BASTOS ) = P( REY \cap BASTOS ) = 0.05 = 1/20
+</math>
+<br>
+b) Una porción de cartas de una baraja es un instrumento aleatorio "de Laplace", pues la probabilidad de extraer cada una de ellas es la misma. Si en este montón la probabilidad del rey de bastos es 1/20, es porque hay 20 cartas.
+}}
+{{ejercicio_cuerpo
+|enunciado= '''2'''. En una caja tenemos 15 bolas blancas, 30 bolas negras y 45 bolas verdes. Si extraemos tres bolas simultáneamente, ¿cuál es la probabilidad de que salga una bola de cada color?
+|sol=
+Calcularemos los casos posibles del experimento y los casos favorables al suceso del enunciado para aplicar la regla de Laplace.
+Los casos posibles son las distintas formas de extraer 3 bolas entre 90. Como el orden no debe tenerse en cuenta, estos casos son:
+<center>
+<math> \begin{pmatrix} 90 \\ 3 \end{pmatrix}= \frac{90.89.88} {3.2.1}= 117480
+</math>
+</center>
+Los casos favorables son 15 · 30 · 45 = 20250. Éstas son las formas de agrupar tres bolas de distinto color. La probabilidad pedida es:
+P(tres bolas del mismo color)= <math> \frac {20250} {117480}= 0.1724 </math>
+}}
+{{ejercicio_cuerpo
+|enunciado='''3.'''
+Si escogemos al azar dos números de teléfono y observamos la última cifra de cada uno, determina las probabilidades siguientes:
+a) Que las dos cifras sean iguales
+b) Que su suma sea 11
+c) Que su suma sea mayor que 7 y menor que 13
+|sol=
+a) El espacio muestral de este experimento está formado por los cien sucesos elementales: 00, 01, 02, 03, 04, 05, 06, 07, 08, 09, 10, 11, ..., 98, 99. Para cada sucesos del enunciado calculamos sus casos favorables, aplicamos la regla de Laplace y obtenemos:
+Los casos favorables son: 00, 11, 22, ..., 99. La probabilidad de que las últimas cifras sean iguales es:
+P(últimas cifras iguales) = 10/100 = 1/10 = 0.1
+b) Los casos favorables a que la suma de las últimas cifras sea 11 son: 29, 38, 47, 56, 65, 74, 83 y 92. Por tanto,
+P(últimas cifras suman once) = 8/100 = 0.08
+c) Deben contarse los números de dos cifras cuya suma sea 8, 9, 10, 11 y 12. Haciendo un recuento ordenado, se obtienen 43 casos favorables. La probabilidad buscada es:
+P(últimas cifras suman un valor mayor que 7 y menor que 13) = 43/100 = 0.43
+}}
+{{ejercicio_cuerpo
+|enunciado='''4'''. Se lanzan dos dados equilibrados con seis caras marcadas con los números del 1 al 6. Se pide:
+a) Halla la probabilidad de que la suma de los valores que aparecen en la cara superior sea múltiplo de tres.
+b) ¿Cuál es la probabilidad de que los valores obtenidos difieran en una cantidad mayor de dos?
+|sol=
+a) El espacio muestral del experimento es:
+E = {(1,1); (1,2); (1,3); (1,4); (1,5); (1,6); (2,1); ...; (6,6)}
+y está formado por 36 sucesos elementales equiprobables. Constituyen el número de casos posibles del experimento.
+Utilizando la regla de Laplace, calculamos las probabilidades de los sucesos que nos piden:
+Si llamamos A al suceso "obtener una suma múltiplo de 3", los casos favorables al suceso A son:
+A = {(1,2); (2,1); (1,5); (2,4); (3,3); (4,2); (5,1); (3,6); (4,5); (5,4); (6,3); (6,6)}.
+Por tanto, P( A ) = 12/36 = 1/3
+b) Si llamamos B al suceso "obtener unos valores que se diferencian en una cantidad mayor que dos", los casos favorables al suceso B son:
+B = {(1,4); (4,1); (1,5); (5,1); (1,6); (6,1); (2,5); (5,2); (2,6); (6,2); (3,6);(6,3)}.
+Por tanto, P( B ) = 12/36 = 1/3
+}}
+{{ejercicio_cuerpo
+|enunciado='''5'''.Se tiran tres dados al mismo tiempo. Encuentra la probabilidad de que:
+a) La suma de los números aparecidos sea menor que 8.
+b) La suma de los números sea mayor que 4 y menor que 8.
+|sol=
+Los casos posibles de este experimento son las 216 ternas siguientes: 111, 112, 121, 211, ..., 665, 666.
+Realizando un recuento ordenado de los casos favorables a los sucesos del enunciado, obtenemos las siguientes probabilidades:
+a) P(suma de valores menor que 8)=<math> \frac {1+3+6+10+15} {216}= 0.1620 </math>
+b) P(suma de valores mayor que 4 y menor que 8)=<math> \frac {6+10+15} {216}= 0.1435 </math>
+}}
+}}
+==Probabilidad condicionada==
+{{Caja_Amarilla|texto=
+Llamamos '''''probabilidad condicionada''''' del suceso &nbsp;
+<math>
+B
+</math>
+&nbsp; respecto del suceso &nbsp;
+<math>
+A
+</math>
+, y lo denotamos por &nbsp;
+<math>
+\mathrm{P}
+\left(
+  \, B \left| \, A \, \, \right.
+\right)
+</math>
+&nbsp; al cociente
+<br/>
+<center>
+{{Caja|contenido=
+<math>
+\mathrm{P}
+\left(
+  \, B \left| \, A \, \, \right.
+\right)
+\, = \,
+\frac
+{
+    \mathrm{P}
+  \left(
+    \, A \, \cap \, B
+  \right)
+}
+{
+  \mathrm{P}
+  \left(
+    \, A \,
+  \right)
+}
+</math>
+}}
+</center>
+}}
+<br/>
+{{Ejemplo|titulo=Ejemplo: ''Probabilidad condicionada''
+|enunciado=
+Se lanzan dos dados. Si la suma ha sido 7, ¿cuál es la probabilidad de que alguno de los
+dados haya salido un tres?
+|sol=
+Sean los sucesos &nbsp;
+<br/>
+<math>
+A
+</math>
+&nbsp; = "la suma de los puntos es siete"  y
+<br/>
+<math>
+B
+</math>
+&nbsp; = "en alguno de los dados ha salido un tres"
+<br/>
+El suceso &nbsp;
+<math>
+B \left| \, A \, \right.
+</math>
+&nbsp; es salir en algún dado 3, si la suma ha sido 7. Observamos que esta situación
+ocurre en las parejas &nbsp;
+<math>
+\left(
+   \, 3, \, 4 \,
+\right)
+</math>
+&nbsp; y &nbsp;
+<math>
+\left(
+   \, 4, \, 3 \,
+\right)
+</math>
+. Por tanto,
+<br/>
+<center>
+<math>
+\mathrm{P}
+\left(
+  \, B \left| \, A \, \, \right.
+\right)
+\, = \, \frac{2}{6} \, = \, \frac{1}{3}
+</math>
+</center>
+}}
+<br>
+[http://www.educared.net/universidad/asp_problemas/problemasvisualizar.asp?idAsignatura=1&idProblema=517  Ejercicios resueltos: Probabilidad condicionada]
+<br>
+==Independencia de sucesos==
+{{Caja_Amarilla|texto=
+Decimos que dos sucesos &nbsp;
+<math>
+A
+</math>
+&nbsp; y &nbsp;
+<math>
+B
+</math>
+&nbsp; son '''''independientes''''' entre sí si la ocurrencia de uno de ellos no modifica
+la probabilidad del otro, es decir, si:
+<br/>
+<center>
+<math>
+\mathrm{P}
+\left(
+  \, B \, \left| \, A \, \, \right.
+\right)
+\, = \, \mathrm{P}
+\left(
+  \, B \,
+\right)
+\qquad \mathrm{o} \qquad
+\mathrm{P}
+\left(
+  \, A \, \left| \, B \, \, \right.
+\right)
+\, = \, \mathrm{P}
+\left(
+  \, A \,
+\right)
+</math>
+</center>
+<br/>
+o lo que es lo mismo:
+<br/>
+<center>
+<math>
+A \quad \mathrm{y} \quad B \quad \ son \ independientes \quad \Leftrightarrow \quad
+\mathrm{P}
+\left(
+  \, A \, \cap \, B \,
+\right)
+\, = \, \mathrm{P}
+\left(
+  \, A \,
+\right)
+\cdot \mathrm{P}
+\left(
+  \, B \,
+\right)
+</math>
+</center>
+}}
+<br/>
+{{ejercicio|titulo=Ejercicios:''Independencia de sucesos''
+|cuerpo=
+{{ejercicio_cuerpo
+|enunciado='''1.'''. Calcula la probabilidad de que al extraer 3 cartas, con reemplazamiento, de una baraja española, sean todas copas.
+|sol=
+Como la carta extraída se vuelve a introducir, los sucesos son independientes y la probabilidad buscada es:
+<br/>
+<center>
+<math>
+\mathrm{P}
+\left(
+  \, C_1 \, \cap C_2  \, \cap C_3 \,
+\right)
+\, = \, \mathrm{P}
+\left(
+  \, C_1 \,
+\right)
+\cdot \mathrm{P}
+\left(
+  \, C_2 \, \left| \, C_1 \, \right.
+\right)
+\cdot \mathrm{P}
+\left(
+  \, C_3 \, \left| \, C_1, \, C_2 \, \right.
+\right)
+ \, = \, \mathrm{P}
+\left(
+  \, C_1 \,
+\right)
+\cdot \mathrm{P}
+\left(
+  \, C_2 \,
+\right)
+\cdot \mathrm{P}
+\left(
+  \, C_3 \,
+\right)
+</math>
+<math>
+ \, = \, \frac{10}{40} \cdot \frac{10}{40} \cdot \frac{10}{40}
+</math>
+</center>
+<br/>
+donde &nbsp;<math>C_i</math>&nbsp; denota el suceso salir copas en la extracción número &nbsp;<math>i</math>.
+}}
+{{ejercicio_cuerpo
+|enunciado='''2.'''. Calcula la probabilidad de que al extraer 3 cartas, sucesivamente, de una baraja española, sean todas copas.
+|sol=
+En este caso, los sucesos &nbsp;
+<math>
+C_1, \, C_2 \quad \mathrm{y} \quad C_3
+</math>
+&nbsp; no son independientes.
+<br/>
+<center>
+<math>
+\mathrm{P}
+\left(
+  \, C_1 \, \cap C_2  \, \cap C_3 \,
+\right)
+\, = \, \mathrm{P}
+\left(
+  \, C_1 \,
+\right)
+\cdot \mathrm{P}
+\left(
+  \, C_2 \, \left| \, C_1 \, \right.
+\right)
+\cdot \mathrm{P}
+\left(
+  \, C_3 \, \left| \, C_1, \, C_2 \, \right.
+\right)
+ \, = \, \frac{10}{40} \cdot \frac{9}{39} \cdot \frac{8}{38}
+</math>
+</center>
+}}
+}}
+<br/>
+[http://www.educared.net/universidad/asp_problemas/problemasvisualizar.asp?idAsignatura=1&idProblema=42  Probabilidad de aprobar cuando sólo se domina parte de la asignatura]
+[http://www.educared.net/universidad/asp_problemas/problemasvisualizar.asp?idAsignatura=1&idProblema=44  Probabilidad de meter un gol en una tanda de penaltis]
+[http://www.educared.net/universidad/asp_problemas/problemasvisualizar.asp?idAsignatura=1&idProblema=43  Probabilidad de obtener dos números pares lanzando dos dados]
+<br>
+==Probabilidad total==
+{{Caja_Amarilla|texto=
+Llamamos '''sistema completo''' de sucesos a una familia de sucesos <math>A_1, A_2, ...,A_n </math> que cumplen:
+:1. Son incompatibles dos a dos,<math>A_i \cap A_j = \varnothing </math>
+:2. La unión de todos ellos es el suceso seguro, <math> \bigcup_{i=1}^{n} A_i = E </math>
+'''''Teorema de la probabilidad total:'''''
+Sea <math>A_1, A_2, ...,A_n </math> un sistema completo de sucesos tales que la probabilidad de cada uno de ellos es distinta de cero, y sea B un suceso cualquier del que se conocen las probabilidades condicionales P(B/Ai), entonces:
+<br>
+{{Caja|contenido=
+<math>\mathrm{P}
+  \left(
+    \, B \,
+  \right)
+={
+  \mathrm{P}
+  \left(
+    \, A_1 \,
+  \right)
+  \cdot \mathrm{P}
+  \left(
+    \, B \, \left| \, A_1 \, \right.
+  \right)
+  \, + \,
+  \mathrm{P}
+  \left(
+    \, A_2 \,
+  \right)
+  \cdot \mathrm{P}
+  \left(
+    \, B \, \left| \, A_2 \, \right.
+  \right)
+  \, + \, \ldots \, + \,
+  \mathrm{P}
+  \left(
+    \, A_n \,
+  \right)
+  \cdot \mathrm{P}
+  \left(
+    \, B \, \left| \, A_n \, \right.
+  \right)
+}
+</math>
+}}
+}}
+<br>
+{{ejercicio|titulo=Ejercicios:''Probabilidad total''
+|cuerpo=
+{{ejercicio_cuerpo
+|enunciado='''1.'''. Una compañía dedicada al transporte público explota tres líneas de una ciudad, de forma que el 60% de los autobuses cubre el servicio de la primero línea, el 30% cubre la segunda y el 10% cubre el servicio de la tercera línea. Se sabe que la probabilidad de que, diariamente, un autobús se averíe es del 2%, 4% y 1%, respectivamente, para cada línea. Determina la probabilidad de que, en un día, un autobús sufra una avería.
+|sol= El suceso "sufrir una avería" (B) puede producirse en las tres líneas, (L1, L2, L3). Según el teorema de la probabilidad total, tenemos:
+<math>\mathrm{P}
+  \left(
+    \, B \,
+  \right)
+={
+  \mathrm{P}
+  \left(
+    \, L_1 \,
+  \right)
+  \cdot \mathrm{P}
+  \left(
+    \, B \, \left| \, L_1 \, \right.
+  \right)
+  \, + \,
+  \mathrm{P}
+  \left(
+    \, L_2 \,
+  \right)
+  \cdot \mathrm{P}
+  \left(
+    \, B \, \left| \, L_2 \, \right.
+  \right)
+  \, + \,
+  \mathrm{P}
+  \left(
+    \, L_3 \,
+  \right)
+  \cdot \mathrm{P}
+  \left(
+    \, B \, \left| \, L_3 \, \right.
+  \right)
+}
+</math>
+'''=0.6 · 0.02 + 0.3 · 0.04 + 0.1 · 0.01 = 0.012 + 0.012 + 0.001 = 0.025'''
+}}
+{{ejercicio_cuerpo
+|enunciado='''2.'''.Una empresa del ramo de la alimentación elabora sus productos en cuatro factorías: F1, F2, F3 y F4. El porcentaje de producción total que se fabrica en cada factoría es del 40%, 30%, 20% y 10%, respectivamente, y además el porcentaje de envasado incorrecto en cada factoría es del 1%, 2%, 7% y 4%. Tomamos un producto de la empresa al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que se encuentre defectuosamente envasado?
+|sol=Llamando M = "el producto está defectuosamente envasado", se tiene que este producto puede proceder de cada una de las cuatro factorías y, por tanto, según el teorema de la probabilidad total tenemos:
+<math>\mathrm{P} \left(\, M \, \right)
+={
+  \mathrm{P}
+  \left(
+    \, F_1 \,
+  \right)
+  \cdot \mathrm{P}
+  \left(
+    \, M \, \left| \, F_1 \, \right.
+  \right)
+  \, + \,
+  \mathrm{P}
+  \left(
+    \, F_2 \,
+  \right)
+  \cdot \mathrm{P}
+  \left(
+    \, M \, \left| \, F_2 \, \right.
+  \right)}</math>
+<br>
+<math>
+  \, + \,
+  {\mathrm{P}
+  \left(
+    \, F_3 \,
+  \right)
+  \cdot \mathrm{P}
+  \left(
+    \, M \, \left| \, F_3 \, \right.
+  \right)
+ \, + \,
+  \mathrm{P}
+  \left(
+    \, F_4 \,
+  \right)
+  \cdot \mathrm{P}
+  \left(
+    \, M \, \left| \, F_4 \, \right.
+  \right)
+}
+</math>
+'''= 0.4 · 0.01 + 0.3 · 0.02 + 0.2 · 0.07 + 0.1 · 0.04 = 0.004 + 0.006 + 0.014 + 0.004 = 0.028'''
+}}
+{{ejercicio_cuerpo
+|enunciado='''3.'''.Se lanzan dos monedas al aire. Si salen dos caras, se extrae una bola de una urna I, que contiene 2 bolas blancas y 3 negras. Si sale cara y cruz, se extrae una bola de una urna II, que contiene 4 bolas blancas y 1 negra. Si salen dos cruces, se extrae una bola de una urna III, que contiene 3 bolas blancas y 2 negras. ¿Cuál es la probabilidad de extraer bola blanca después de lanzar las monedas y sacar la bola?
+|sol=
+<math>\mathrm{P}
+  \left(
+    \, B \,
+  \right)
+={
+  \mathrm{P}
+  \left(
+    \, U_I \,
+  \right)
+  \cdot \mathrm{P}
+  \left(
+    \, B \, \left| \, U_I \, \right.
+  \right)
+  \, + \,
+  \mathrm{P}
+  \left(
+    \, U_{II} \,
+  \right)
+  \cdot \mathrm{P}
+  \left(
+    \, B \, \left| \, U_{II} \, \right.
+  \right)
+  \, + \,
+  \mathrm{P}
+  \left(
+    \, U_{III} \,
+  \right)
+  \cdot \mathrm{P}
+  \left(
+    \, B \, \left| \, U_{III} \, \right.
+  \right)
+}
+</math>
+<br>
+'''=1/4 · 2/5 + 2/4 · 4/5 + 1/4 · 3/5 = 13/20'''
+}}
+}}
+<br>
+==Teorema de Bayes==
+{{Caja_Amarilla|texto=
+Sean &nbsp;
+<math>
+A_1, \, A_2, \, \ldots, \, A_n \,
+</math>
+&nbsp; sucesos incompatibles dos a dos, tales que siempre ocurre alguno de ellos, y sea &nbsp;
+<math>
+B
+</math>
+&nbsp; un suceso cualquiera del que se conocen las probabilidades condicionales &nbsp;
+<math>
+\mathrm{P}
+\left(
+  \, B \, \left| \, A_i \, \right.
+\right)
+</math>
+.
+<br/>
+Entonces las probabilidades &nbsp;
+<math>
+\mathrm{P}
+\left(
+  \, A_i \, \left| \, B \, \right.
+\right)
+</math>
+&nbsp; vienen dadas por la expresión:
+<br>
+<center>
+{{Caja|contenido=
+<math>
+\mathrm{P}
+\left(
+  \, A_i \, \left| \, B \, \right.
+\right)
+\, = \, \frac
+{
+  \mathrm{P}
+  \left(
+    \, A_i \,
+  \right)
+  \cdot \mathrm{P}
+  \left(
+    \, B \, \left| \, A_i \, \right.
+  \right)
+}
+{
+  \mathrm{P}
+  \left(
+    \, A_1 \,
+  \right)
+  \cdot \mathrm{P}
+  \left(
+    \, B \, \left| \, A_1 \, \right.
+  \right)
+  \, + \,
+  \mathrm{P}
+  \left(
+    \, A_2 \,
+  \right)
+  \cdot \mathrm{P}
+  \left(
+    \, B \, \left| \, A_2 \, \right.
+  \right)
+  \, + \, \ldots \, + \,
+  \mathrm{P}
+  \left(
+    \, A_n \,
+  \right)
+  \cdot \mathrm{P}
+  \left(
+    \, B \, \left| \, A_n \, \right.
+  \right)
+}
+</math>
+}}
+</center>
+}}
+<br/>
+'''Demostración'''<br/>
+Por definición de probabilidad condicionada
+<br/>
+<center>
+<math>
+\mathrm{P}
+\left(
+  \, A_i \, \cap \, B \,
+\right)
+\, = \,
+\mathrm{P}
+\left(
+  \, A_i \,
+\right)
+\cdot \mathrm{P}
+\left(
+  \, B \, \left| \, A_i \, \right.
+\right)
+\, = \, \mathrm{P}
+\left(
+  \, B \,
+\right)
+\cdot \mathrm{P}
+\left(
+  \, A_i \, \left| \, B \, \right.
+\right)
+</math>
+</center>
+<br/>
+despejando &nbsp;
+<math>
+\mathrm{P}
+\left(
+  \, A_i \, \left| \, B \, \right.
+\right)
+</math>
+, se tiene:
+<br/>
+<center>
+<math>
+\mathrm{P}
+\left(
+  \, A_i \, \left| \, B \, \right.
+\right)
+\, = \, \frac
+{
+  \mathrm{P}
+  \left(
+    \, A_i \,
+  \right)
+  \cdot \mathrm{P}
+  \left(
+    \, B \, \left| \, A_i \, \right.
+  \right)
+}
+{
+  \mathrm{P}
+  \left(
+    \, B \,
+  \right)
+}
+</math>
+</center>
+<br/>
+La probabilidad &nbsp;
+<math>
+\mathrm{P}
+\left(
+  \, B \,
+\right)
+</math>
+, por el teorema de la probabilidad total, es igual a
+<br/>
+<center>
+<math>
+  \mathrm{P}
+  \left(
+    \, A_1 \,
+  \right)
+  \cdot \mathrm{P}
+  \left(
+    \, B \, \left| \, A_1 \, \right.
+  \right)
+  \, + \,
+  \mathrm{P}
+  \left(
+    \, A_2 \,
+  \right)
+  \cdot \mathrm{P}
+  \left(
+    \, B \, \left| \, A_2 \, \right.
+  \right)
+  \, + \, \ldots \, + \,
+  \mathrm{P}
+  \left(
+    \, A_n \,
+  \right)
+  \cdot \mathrm{P}
+  \left(
+    \, B \, \left| \, A_n \, \right.
+  \right)
+</math>
+</center>
+<br/>
+Sustituyendo en la ecuación anterior, obtenemos la fórmula de Bayes.
+<br/>
+{{Ejemplo|titulo=Ejemplo:''Teorema de Bayes''
+|enunciado=
+Tenemos tres urnas: &nbsp;
+<math>
+U_1
+</math>
+&nbsp; con tres bolas rojas y cinco negras, &nbsp;
+<math>
+U_2
+</math>
+&nbsp; con dos bolas rojas y una negra y &nbsp;
+<math>
+U_3
+</math>
+&nbsp; con dos bolas rojas y tres negras. Escogemos una urna al azar y extraemos una
+bola. Si la bola ha sido roja, ¿cuál es la probabilidad de haber sido extraída de la urna
+&nbsp;
+<math>
+U_1
+</math>
+?
+|sol=
+Llamamos &nbsp;
+<math>
+R
+</math>
+&nbsp; al suceso sacar bola roja. La probabilidad pedida es &nbsp;
+<math>
+\mathrm{P}
+\left(
+  \, U_1 \, \left| \, R \, \, \right.
+\right)
+</math>
+. Utilizando el teorema de Bayes, tenemos:
+<br/>
+<center>
+<math>
+\mathrm{P}
+\left(
+  \, U_1 \, \left| \, R \, \, \right.
+\right)
+\, = \, \frac
+{\mathrm{P} \left( \, U_1 \, \right) \cdot \mathrm{P} \left( \, R \, \left| \, U_1 \, \right. \right)
+}{ \mathrm{P} \left( \, U_1 \, \right) \cdot \mathrm{P} \left( \, R \, \left| \, U_1 \, \right. \right)
+  \, + \, \mathrm{P} \left( \, U_2 \, \right)
+  \cdot \mathrm{P} \left( \, R \, \left| \, U_2 \, \right. \right)
+  \, + \,
+  \mathrm{P} \left( \, U_3 \, \right)
+  \cdot \mathrm{P} \left( \, R \, \left| \, U_3 \, \right. \right)
+}
+</math>
+</center>
+<br/>
+<center>
+<math>
+\, = \, \frac
+{
+  \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{8}
+}
+{
+  \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{8} \, + \, \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} \, + \,
+  \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{5}
+}
+</math>
+</center>
+}}
+<br/>
+[http://maralboran.org/web_ma/wiki_Estadistica/probabilidad.pdf Problemas Selectividad]