Cociente de polinomios (3ºESO Académicas)
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Revisión de 10:55 30 abr 2017
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Tabla de contenidos |
(Pág. 90)
División de monomios
Entenderemos la división entre monomios como una fracción que hay que simplificar, dividiendo los coeficientes y restando los exponentes de las potencias de la misma base.
Ejemplos: División de monomios
Calcula:
- a)
- b)
a) 
División de monomios (6'54") Sinopsis: Aprende a dividir monomios
Ejercicio 1 (9'07") Sinopsis: Divide:
- a)
- b)
- c)
Ejercicio 2 (11'33") Sinopsis: Divide los siguientes monomios:
- 54)
; 55) 
; 56) 
; 57) 
- 58)
; 59) 
; 60) 
; 61) 
- 62)
; 63) 
; 64) 
; 65) 
División de un polinomio entre un monomios
Para dividir un polinomio ente un monomio se divide cada uno de los monomios que componen el polinomio entre el monomio.
Ejempo: División de un polinomio entre un monomio (7'13") Sinopsis: Divide:
- a)
- b)
División de polinomios
La división polinómica es, en ciertos aspectos, similar a la división numérica.
Dados dos polinomios 
(dividendo) y 
(divisor) de modo que el grado de sea mayor o igual que el grado de y el grado de sea mayor o igual a cero, siempre podremos hallar dos polinomios 
(cociente) y 
(resto) tales que:
que también podemos representar como:
- El grado de es igual a la diferencia entre los grados de y , mientras que el grado de será, como máximo, un grado menor que .
- Cuando el resto sea igual a cero diremos que el dividendo es divisible por el divisor, es decir, que la división es exacta.
Ejemplo: División de polinomios
Divide los siguientes polinomios:
Tutorial 1 (6´42") Sinopsis:División de polinomios. Ejemplos.
Tutorial 2 (8´32") Sinopsis: Siendo P(x) un polinomio de grado no inferior al polinomio Q(x), nos planteamos determinar los polinomios C(x) y R(x) tales que P(x) = Q(x).C(x) + R(x). De C(x) se dice "cociente" de la "división" entre P(x) y Q(x); de R(x) se dice "resto". Si R(x) = 0, la división se dice "exacta"; en tal caso, también se dice que P(x) es "divisible" por Q(x), o que P(x) es "múltiplo" de Q(x), o que Q(x) "divide" a P(x), o que Q(x) es "divisor" de P(x).
Tutorial 3 (17´13") Sinopsis: Cómo se hace la división de polinomios
Tutorial 4 (10´24") Sinopsis:División de polinomios
Ejercicio 1 (19'10") Sinopsis:Calcula:
a) 
b) 
Ejercicio 2 (10'30") Sinopsis: Calcula: 
Ejercicio 3 (9'45") Sinopsis:Calcula: 
Ejercicio 4 (12'15") Sinopsis:Calcula: 
Ejercicio 5 (12´09") Sinopsis: Calcula:
a) 
b) 
Ejercicio 6 (9'59") Sinopsis: Calcula: 
Ejercicio 7 (8´45") Sinopsis: Divide los siguientes polinomios entre binomios:
- 1a)
- 1b)
- 1c)
Ejercicio 8 (13'34") Sinopsis: Divide los siguientes polinomios:
- 2a)
- 2b)
- 2c)
- 2d)
- 2e)
Ejercicio 9 (13'26") Sinopsis: Divide los siguientes polinomios:
- 3a)
- 3b)
Ejercicio 10 (12'27") Sinopsis: Divide los siguientes polinomios:
- 3c)
- 3d)
Ejercicio 11 (10'46") Sinopsis: Divide los siguientes polinomios:
- 4a)
- 4b)
- 4c)
- 4d)
Ejercicio 12 (9'47") Sinopsis: Divide los siguientes polinomios:
- 5a)
- 5b)
- 5c)
- 5d)
Ejercicio 13 (10'20") Sinopsis: Divide los siguientes polinomios:
- 6a)
- 6b)
- 6c)
- 6d)
Ejercicio 14 (10'27") Sinopsis: Indica qué divisiones de polinomios son exactas:
- 7a)
- 7b)
- 7c)
- 7d)
Ejercicio 15 (14'53") Sinopsis: Divide los siguientes polinomios:
- 8a)
- 8b)
- 9a)
- 9b)
- 9c)
Ejercicio 16 (12'41") Sinopsis: Divide los siguientes polinomios:
- 9d)
- 9e)
- 9f)
- 9g)
- 9h)
- 9i)
- 9j)
Ejercicios 17 (7´08") Sinopsis:Divide los siguientes polinomios:
- a)
- b)
Tutorial (12´03) Sinopsis:Método de Horner para la división de polinomios
Ejercicio 1 (8´18) Sinopsis: Calcula: 
Ejercicio 2 (9´27) Sinopsis: Halla el resto de la división:
Ejercicio 3 (9´01) Sinopsis: Halla el resto de la división
sabiendo que la suma de los coeficientes del cociente es 28.
Autoevaluación: División de polinomios Descripción: Ejercicios de autoevaluación sobre división de polinomios.
Actividad: División de polinomios Calcula el cociente y el resto de la siguiente división de polinomios:  Solución: Para averiguar la solución debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" la siguiente expresión: quotient and remainder (x^3-4x^2+x+6)/(x-1) |
División de un polinomio por (x-a). Regla de Ruffini
Regla de Ruffini
La Regla de Ruffini es un procedimiento que nos permite dividir un polinomio entre un binomio de la forma 
.
Debemos esta regla al matemático italiano Paolo Ruffini,
Procedimiento:
Vamos a dividir el polinomio
entre el binomio
para obtener el cociente
y el resto 
.
1. Trazamos dos líneas a manera de ejes. Cogemos los coeficientes de y los escribimos ordenados. Entonces escribimos 
en la parte inferior izquierda del eje, encima de la línea:
2. Pasamos el coeficiente más pegado a la izquierda, 
, justo debajo de la línea, para obtener el primero de los coeficientes 
:
3. Multiplicamos el número más pegado a la derecha debajo de la línea por y lo escribimos sobre la línea en la primera posición de la derecha:
4. Añadimos los dos valores que hemos puesto en la misma columna:
5. Repetimos los pasos 3 y 4 hasta que no tengamos más números:
son los coeficientes del polinomio cociente , cuyo grado será un grado menor que el del dividendo . El resto será .Ejemplo: Regla de Ruffini
Divide los polinomios usando la regla de Ruffini:
| 7 -5 -4 6 -1
|
2| 14 18 28 68
--|-------------------
| 7 9 14 34 |67
|____
El resultado significa que:
|
|
Tutorial 1 (5´53") Sinopsis:Regla de Ruffini. Ejemplos.
Tutorial 2 (8'48") Sinopsis:Regla de Ruffini: Método rápido para realizar divisiones de polinomios entre binomios del tipo (x - a). Ejemplos.
Tutorial 3 (13´16") Sinopsis: La regla de Ruffini nos permite determinar supersónicamente el cociente y el resto de la división entre un polinomio P(x) y el polinomio Q(x) = x - a.
Tutorial 4 (10´38") Sinopsis: Cómo se aplica la Regla de Ruffini.
Tutorial 5 (5´26") Sinopsis:División de polinomios por el método de Ruffini para divisores del tipo (x-a).
Ejercicio 1 (5'14") Sinopsis: Ejemplo de división de polinomios usando la regla de Ruffini.
Ejercicio 2 (17'39") Sinopsis:2 ejemplos de división de polinomios usando la regla de Ruffini.
Ejercicio 3 (7´07) Sinopsis: 2 ejemplos de división mediante la regla de Ruffini
Ejercicio 4 (6´57") Sinopsis: Otros 2 ejemplos de aplicación de la regla de Ruffini
Ejercicio 5 (6'50") Sinopsis: Divide 
entre 
.
Ejercicio 6 (12´03) Sinopsis: a) Divide 
entre 
b) Divide 
entre 
Ejercicio 7 (14´17") Sinopsis: Divide los siguientes polinomios utilizando la regla de Ruffini:
- 1a)
- 1b)
- 1c)
- 1d)
- 1e)
- 1f)
Ejercicio 8 (13´24") Sinopsis: Divide los siguientes polinomios utilizando la regla de Ruffini:
- 1g)
- 1h)
- 1i)
- 1j)
- 1k)
- 1l)
Ejercicio 9 (10´40") Sinopsis: Divide los siguientes polinomios utilizando la regla de Ruffini:
- 2a)
- 2b)
- 2c)
- 2d)
- 2e)
Ejercicio 10 (9´14") Sinopsis: Divide los siguientes polinomios utilizando la regla de Ruffini:
- 2f)
- 2g)
- 2h)
- 2i)
- 2j)
Ejercicio 11 (4´13") Sinopsis:Divide los siguientes polinomios utilizando la regla de Ruffini:
- a)
- b)
- c)
Autoevaluación: Regla de Ruffini Descripción: Ejercicios de autoevaluación sobre la regla de Ruffini.
Factorización de polinomios mediante la regla de Ruffini
Teorema
Las raíces enteras de un polinomio con coeficientes enteros son divisores de su término independiente.
Demostración:
En efecto, sea 
una raíz entera de un polinomio con coeficientes enteros
Entonces, como 
, tendremos que
de donde, despejando el termino independiente
en todos sus sumandos, es un múltiplo de , entonces 
también. Luego divide al término independiente.Procedimiento para factorizar polinomios por Ruffini
Para factorizar un polinomio P(x) mediante la regla de Ruffini seguiremos los siguientes pasos:
- Por el teorema anterior, los candidatos a raíces del polinomio P(x) son los divisores (positivos y negativos) del término independiente.
- Para cada candidato a raíz, "a", efectuaremos la división de P(x) entre (x-a), mediante la regla de Ruffini.
- Si el resto es cero, "a" será una raíz de P(x). Si no, seguiremos probando con el siguiente candidato.
- Si "a" resulta ser una raíz, entonces tendremos una primera factorización: P(x)=(x-a)· Q(x), donde Q(x) tiene un grado menos que P(x).
- Seguiremos probando con los candidatos (incluido el último que resultó ser raíz) para factorizar Q(x) por Ruffini.
- El proceso para cuando no quedan candidatos o Q(x) tiene grado 1.
Ejemplo: Regla de Ruffini
Factoriza el siguiente polinomio:
Primero sacaremos factor común, con lo cual tendremos una primera factorización:
A continuación factorizamos 
:
Los candidatos a raíces son los divisores (positivos y negativos) del término independiente. Como el término independiente es 6, los candidatos son: 1, -1, 2, -2, 3, -3, 6, -6.
Empezaremos probando con el 1:
| 1 -4 1 6
|
1| 1 -3 -2
--|---------------
| 1 -3 -2 |4
|____
Como el resto es distinto de cero, el 1 no es raíz. Pasamos a probar con -1:
| 1 -4 1 6
|
-1| -1 5 -6
--|---------------
| 1 -5 6 |0
|____
Como el resto es cero, -1 es raíz y 
es un factor:
Seguimos aplicando Ruffini para factorizar el polinomio de grado 2. Probamos con -1, de nuevo ya que podría repetirse dicha raíz, pero resulta que no lo es. Probamos con el siguiente, 2:
| 1 -5 6
|
2| 2 -6
--|-------------
| 1 -3 |0
|____
Como el resto es cero, 2 es raíz y 
es un factor:
Actividad: Factorización de polinomios Factoriza el siguiente polinomio:  Solución: Para averiguar la solución debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" la siguiente expresión: factor x^4+3x^2-4x |
Ejercicios propuestos
 Ejercicios propuestos: Cociente de polinomios (Pág. 91)
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